Góc giữa hai đường thẳng (phần 1)

Doc24.vn I. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VÉC TƠ TRONG KHÔNG GIAN 1) Góc giữa hai véc ơGi ta có )
( )

; ;= ==     AB uu AB AC BACAC với
0 180 . o oBAC 2) Tích vô ướng ủa hai véc ơGiả sử ta có )
. .cos .= ==         AB uu AB AC AB AC AB ACAC vNhận xét: +) Khi 0. 00= ==    uu vv +) Khi ()
0; 0 = u v+) Khi ()
0; 180 = u v+) Khi 0 = u Ví 1. Cho di ện đề ABCD cạnh a. a) Tính góc gi ữa hai véc ()
; . AB BC b) ọi là trung điểm của AB Tính góc giữa hai véc tơ()
; . CI AC Hướ ng ẫn gi ải: a)Sử dụng công thức tính góc giữa hai véc tơ ta được( )
( )2. .cos ...= =       AB BC AB BC AB BCAB BCAB BC aAB BC Xét (). .= +        AB BC AB BA AC AB BA AB ACMà )
( )
0 220. .cos .cos180 .cos .cos 602= = =      AB BA AB BA AB BA aaAB AC AB AC AB AC a2 22. .2 2  a aAB BC a( )( )
( )202121 cos 120 .2     aAB BC AB BCa Vậy (); 120 .= oAB BC b)Ta có )
. .cos ;..= =     CI AC CI ACCI ACCI ACCI ACTứ diện ABCD đều cạnh a, CI là trung tuyến của tam giác đều ABC nên )
( )23 .cos .232= =  a CI ACCI CI ACa Ta có (). +        CI AC CI AI IC CI AI CI IC01. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG P1Doc24.vnDo ABC đều nên 0. =   CI AI CI AI Đồng thời, )
2 203 3. .cos .cos180 .2 4=      a aCI IC CI IC CI IC CI AC Thay vào (2) ta được )( )
( )
2023 342 cos 150 .232    aCI AC CI AC Vậy ()0; 150 .= CI ACVí 2. Cho hình chóp S.ABC có SA, SB, SC ôi ột vuông góc và SA SB SC a. ọi là trung điể ủa AB a) Bi ểu di ễn các véc SM và BC theo các véc ơ; .  SA SB SC b) Tính góc()
; . SM BC Hướng dẫn giải: a)Sử dụng quy tắc trung tuyến và quy tắc trừ hai véc tơ tađược( )122 ++ =  = + =         SM SA SBSA SB SMBC BS SC BC SC SBb) )
( ). .cos ...= =     SM BC SM BCSM BCSM BCSM BC Mà SA, SB, SC đôi một vuông góc nên 0. 0. 0= = =     SA SBSA SCSB SCTam giác SAB và SBC vuông tại nên theo định lý Pitago ta được 221 22 2 == = = BC aAB BC aSM ABTheo câu a, )2200 01 1. .2 2 =                aSM BC SA SB SC SB SA SC SA SB SB SC SB SB SBThay vào (1) ta được )
( )
20. 2cos 120 .. 22. 22=      aSM BCSM BC SM BCSM BCaa II. GÓC GIỮA HAI ĐƯỜNG THẲNG1) Khái niệm véc tơ chỉ phương của đường thẳngMột véc tơ 0 mà có phương song song hoặc trùng với được gọi là véc tơ chỉ phương của đường thẳng d. 2) Góc giữa hai đường thẳng
Khái niệm:Góc giữa hai đường thẳng và là góc giữa hai đường thẳng ; lần lượt song song với a; b. Kí hiệu )
a; .Từ định nghĩa ta có sơ đồ )
( )
a // aa; bb //  =
Nhận xét: +) Giả sử a, có véc tơ chỉ phương tương ứng là u; v và ()
u; vφ .= Khi đó, )
( )
o oo oa; φ; φ90a; 180φ 90 φ180= nên góc SDI là góc nhọn
3βSDI arccos .42  =  III. HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓCHai đường thẳng a, được gọi là vuông góc với nhau nếu )
; 90 .oa b= Chú ý:Các phương pháp chứng minh b:
Chứng minh )
oa; 90=
Chứng minh hai véc tơ chỉ phương của hai đường thẳng vuông góc với nhau, u.v 0.= Chứng minh hai đường thẳng có quan hệ theo định lý Pitago, trung tuyến tam giác cân, đều... Ví 1. Cho di ện ABCD trong đó


= =o oAB AC AD a, BAC 60 BAD 60 CAD 90 Gọi và lần lượt là trung điểm của AB và CD. a) Chứng minh rằng IJ vuông góc với cả hai đường AB và CD.b) Tính độ dài IJ.Hướng dẫn giải: a)Từ giả thiết ta dễ dàng suy ra tam giác ABC, ABD đều,ACD vuông cân tại A.Từ đó BC BD a, CD 2= BCD vuông cân tại B. Chứng minh IJ vuông góc với AB Do các ACD, BCD vuông cân tại A, nên 1AJ CD2AJ BJ IJ AB.1BJ CD2=   = 
Chứng minh IJ vuông góc với CD Do các ACD, BCD đều nên CI DI IJ CD. b) Áp dụng định lý Pitago cho AIJ vuông tại ta được2 22 2a aIJ AJ AI2 2 = = Vậy IJ a/2. Ví dụ 2. Cho hình chóp tam giác S.ABC có SA SB SC và


= =ASB BSC CSA. Chứng minh rằng SA BC, SB AC, SC AB. Hướng dẫn giải:Doc24.vn
Ch ứng minh: SA BC. Xét ()SA.BC SA. SC SB SA.SC SA.SB=         M )
( )



SA.SC SA.SC.cos SA;SC SA.SB SA.SB.cos SA;SBSA.SC SA.SB SA.SC SA.SB SA.BC SA BCSA SB SCASB BSC CSA == = == =                Chứng minh tương tự ta cũng được SB AC, SC AB Ví 3. Cho di ện đề ABCD cạnh ằng a. ọi là tâm đường tròn ngo ại ti ếp BCD. a) Ch ứng minh AO vuông góc ới CD .b) ọi là trung điể ủa CD Tính góc gi ữa



BC và AM .



AC và BM .Hướ ng ẫn gi ải: a)Sử dụng phương pháp dùng tích vô hướngGọi là trung điểm của CD. Ta có ()AO.CD AM MO .CD AM.CD MO.CD= +        Do ABCD là tứ diện đều nên AM CD và là tâm đáy (hay là giao điểm của ba đường cao). Khi đó AM CD AM.CD 0AO.CD AO CD.MO CD MO.CD 0 =    =     b)Xác định góc giữa BC và AM; AC và BM
Xác định góc gi ữa BC và AM:Gọi là trung điểm của BD MI // BC.Từ đó )
( )


AMIBC; AM MI; AM180 AMI= Áp dụng định lý hàm số cosin trong AMI ta được
( )2 2AM MI AIcos AMI .2.AM.MI+ = Các ABD, ACD đều, có cạnh nên 3AI AM .2= MI là đường trung bình nên MI a/2. Từ đó )

( )
2 2a 3a 3a 14 41 cos AMI AMI arccos BC; AM arccos .a 32. .2 2+   =  Xác định góc gi ữa BC và AM: Gọi là trung điểm của AD MJ // AC. Khi đó )
( )


BMJAC; BM MJ; BM180 BMJ= = Các tam giác ABD, BCD là các tam giác đều cạnh a, nên các trung tuyến tương ứng 3BJ BM2= =Do đó,

1AIM BJM AMI BMJ arccos .2 3  =  Vậy )
1AC; BM arccos .2 3 =  Ví 4. Cho hình ập ph ương ABCD.ABCD cạnh a. Đặt = =AB a, AD b, AA c.   Doc24.vna) Tính góc giữa các đường th ẳng: )
( )
( )
AB, AC, .b) Gọi là tâm của hình vuông ABCD và là một điểm sao cho = +OI OA OA OB OB     + +OC OC OD OD .    Tính khoảng cách từ đến theo a. c) Phân tích hai véc tơ AC BD  theo ba véc tơ a, b, c. Từ đó, chứng tỏ rằng AC và BD vuông góc với nhau. d) Trên cạnh DC và BB lấy hai điểm tương ứng M, sao cho DM BN (với a).Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.Hướ ng ẫn gi ải: Nh ận xét: Để làm ốt các bài toán liên quan đến hình ập ph ương ta ần nh ột tính ch ất ản ủa hình ập ph ương: ất các đường chéo các ặt ủa hình ập ph ương đều ằng nhau và ằng (n ếu hình ập ph ương ạnh a). Các đoạn th ẳng ạo ởi các kích th ước ủa hình ập ph ương luôn vuông góc ới nhau (dài, ộng, cao). a) Tính góc giữa: )
( )
( )
AB, AC, .
Tính )
AB, C :( )
( )
oDo //BC AB, AB, BC 90 . =
Tính )
AC, C :( )
( )


oACBDo //BC AC, AC, BC180 ACB ABCD là hình vuông nên ABC là tam giác vuông cân tại
( )
o oACB 45 AC, 45 . =
Tính )
A C :( )
( )


oACBDo //AC AC, C180 ACB Xét trong tam giác ACB có AC C AB (do đều là các đường chéo các mặt hình vuông của hình lập phương). Do đó ACB đều
( )
o oACB 60 60 . =b) Tính độ dài OI theo a.Với là tâm của hình vuông ABCD thì OA OC 0OA OC OB OD 0OB OD 0+ = =+ =         Khi đó OI OA OB OC OD = +     Gọi O là tâm của đáy B C D , theo quy tắc trung tuyến ta có OA OC 2OOOI 4OOOB OD 2OO + = = + =       Khoảng cách từ đến chính là độ dài véc tơ OI, từ đó ta được OI 4OO 4a. c) Phân tích hai véc tơ AC BD  theo ba véc tơ a, b, c. Theo tính chất của hình lập phương ta dễ dàng có a.b 0a.c 0b.c 0= = =    
Phân tích: AC AB BC CC cBD BA AD = +=        
Chứng minh AC vuông góc với BD. Xét ()()2 20 0AC .BD a.b c.b a.b c.a AD AB AC .BD AC BD. =     d) Chứng minh rằng AC vuông góc với MN.Doc24.vnTa có phân tích: MN MC CB BNAC AB BC CC= + = +       )0 0MN.AC MC CB BN AB BC CC MC.AB MC.BC MC.CC CB.AB CB.BC CB.CCBN.AB  +  +                      0BN.BC BN.CC MC.AB CB.BC BN.CC  + +            M )( )oo 2oMC.AB MC.AB.cos0 aCB.BC CB.BC.cos180 MN.AC ax MN AC .BN.CC BN.CC .cos0 ax = =       BÀI TẬP LUY ỆN Bài 1: VH]. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, gọi là trung điểm cạnh AD. Tính góc giữa hai đường thẳng AB và CI. Đ/s: )
3; arccos .6 =   AB CI Bài 2: [Đ VH]. Cho tứ diện ABCD Gọi M, N, lần lượt là trung điểm của BC, AD và AC. Biết 5.= =AB CD MN Tính góc gi ữa hai đường th ẳng AB và CD. Bài 3: VH]. Cho hình chóp S.ABC có SA SB SC AB AC và 2.=BC Tính góc giữa ()
, SC AB, từ suy ra góc gi ữa SC và AB. Bài 4. VH]: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình ch nh ật ới2 2; 5AB AD SC a= =. Hình chi ếu vuông góc của lên mặt phẳng ABCD là trung điểm của AB Tính góc giữa a)(); SB ACb)(); SC AM, với là trung điểm của CD Bài 5: [Đ VH]. Cho hình chóp S.ABCD có ABCD là hình chữ nhật với 3AB AD a= =, SA và vuông góc với đáy. Tính góc giữa các đường thẳng sau: a)SB và CDb)SD và BCc)SB và ACd)SC và BDBài 6: [Đ VH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của xuống mặt đáy là trung điểm của AB biết 3.SH a= Gọi là trung điểm của SD Tính góc giữa các đường thẳng: a)SC và ABb)SD và BCc)CI và AB d) BD và CIBài 7: [Đ VH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang vuông tại A, với AB a, AD a, DC a. Hìnhchiếu vuông góc của xuống mặt phẳng ABCD là thuộc AB với AH HB, biết SH a. Tính góc giữaa)SB và CDb)SB và ACBài 8: [Đ VH]. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, hình chiếu vuông góc của đỉnh xuống ABCD là điểm thuộc cạnh AB với 1.2AH HB= Biết 3; 2.AB AD SH a= Tính góc giữa a)(SD BC )b)(SB CD )c)(SA HC