Các dạng toán Nguyên hàm, tích phân

Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02CHƯƠNG NGUYÊN HÀM TÍCH PHÂNA. NGUYÊN HÀM1. Định nghĩa: Cho hàm số y x xác định trên K, hàm số y x được gọilà nguyên hàm của hàm số y x trên khi và chỉ khi: Kx ta có:'F x. Kí hiệu: f dx .Ví dụ 1: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: 4y Ví dụ 2: Tìm nguyên hàm của hàm số sau: in2syx 2. Tính chất:- Định lý 1: Nếu hàm số y x là nguyên hàm của hàm số y x thì hàm sốy c cũng là nguyên hàm của hàm số y x Khi đó ta có:f dx c  với là hằng số.- Định lý 2: Cho các hàm số ,u x xác định trên Khi đó ta có:1. u dx udx vdx  2. kvdx vdx với là hằng số.- Định lý 3: Sự tồn tại nguyên hàm Mọi hàm số liên tục trên đoạn  ;a đều cónguyên hàm trên đoạn  ;a 1Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.023.Bảng nguyên hàm cơ bản:1du C 2111x dx C  111u du   3ln 0dxx xx ln 0duu uu 4x xe dx C u ue du C 50 1lnxxaa dx aa 0 1lnuuaa du aa 6cos sinxdx C cos sinudu C 7sin cosxdx C sin cosudu C 82tancosdxx Cx 2tancosduu Cu 92cotsindxx Cx 2cotsinduu Cu Bảng nguyên hàm mở rộng:1. 21ln2dx aCx a   Đặc biệt 21 1ln1 1dx xCx x  2. 22 2lndxx Cx a 3. 22 2lndxx Cx a 4. ln tansin 2dx xCx 5. ln tancos 4dx xCx    6. 22 21ln2xdxx Cx a 2Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.027. 22 21ln2xdxx Cx a 8. 22 2xdxx Cx a 9. 22 2xdxx Cx a 10. 2ln2 2x ax dx C 11. 2ln2 2x ax dx C §2. MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP TÌM NGUYÊN HÀMI. PHƯƠNG PHÁP 1. ÁP DỤNG CÔNG THỨC NGUYÊN HÀM CƠ BẢNVí dụ 1. Tìm các nguyên hàm:• 919I dx C • 451 15 4dxI dx Cx    • 22 31 42 45 3I dx dx C  •1 1ln2 2dx dxI Cx x  • 2 2122x xI dx C  • 4 41 144 4x CI dx e  • 1 1cos cos sin 22 2I xdx xd C  • 1 1sin sin cos 22 2I xdx xd C  3Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02• 2 221 1.2 2x xI dx C  • cossintan ln coscos cosd xxI xdx dx Cx x  • sincoscot ln sinsin sind xxI dx Cx x  • cos 2sin 1tan ln cos 2cos cos 2d xxI xdx dx Cx x  • sin 2cos 1cot ln sin 2sin sin 2d xxI xdx dx Cx x  • 2 31sin .cos sin sin sin3I xdx xd C  • 2 31cos .sin cos cos cos3I xdx xd C  • 4 51sin .cos cos cos cos5I xdx xd C  • 4 51cos .sin sin sin sin5I xdx xd C  • 2 21 3sin cos 3sin sinI xdx x  2 3sin 3sin sin sind xdx C  • 3 2cos cos .cos sin .cosI xdx xdx xdx  2 311 sin sin sin sin3x C •3 31sin sin .sin cos cos cos cos3I xdx xdx C  • 21 cos 1sin cos sin 22 4xI xdx dx dx xdx C  • 21 cos 1cos cos sin 22 4xI xdx dx dx xdx C  • 21 cos 1sin cos sin 42 8x xI xdx dx dx xdx C  4Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02• 21 cos 1cos cos sin 42 8x xI xdx dx dx xdx C  • 222 2sin costan tancos cos cosx dxI xdx dx dx dx Cx x  •2 222 2cos sincot cotsin sin sinx dxI xdx dx dx dx Cx x  2. Ví dụ 2. Tìm các nguyên hàm:Trong Ví dụ này cần chú ý: 22tan tancosdxd dxx •3 21tan tan tan tan tan tan tanB xdx dx dx    2sintan tan tan tan tancosxx dx xdx xd dxx  21tan ln cos2x C •4 22tan tan tan tan tan tan tanB xdx dx dx xdx  2 31tan tan tan tan tan3xd C •5 33tan tan tan tan tan tanB xdx dx  3 2tan tan tan tan tanx dx dx xdx  3 21 1tan tan tan tan tan tan tan ln cos4 2xd xd xdx C  •6 24tan tan tan tan tan tanB xdx dx  4 2tan tan tan tan tanx dx dx xdx  4 2tan tan tan tan tanxd xd xdx  5Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.025 31 1tan tan tan5 3x C •7 35tan tan tan tan tan tan tan tanB xdx dx  5 2tan tan tan tan tan tan tanx dx dx dx xdx  5 3tan tan tan tan tan tan tanxd xd xd xdx  6 21 1tan tan tan ln cos6 2x C 3. Ví dụ 3. Tìm các nguyên hàm:• 12 222 11 1. 14 22 1d xdx dxI Cx xx x    • sin cossin cosln sin cossin cos sin cosd xx xI dx Cx x   • 1ln 11 1xxxx xd ee dxI Ce e   • lnx xx xx xx xd ee eI dx Ce e    •2 22ln 22 24 42xx xxx xx xxd ee dx dx dxI Ce ee ee    • cos cos cos 3cos cos cos 3sin sin sin sin sin sin 3x xx xI dx dxx x     cos cos cossin sin cosx xdxx xcos cossin cosx xdxx xsin 2cos 1ln sin 2sin sin 2d xxdx Cx x  6Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02II. PHƯƠNG PHÁP 2. PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN1. CÁC DẠNG ĐỔI BIẾN SỐ THƯỜNG GẶPDẠNG CÁCH ĐỔI BIẾNax dxĐặt ax b 1.n nx dxĐặt 1nt x.2dxf xxĐặt xsin cosf xdx Đặt sint xcos sinf xdxĐặt cost x2tancos dxf xx Đặt tant x2cotsindxf xxĐặt cott x.x xf dxĐặt xt lndxf xxĐặt lnt x1 1.f dxx x    Đặt 1t xx 2. MỘT VÀI VÍ DỤ• 2004 20031.I dx Đặt 2004 2003 2003 11 20042004t dt dx dx dt . Từ đó tađược:1 32 21 2.2004 2004 2004 3I dt dt C  33 20041 113006 3006t C 7Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02• 1.x xe xI dx dx   Đặt xe dx dt Thay vào ta được:1 11xt eL dt C   • 22 ln xxI dxTa có: 22 ln 2. .x xM dx xdx  Đặt 22 44dtx xdx dt xdx Ta được 221 14 4t xdtM C • 101xI dxxĐặt 10 9101 10x dx dt Từ đó ta được:109 10 18 19 91 10 10.10 10 1019 9tN dt dt dt Ct  19 910 1010 101 119 9x C • 1021I dx Đặt 1x dx dt Từ đó ta được:210 10 10 11 121 2O dt dt dt dt dt  11 12 1311 12 131 11 111 13 11 13t C • 21001xI dxx (Đặt 1x t )8Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02• 22xI dxx (Đặt 2x t )• 521xI dxx (Đặt 21x t )• 22 2sin .cos sin cos .cos cos.sin 21 cos cos cosx xI dx dx xdxx x   Đặt 21 cos sin 2x xdx dt 1 1ln2 2t dtS dt dt Ct t  III. PHƯƠNG PHÁP 3. PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN1. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁPPhương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của mộttích. Giả sử cần tính 1 2.I dx ta làm như sau:Đặt 12......u xduvdv dx Từ đó uv vdu 2. CHÚ ÝThứ tự ưu tiên đặt trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:Lôgarít Đa thức sin cosxx xe 3. MỘT SỐ VÍ DỤTìm các nguyên hàm:•sin2I xdx9 (Hàm lượng giác)(Hàm mũ)Tài liệu Toán ôn thi đại học, cao đẳng ThS.Nguyễn Thanh Nhàn. Tel: 0982.82.82.02Theo thứ tự ưu tiên trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức vớiHàm lượng giác, nên ta ưu tiên đặt xĐặt 1sin 2cos 22du dxu xdv xdxv x  1 1cos cos cos sin 22 4I xdx C •2 2xI dxĐặt 222212xxdu xdxu xv edv dx  2 211 12 2x xI xe dx I Tính 21xI xe dxĐặt2 21221 112 42x xxxdu dxu xI xe dx xe Cv edv dx  Từ đó:2 22 22 11 12 4xx xx eI xe C  •2 211 cos 1cos cos 42 4xI xdx dx xdx xdx I  Tính 11cos 42I xdx Đặt 11221cos 4sin 44du dxu xdv xdxv x   11 1sin sin sin cos 48 32I xdx C Từ đó: 21 1sin cos 44 32I C •22 1xI dx 10Bên trên chỉ là phần trích dẫn của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font muốn xem hết tài liệu và khôngbị lỗi font vui lòng download tài liệu về máy