Bộ đề luyện thi học sinh giỏi toán lớp 8 phần 1

Đề thi học sinh giỏi toán 8 §Ò sè 1 Bµi 1: (3 ®iÓm)Cho biÓu thøc A    1 3 3   x2 1     :  2 2 x  3  x  3 x   27  3 x a) Rót gän A; b) T×m x ®Ó A < -1. c) Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× A nhËn gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 2: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: a) 1 6y 2   3 y 2  10 y  3 9 y 2  1 1  3 y 6x 1  x 3 x 1  .  b) 3 2  2 4 x  3 2 2 Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét xe ®¹p, mét xe m¸y vµ mét « t« cïng ®i tõ A ®Õn B. Khëi hµnh lÇn lît lóc 5 giê, 6 giê, 7 giê vµ vËn tèc theo thø tù lµ 15 km/h; 35 km/h vµ 55 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu xe ®¹p vµ xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (2 ®iÓm) Cho h×nh ch÷ nhËt ABCD tõ ®iÓm P thuéc ®êng chÐo AC ta dùng h×nh ch÷ nhËt AMPN ( M  AB vµ N AD). Chøng minh: a) BD // MN. b) BD vµ MN c¾t nhau t¹i K n»m trªn AC. Bµi 5: (1 ®iÓm)Cho a = 11…1 (2n ch÷ sè 1), b = 44…4 (n ch÷ sè 4). Chøng minh r»ng: a + b + 1 lµ sè chÝnh ph¬ng. §Ò sè 2 C©u I: (2®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  4 x  5 b) ab(a  b)  ac(a  c)  bc(2a  b  c) 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh 1 1 1 1 4 2 2 2  x  x x  3x  2 x  5x  6 x  7 x  12 5 2 C©u II: (2 ®iÓm) 1) X¸c ®Þnh a, b ®Ó da thøc f ( x)  x 3  2 x 2  ax  b chia hÕt cho ®a thøc g ( x)  x 2  x  1 . 2) T×m d trong phÐp chia ®a thøc P( x)  x161  x 37  x13  x 5  x  2006 cho ®a thøc Q( x)  x 2  1. C©u III: (2 ®iÓm) 1) Cho ba sè a, b, c kh¸c 0 vµ a + b + c = 0. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P a2 b2 c2   a2  b2  c2 b2  c2  a2 c2  a2  b2 2) Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n CMR: a  b , b  c, c   a . a  bc b 2  ac c 2  ab   0 (a  b)(a  c ) (b  a)(b  c) (c  a )(c  b) 2 C©u IV: (3®iÓm) 1) Cho ®o¹n th¼ng AB, M lµ ®iÓm n»m gi÷a A vµ B. Trªn cïng nöa mÆt ph¼ng bê AB kÎ c¸c h×nh vu«ng ACDM vµ MNPB. Gäi K lµ giao ®iÓm cña CP vµ NB. CMR: a) KC = KP b) A, D, K th¼ng hµng. c) Khi M di chuyÓn gi÷a A vµ B th× kho¶ng c¸ch tõ K ®Õn AB kh«ng ®æi. 2) Cho ∆ABC cã ba gãc nhän, ba ®êng cao AA”, BB’, CC’ ®ång quy t¹i H. CMR: C©u V: (1 ®iÓm): biÓu thøc: Q HA' HB' HC '   AA' BB ' CC ' b»ng mét h»ng sè. Cho hai sè a, b kh«ng ®ång thêi b»ng 0. T×m gi¸ trÞ lín nhÊt, nhá nhÊt cña a  ab  b 2 a 2  ab  b 2 2 §Ò sè 3 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc sau thµnh nh©n tö: a (b  c) 2 (b  c)  b(c  a) 2 (c  a )  c(a  b) 2 (a  b) 1 2 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 b) Cho a, b, c kh¸c nhau, kh¸c 0 vµ Rót gän biÓu thøc: N  1 1 1   0 a b c 1 1 1  2  2 a  2bc b  2ca c  2ab 2 Bµi 2: (2®iÓm) a) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: M  x 2  y 2  xy  x  y  1 b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( y  4,5) 4  ( y  5,5) 4  1  0 Bµi 3: (2®iÓm) Mét ngêi ®i xe m¸y tõ A ®Õn B víi vËn tèc 40 km/h. Sau khi ®i ®îc 15 phót, ngêi ®ã gÆp mét « t«, tõ B ®Õn víi vËn tèc 50 km/h. « t« ®Õn A nghØ 15 phót råi trë l¹i B vµ gÆp ngêi ®i xe m¸y t¹i mét mét ®Þa ®iÓm c¸ch B 20 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD. M lµ mét ®iÓm trªn ®êng chÐo BD. KÎ ME vµ MF vu«ng gãc víi AB vµ AD. a) Chøng minh hai ®o¹n th¼ng DE vµ CF b»ng nhau vµ vu«ng gãc víi nhau. b) Chøng minh ba ®êng th¼ng DE, BF vµ CM ®ång quy. c) X¸c ®Þnh vÞ trÝ cña ®iÓm M ®Ó tø gi¸c AEMF cã diÖn tÝch lín nhÊt. Bµi 5: (1®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: 3x 2  5 y 2  345 §Ò sè 4 Bµi 1: (2,5®iÓm)Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x5 + x +1 ;b) x4 + 4;c) x x - 3x + 4 x -2 víi x  0 Bµi 2 : (1,5®iÓm)Cho abc = 2 Rót gän biÓu thøc: A  a b 2c   ab  a  2 bc  b  1 ac  2c  2 ab Bµi 3: (2®iÓm)Cho 4a2 + b2 = 5ab vµ 2a  b  0.TÝnh: P  4a 2  b 2 Bµi 4 : (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC c©n t¹i A. Trªn BC lÊy M bÊt k× sao cho BM  CM. Tõ N vÏ ®êng th¼ng song song víi AC c¾t AB t¹i E vµ song song víi AB c¾t AC t¹i F. Gäi N lµ ®iÓm ®èi xøng cña M qua E F. a) TÝnh chu vi tø gi¸c AEMF. BiÕt : AB =7cm b) Chøng minh : AFEN lµ h×nh thang c©n c) TÝnh : ANB + ACB = ? d) M ë vÞ trÝ nµo ®Ó tø gi¸c AEMF lµ h×nh thoi vµ cÇn thªm ®iÒu kiÖn cña  ABC ®Ó cho AEMF lµ h×nh vu«ng. Bµi 5: (1®iÓm)Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn n th× : 52n+1 + 2n+4 + 2n+1 chia hÕt cho 23. §Ò sè 5 Bµi 1: (2®iÓm) Cho biÓu thøc: M  1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 1) Rót gän M. 2) T×m gi¸ trÞ x ®Ó M > 0. Bµi 2: (2®iÓm) Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. Bµi 3: (1®iÓm) T×m x, y nguyªn sao cho: x 2  2 xy  x  y 2  4 y  0 Bµi 4: (3®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD cè ®Þnh, cã ®é dµi c¹nh lµ a. E lµ ®iÓm di chuyÓn trªn ®o¹n CD (E kh¸c D). §êng th¼ng AE c¾t BC t¹i F, ®êng th¼ng vu«ng gãc víi AE t¹i A c¸t CD t¹i K. 1) Chøng minh tam gi¸c ABF b»ng tam gi¸c ADK. 2) Gäi I lµ trung ®iÓm KF, J lµ trung ®iÓm cña AF. Chøng minh r»ng: JA = JB = JF = JI. 3) §Æt DE = x (a  x > 0) tÝnh ®é dµi c¸c c¹nh cña tam gi¸c AEK theo a vµ x. 4) H·y chØ ra vÞ trÝ cña E sao cho ®é dµi EK ng¾n nhÊt. 2 3 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 Bµi 5: (1®iÓm)Cho x, y, z kh¸c 0 tho¶ m·n: 1 1 1    0. xy yz zx TÝnh N  x2 y2 z2   yz zx xy §Ò sè 6 C©u I: (5 ®iÓm) Rót gän c¸c ph©n thøc sau: 1) 2) x 1  x  x 3x 2  4 x  1 (a  1) 4  11(a  1) 2  30 3( a  1) 4  18(a 2  2a )  3 C©u II: (4 ®iÓm) 1) Cho a, b lµ c¸c sè nguyªn, chøng minh r»ng nÕu a chia cho 13 d 2 vµ b chia cho 13 d 3 th× a 2  b 2 chia hÕt cho 13. 2) Cho a, b, c lµ c¸c sè nguyªn tho¶ m·n abc = 1. TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A a b c   1  a  ac 1  b  bc 1  c  ac 2 2 3) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x2  2 x  1  x 2  2 x  2  7 x  2x  2 x  2x  3 6 C©u III: (4 ®iÓm)§Ó thi ®ua lËp thµnh tÝch chµo mõng ngµy thµnh lËp ®oµn TNCS Hå ChÝ Minh (26/3). Hai tæ c«ng nh©n l¾p m¸y ®îc giao lµm mét khèi lîng c«ng viÖc. NÕu hai tæ lµm chung th× hoµn thµnh trong 15 giê. NÕu tæ I lµm trong 5 giê, tæ 2 lµm trong 3 giê th× lµm ®îc 30% c«ng viÖc. NÕu c«ng viÖc trªn ®îc giao riªng cho tõng tæ th× mçi tæ cÇn bao nhiªu thêi gian ®Ó hoµn thµnh. C©u IV: (3 ®iÓm)Cho h×nh b×nh hµnh ABCD (AC > BD). Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña B, D lªn AC; H, K lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña C trªn AB vµ AD. 1) Tø gi¸c DFBE lµ h×nh g× ? v× sao ? 2) Chøng minh tam gi¸c CHK ®ång d¹ng víi tam gi¸c BCA. 3) Chøng minh AC 2  AB. AH  AD. AK  x  2003 1 C©u V: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2002 §Ò sè 7 2002 2003 C©u I: (2®iÓm) 1. Thùc hiÖn phÐp chia A  2 x 4  x 3  x 2  x  2 cho B  x 2  1 . T×m x  Z ®Ó A chia hÕt cho B. 2. Ph©n tÝch ®a thøc th¬ng trong c©u 1 thµnh nh©n tö. C©u II: (2®iÓm) 1. So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 32  1 vµ B  6(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2. Chøng minh r»ng: 1919 + 69 69 chia hÕt cho 44. C©u III: (2®iÓm) 1. Cho mét tam gi¸c cã ba c¹nh lµ a, b, c tho¶ m·n: (a  b  c) 2  3(ab  bc  ca) . Hái tam gi¸c ®· cho lµ tam gi¸c g× ? 2. Cho ®a thøc f(x) = x100  x 99  ...  x 2  x  1 . T×m d cña phÐp chia ®a thøc f(x) cho ®a thøc x 2  1 . C©u IV: (3®iÓm) Cho tam gi¸c ABC vu«ng ë A, ®êng cao AH. Gäi E, F lÇn lît lµ h×nh chiÕu cña H lªn AB vµ AC. Gäi M lµ giao ®iÓm cña BF vµ CE. 1. Tø gi¸c AEHF lµ h×nh g× ? T¹i sao ? 2. Chøng minh AB. CF = AC. AE 3. So s¸nh diÖn tÝch tø gi¸c AEMF vµ diÖn tÝch tam gi¸c BMC. C©u V : (1 ®iÓm)Chøng minh nghiÖm cña ph¬ng tr×nh sau lµ mét sè nguyªn: x  2 x  3 x  4 x  2005 x  2004 x  2003      2005 2004 2003 2 3 4 §Ò sè 8 C©u 1: (2®iÓm) a) Cho x 2  2 xy  2 y 2  2 x  6 y  13  0 .TÝnh N  3x 2 y  1 4 xy b) NÕu a, b, c lµ c¸c sè d¬ng ®«i mét kh¸c nhau th× gi¸ trÞ cña ®a thøc sau lµ sè d¬ng. A  a 3  b 3  c 3  3abc 3 4 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 2: (2 ®iÓm)Chøng minh r»ng nÕu a + b + c = 0 th×: a b   a  b b  c c  a  c A      9 a b  a  b b  c c  a   c C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« ph¶i ®i qu·ng ®êng AB dµi 60 km trong thêi gian nhÊt ®Þnh. Nöa qu·ng ®êng ®Çu ®i víi vËn tèc lín h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 10km/h. Nöa qu·ng ®êng sau ®i víi vËn tèc kÐm h¬n vËn tèc dù ®Þnh lµ 6 km/h. TÝnh thêi gian « t« ®i trªn qu·ng ®êng AB biÕt ngêi ®ã ®Õn B ®óng giê. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho h×nh vu«ng ABCD trªn c¹nh BC lÊy ®iÓm E. Tõ A kÎ ®êng th¼ng vu«ng gãc v¬i AE c¾t ®êng th¼ng CD t¹i F. Gäi I lµ trung ®iÓm cña EF. AI c¾t CD t¹i M. Qua E dùng ®êng th¼ng song song víi CD c¾t AI t¹i N. a) Chøng minh tø gi¸c MENF lµ h×nh thoi. b) Chøng minh chi vi tam gi¸c CME kh«ng ®æi khi E chuyÓn ®éng trªn BC. C©u 5: (1 ®iÓm) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh: x 6  3x 2  1  y 4 §Ò sè 9 Bµi 1: (2 ®iÓm) 6 1  6 1   x   x  6 2 x  x  Cho M   3 1 1  3 x    x  3 x x  a) Rót gän M. b) Cho x > 0, t×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña M. Bµi 2: (2 ®iÓm) a) T×m x biÕt : (2 x  5) 3  ( x  2) 3  ( x  3) 3 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n + 24 vµ n - 65 lµ hai sè chÝnh ph¬ng. Bµi 3: (2 ®iÓm) a) Cho x vµ y tho¶ m·n: 4 x 2  17 xy  9 y 2  5 xy  4 y  2 .TÝnh H  x 3  y 3  xy b) Cho a, b, c tho¶ m·n: a  b  c  abc Chøng minh: a(b 2  1)(c 2  1)  b(a 2  1)(c 2  1)  c(a 2  1)(b 2  1)  4abc Bµi 4: (4 ®iÓm)Cho h×nh thang ABCD ®¸y nhá AB, Gäi I lµ giao ®iÓm cña AC vµ BD. Qua I vÏ ®êng th¼ng song song víi AB c¾t AD vµ BC lÇn lît t¹i M vµ N. a) Chøng minh IM = IN. b) Chøng minh: 1 1 2   AB CD MN c) Gäi K lµ trung ®iÓm cña DC, vÏ ®êng th¼ng qua M song song víi AK c¾t DC, AC lÇn lît t¹i H vµ E. Chøng minh HM + HE = 2AK. d) Cho S(AIB) = a2 (cm2) , S(DIC) = b2 (cm2). TÝnh S(ABCD) theo a vµ b. §Ò sè 10 C©u 1: (2 ®iÓm) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 2  x  12 ; b) x 8  x  1 ; c) ( x 2  3 x  2)( x 2  11x  30)  5 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) So s¸nh A vµ B biÕt: A  5 32 vµ B  24(5 2  1)(5 4  1)(58  1)(516  1) 2) Cho 3a 2  2b 2  7 ab vµ 3a  b  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: P  C©u 3: (2 ®iÓm) 2005a  2006b 2006a  2007b 1) T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña biÓu thøc: A  2 x 2  9 y 2  6 xy  6 x  12 y  1974 2) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y 2  4 x  2 y  2 x 1  2  0 3) Chøng minh r»ng: a 8  b 8  c 8  d 8  4a 2 b 2 c 2 d 2 C©u 4 Cho ®a thøc f(x) cã c¸c hÖ sè nguyªn. BiÕt r»ng f(1) vµ f(2) lµ c¸c sè lÎ. Chøng minh r»ng ®a thøc f(x) kh«ng cã nghiÖm nguyªn. §Ò sè 11 4 5 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 1: (2 ®iÓm)  4 1  4 1   4 1  1   3  ...19   4  4  4 a) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A    4 1  4 1   4 1   2   4  ... 20   4  4  4  b) Chøng minh r»ng: TÝch cña bèn sè tù nhiªn liªn tiÕp céng víi 1 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho xyz = 2006.Chøng minh r»ng: 2006 x y z   1 xy  2006 x  2006 yz  y  2006 xz  z  1 b) T×m n nguyªn d¬ng ®Ó A = n3 + 31 chia hÕt cho n + 3. c) Cho a  2b  3c  14 . Chøng minh r»ng: a 2  b 2  c 2  14 .  3x 2  3 x 1 1  x 1  . 2  2  3  x  1 x  x  1 x  1  2x  5x  5 C©u 3: (2 ®iÓm)Cho ph©n thøc: B   a) Rót gän B. b) T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña B. C©u 4: a) Chøng minh r»ng víi n  N vµ n > 3 th×: C  1  1 1 1 1 1  3  3  3 ...  3  2 3 2 3 4 5 n b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4)  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  4) §Ò sè 12 C©u 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö a) x 2  7 x  6 ;b) ( x  2)( x  3)( x  4)( x  5)  24 ;c) x 4  4 2) Rót gän: A  1 1 1 1  2  2  2 x  5 x  6 x  7 x  12 x  9 x  20 x  11x  30 2 C©u 2: (2 ®iÓm) 1) T×m ®a thøc f(x) biÕt r»ng f(x) chia cho x-2 th× d 2, f(x) chia cho x-3 th× d 7, f(x) chia cho x2 - 5x + 6 th× ®îc th¬ng lµ 1-x2 vµ cßn d. 2) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña x ®Ó gi¸ trÞ cña biÓu thøc sau lµ sè nguyªn. A 2x 3  x 2  2x  5 2x  1 C©u 3: (2 ®iÓm)Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 1 x  3 x  5 x  2 x  4 x  6      99 97 95 98 96 94 b) ( x 2  x  1) 2  ( x 2  x  1)  12  0 a) 2 C©u 4: T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt nÕu cã cña biÓu thøc sau: B  16 x  4 x  1 (víi x > 0) §Ò sè 13 2x C©u 1: (6 ®iÓm)Ph©n tÝch c¸c ®a thøc sau thµnh nh©n tö; 2 2 2 2 2 a) 2 x  2 y  x  2 xy  y ;b) 2 xy  2 x  y  y ;c) x  2 xy  y  3x  3 y  10 C©u 2 (4 ®iÓm)Cho a  b  c  0 vµ abc  0 . Chøng minh r»ng: 4 2 C©u 3 (4 ®iÓm)Cho biÓu thøc Q  2x  x  1  2 x  3x  1 x  x 1 x 1 §Ò sè 14 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh thõa sè: (a  b  c) 3  a 3  b 3  c 3 3 2 b) Rót gän: 2 x 3  7 x 2 12 x  45 3 x  19 x  33 x  9 5 ( x  1 ) 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 6 C©u 2: (2®iÓm)Chøng minh r»ng: A  n 3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 5040 víi mäi sè t/ nhiªn n. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Cho ba m¸y b¬m A, B, C hót níc trªn giÕng. NÕu lµm mét m×nh th× m¸y b¬m A hót hÕt níc trong 12 giê, m¸y b¬m B hót hÕtníc trong 15 giê vµ m¸y b¬m C hót hÕt níc trong 20 giê. Trong 3 giê ®Çu hai m¸y b¬m A vµ C cïng lµm viÖc sau ®ã míi dïng ®Õn m¸y b¬m B. TÝnh xem trong bao l©u th× giÕng sÏ hÕt níc. b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2 x  a  x  2a  3a (a lµ h»ng sè). §Ò sè 15 3 2 C©u 1: (2 ®iÓm)Cho P  a3  4a2  a  4 a  7a  14a  8 a) Rót gän P. b) T×m gi¸ trÞ nguyªn cña a ®Ó P nhËn gi¸ trÞ nguyªn. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng nÕu tæng cña hai sè nguyªn chia hÕt cho 3 th× tæng c¸c lËp ph¬ng cña chóng chia hÕt cho 3. b) T×m c¸c gi¸ trÞ cña x ®Ó biÓu thøc: P  ( x  1)( x  2)( x  3)( x  6) cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. C©u 3: (2 ®iÓm) a) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1 1 1 1  2  2  x  9 x  20 x  11x  30 x  13x  42 18 2 b) Cho a, b, c lµ ba c¹nh cña mét tam gi¸c. Chøng minh r»ng; A a b c   3 bca acb abc C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ®Òu ABC, gäi M lµ trung ®iÓm cña BC. Mét gãc xMy b»ng 600 quay quanh ®iÓm M sao cho hai c¹nh Mx, My lu«n c¾t c¹nh AB vµ AC lÇn lît t¹i D vµ E. Chøng minh: 2 a) BD.CE  BC 4 b) DM, EM lÇn lît lµ tia ph©n gi¸c cña c¸c gãc BDE vµ CED. C©u 5: (1 ®iÓm)T×m tÊt c¶ c¸c tam gi¸c vu«ng cã sè ®o c¸c c¹nh lµ c¸c sè nguyªn d¬ng vµ sè ®o diÖn tÝch b»ng sè ®o chu vi. 6 7 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 §Ò sè 16 Bµi 1: (2 ®iÓm) a, Gi¶i ph¬ng tr×nh. ( x 2  6 x  9) 3  (1  x 2 ) 3  (6 x  10) 3  0 b) Cho x, y tho¶ m·n: x 2  2 y 2  2 xy  6 x  2 y  13  0 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho Chøng H  x 2  7 xy  52 x y 1 x2  3y y 2  3x víi x, y  0 ; x, y  ; x  y .  x (1  3 y ) y (1  3 x ) 3 1 1 8 minh r»ng:   x  y  . x y 3 §Ò sè 17 Bµi 1: (2 ®iÓm) 1) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: a) x 8  x 7  1 ;b) (4 x  1)(12 x  1)(3x  2)( x  1)  4 2) Cho a  b  c  0 vµ a 2  b 2  c 2  1 . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: M  a 4  b 4  c 4 Bµi 2: (2 ®iÓm) Cho biÓu thøc: M  x2 y2 x2 y2   ( x  y )(1  y ) ( x  y )(1  x) (1  x)(1  y ) a) Rót gän M. b) T×m cÆp sè nguyªn (x, y) ®Ó biÓu thøc M cã gi¸ trÞ b»ng -7. Bµi 3: (2®iÓm)Ngêi ta ®Æt mét vßi níc ch¶y vµo bÓ vµ mét vßi níc ch¶y ra ë lng chõng bÓ. Khi bÓ c¹n, nÕu më c¶ hai vßi th× sau 2 giê 42 phót bÓ ®Çy níc. Cßn nÕu ®ãng vßi ch¶y ra më vßi ch¶y vµo th× sau 1giê rìi ®Çy bÓ. BiÕt vßi ch¶y vµo m¹nh gÊp 2 lÇn vßi ch¶y ra. 1) TÝnh thêi gian níc ch¶y vµo tõ lóc bÓ c¹n ®Õn lóc níc ngang chç ®Æt vßi ch¶y ra. 2) NÕu chiÒu cao cña bÓ lµ 2m th× kho¶ng c¸ch tõ chç ®Æt vßi ch¶y ra ®Õn ®¸y bÓ lµ bao nhiªu. C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i c¸c ph¬ng tr×nh sau: a) x 4  4 x 2  5 ;b) x  1  §Ò sè 18 2x  3  5 4 C©u 2: (2 ®iÓm)Cho biÓu thøc: A  x 2  x x x a) Rót gän biÓu thøc A. b) T×m x ®Ó A > 1. C©u 3: (2 ®iÓm) Hai anh em Trung vµ Thµnh cïng cuèc mét m¶nh vên, vµ sÏ hoµn thµnh trong 5 giê 50 phót. Nhng sau 5 giê lµm chung Trung bËn viÖc kh¸c nªn kh«ng lµm n÷a, mét m×nh anh thµnh ph¶i lµm tiÕp trong 2 giê n÷a míi cuèc xong m¶nh vên. Hái nÕu lµm mét m×nh th× mçi anh ph¶i lµm trong bao l©u?. §Ò sè 19 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch thµnh nh©n tö: x 4  3 x 2  4 x  12 b) TÝnh: A  1 1 1 1    ...  1.3 3.5 5.7 2003.2005 C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho a, b, c lµ hai sè kh¸c nhau vµ kh¸c 0 tho¶ m·n: 3a 2  b 2  4ab . TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x  2   1  3 7 a b ab 8 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 C©u 3: Cho a 3  3ab 2  14 .  3 b  3a 2 b  13 TÝnh gi¸ trÞ cña : P  a 2  b 2 §Ò sè 20 Bµi 1: (2 ®iÓm) a) Cho x > 0, y > 0 tho¶ m·n: b) Víi x  1. x 2  2 xy  3 y 2 .TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x y x y 2 Rót gän biÓu thøc: B   x n  6 xn 1 5 5x  x Bµi 2: (2 ®iÓm) Chøng minh r»ng víi mäi gi¸ trÞ nguyªn cña x th× biÓu thøc P ( x)  1985. x3 x2 x  1978.  5. 3 2 6 cã gi¸ trÞ nguyªn. Bµi 3: (2 ®iÓm) Mét ngêi ®i xe ®¹p, mét ngêi ®i xe m¸y, mét ngêi ®i « t« cïng ®i tõ A vÒ B khëi hµnh lÇn lît lóc 6 giê, 7 giê, 8 giê víi vËn tèc thø tù lµ 10 km/h, 30 km/h, 40 km/h. Hái lóc mÊy giê « t« c¸ch ®Òu ngêi ®i xe ®¹p vµ xe m¸y. Bµi 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC nhän (AB  AC ) cã O lµ giao ®iÓm cña ba ®êng trung trùc, vÏ ra phÝa ngoµi tam gi¸c hai h×nh vu«ng ABDE, ACGH. BiÕt OE = OH. TÝnh sè ®o gãc BAC ? §Ò sè 21 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Rót gän biÓu thøc: A  a 2  a  2  ( a  2) 2  a 2 3  .  2  n 1 n  2 a  3a  4a  4 a  a b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: B  x19  5 x18  5 x17  5 x16  ...  5 x 2  5 x  1886 víi x = 4. C©u 2: (2 ®iÓm) a) T×m nghiÖm nguyªn cña ph¬ng tr×nh x 3  5 x  12 y  4 . b) Cho a, b, c lµ c¸c sè tù nhiªn kh«ng nhá h¬n 1. Chøng minh r»ng: 1 1 2   2 2 1  a 1  b 1  ab C©u 3: (2 ®iÓm) Mét « t« vËn t¶i ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 45 km/h. Sau ®ã mét thêi gian mét « t« con còng ®i tõ A ®Õn B víi vËn tèc 60 km/h vµ nÕu kh«ng cã g× thay ®æi th× ®uæi kÞp « t« t¶i t¹i B. Nhng ngay sau khi ®i ®îc nöa qu·ng ®êng AB, xe t¶i gi¶m bít 5 km/h nªn hai xe gÆp nhau t¹i C c¸ch B 30 km. TÝnh qu·ng ®êng AB. §Ò sè 22 C©u 1: (2 ®iÓm) a) Chøng minh r»ng víi mäi sè nguyªn d¬ng ta cã: A x5 x 4 7 x3 5 x 2 x     120 12 24 12 5 lu«n lu«n lµ sè nguyªn d¬ng. 24 20 16 4 b) Rót gän: B  x26  x24  x22  ....  x 2  1 x  x  x  ....  x  1 C©u 2: (2 ®iÓm)B¹n A hái b¹n B: “ n¨m nay bè mÑ cña anh bao nhiªu tuæi ?” B tr¶ lêi: “ bè t«i h¬n mÑ t«i 4 tuæi. Tríc ®©y khi tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i lµ 104 tuæi th× tuæi cña ba anh em chóng t«i lµ 14; 10 vµ 6. HiÖn nay tæng sè tuæi cña bè mÑ t«i gÊp 2 lÇn tæng sè tuæi cña ba anh em t«i”. TÝnh xem tuæi cña bè mÑ b¹n B lµ bao nhiªu ? C©u 3: (1 ®iÓm) T×m x, y, z  Z tho¶ m·n: (2 x  5 y  1)(2 x  y  x 2  x)  105 §Ò sè 23 C©u 1: (2 ®iÓm) 3k 2  3k  1 víi k  N*.TÝnh tæng S = a1  a2  a3  ....  a2007 (k 2  k ) 3 b) Chøng minh r»ng: A  n3 (n 2  7) 2  36n chia hÕt cho 7 víi mäi n nguyªn. a) Cho a k  C©u 2: (3 ®iÓm) 8 9 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 x 2 a) Cho ba sè x, y, z tho¶ m·n ®ång thêi:  2y 1 0 ; y2  2z  1  0 ; z2  2x  1  0 TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc: A  x 2005  y 2006  z 2007 b) Chøng minh r»ng víi x, y  Z th× P  ( x  y )( x  2 y )( x  3 y )( x  4 y )  y 4 lµ mét sè chÝnh ph¬ng. c) T×m sè d trong phÐp chia: ( x  1)( x  3)( x  5)( x  7)  2007 cho x 2  8 x  1 §Ò sè 24 C©u 1: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 1  1 1 1     ...  .x 2 3 4 2005   a)  2005 2004 2003 2002 1    ....  1 2 3 2004 b) x  1  x  3  4 C©u 2: (2 ®iÓm) T×m tØ lÖ ba ®êng cao cña mét tam gi¸c. BiÕt nÕu céng lÇn lît ®é dµi tõng cÆp hai c¹nh cña tam gi¸c ®ã th× tØ lÖ c¸c kÕt qu¶ lµ 5 : 7 : 8. C©u 3: (2 ®iÓm) a) T×m tæng c¸c hÖ sè cña ®a thøc nhËn ®îc sau khi bá dÊu ngoÆc trong biÓu thøc: P( x)  (2004  2005 x  x 2 ) 2004. (2004  2005 x  x 2 ) 2005 b) T×m sè tù nhiªn n ®Ó n 4  n 2  1 lµ sè nguyªn tè. C©u 4: (3 ®iÓm) Cho tam gi¸c ABC. KÎ ®êng cao AH. Gäi C’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AB, B’ lµ ®iÓm ®èi xøng cña H qua AC. Gäi giao ®iÓm cña B’C’ víi AC vµ AB lµ I vµ K. Chøng minh IB, CK lµ ®êng cao cña tam gi¸c ABC. C©u 5: (1 ®iÓm)Cho a, b, c  0; 1 vµ a  b  c  2 . T×m gi¸ trÞ lín nhÊt cña biÓu thøc P  a2  b2  c2 §Ò sè 25 C©u 1: ( 2 ®iÓm) a) Ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö: x 9  x 7  x 6  x 5  x 4  x 3  x 2  1   1 3y2 y x2       . y  2 4 3 3 2 2   x  xy x  xy x  x y  xy x  y    b) Rót gän biÓu thøc:  C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cã tån t¹i mét cÆp sè tù nhiªn (x, y) nµo ®Ó sè b) Gi¶i ph¬ng tr×nh: y2  2 y  3  4x4  y 4 lµ mét sè nguyªn tè kh«ng. 6 x  2x  4 2 C©u 3: Cho a, b, c lµ ba sè d¬ng. Chøng minh r»ng:1  §Ò sè 26 a b c   2 ab bc ca 4 3 2 C©u 1: (2 ®iÓm) Cho ph©n thøc: A  x4  x 3  x 2  2 x  2 x  2x  x  4x  2 (víi x  Z) a) Rót gän A. b) X¸c ®Þnh x ®Ó A cã gi¸ trÞ nhá nhÊt. C©u 2: (2 ®iÓm) a) Cho x, y, z lµ c¸c sè nguyªn kh¸c 0.Chøng minh r»ng nÕu: x 2  yz  a ; y 2  zx  b ; z 2  xy  c Th× tæng ax  by  cz chia hÕt cho tæng a  b  c . b) Cho ®a thøc f(x) khi chia cho x-2 th× d 5, khi chia cho x-3 th× d 7, cßn khi chia cho 2 x  5 x  6 th× ®îc th¬ng lµ 1  x 2 vµ cßn d. T×m ®a thøc f(x). C©u 3: (2 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: x 3  x 2  x  1 3 C©u 4: T×m tÊt c¶ c¸c sè cã ba ch÷ sè sao cho tæng c¸c nghÞch ®¶o cña c¸c ch÷ sè cña mçi sè b»ng 1. 9 45 Đề thi học sinh giái to¸n 8 10 10 Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầy đủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.