loading
back to top
Upload tài liệu trên DOC24 và nhận giải thưởng hàng tuần Tìm hiểu thêm
Chú ý: Các vấn đề liên quan đến học tập, hãy để lại bình luận trực tiếp trên trang để được phản hồi nhanh hơn phần hỗ trợ trực tuyến của facebook. Xin cảm ơn!

Bài tập tìm chữ số tận cùng

Chia sẻ: 1544 | Ngày: 2016-09-29 13:01:39 | Trạng thái: Được duyệt

Chủ đề: tài liệu toán lớp 6   

124
Lượt xem
3
Tải về





Bên trên chỉ là 1 phần trích dẫn trong tài liệu để xem hết tài liệu vui lòng tải về máy. Bài tập tìm chữ số tận cùng

Bài tập tìm chữ số tận cùng

Bài tập tìm chữ số tận cùng




Tóm tắt nội dung

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNGTìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu vềdạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không cótrong chương trình. Vì thế có không ít bạn học sinh, đặc biệt là các bạn lớp và lớp 7khó có thể hiểu và tiếp thu được. Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bàitoán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS. Chúng ta xuất phát từ tính chất sau Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thìchữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tậncùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)thì chữ số tận cùng là 6. Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn...

Nội dung tài liệu

TÌM CHỮ SỐ TẬN CÙNGTìm chữ số tận cùng của một số tự nhiên là dạng toán hay. Đa số các tài liệu vềdạng toán này đều sử dụng khái niệm đồng dư, một khái niệm trừu tượng và không cótrong chương trình. Vì thế có không ít bạn học sinh, đặc biệt là các bạn lớp và lớp 7khó có thể hiểu và tiếp thu được. Qua bài viết này, tôi xin trình bày với các bạn một số tính chất và phương pháp giải bàitoán “tìm chữ số tận cùng”, chỉ sử dụng kiến thức THCS. Chúng ta xuất phát từ tính chất sau Tính chất 1: a) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, khi nâng lên lũy thừa bậc bất kì thìchữ số tận cùng vẫn không thay đổi. b) Các số có chữ số tận cùng là 4, khi nâng lên lũy thừa bậc lẻ thì chữ số tậncùng vẫn không thay đổi. c) Các số có chữ số tận cùng là 3, 7, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)thì chữ số tận cùng là 1. d) Các số có chữ số tận cùng là 2, 4, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộc N)thì chữ số tận cùng là 6. Việc chứng minh tính chất trên không khó, xin dành cho bạn đọc. Như vậy, muốn tìmchữ số tận cùng của số tự nhiên m, trước hết ta xác định chữ số tận cùng của a. Nếu chữ số tận cùng của là 0, 1, 5, thì cũng có chữ số tận cùng là 0, 1, 5, 6. Nếu chữ số tận cùng của là 3, 7, 9, vì 4n 4n.a với 0, 1, 2, nên từ tínhchất 1c => chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của r. Nếu chữ số tận cùng của là 2, 4, 8, cũng như trường hợp trên, từ tính chất 1d =>chữ số tận cùng của chính là chữ số tận cùng của 6.a r. Bài toán 1: Tìm chữ số tận cùng của các số: a) 99 b) 14 1414 c) 567Lời giải: a) Trước hết, ta tìm số dư của phép chia 99 cho 4: (9 1)(9 1) chia hết cho => 99 4k (k thuộc N) => 99 4k 4k.7 Do 4k có chữ số tận cùng là (theo tính chất 1c) => 99 có chữ số tận cùng là 7.b) Dễ thấy 14 14 4k (k thuộc N) => theo tính chất 1d thì 14 1414 14 4k có chữ số tậncùng là 6. c) Ta có 67 chia hết cho => 67 4k (k thuộc N) => 567 4k 4k.4, theo tính chất 1d, 4k có chữ số tận cùng là nên 567 có chữ sốtận cùng là 4. Tính chất sau được => từ tính chất 1. 1Tính chất 2: Một số tự nhiên bất kì, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n (n thuộcN) thì chữ số tận cùng vẫn không thay đổi. Chữ số tận cùng của một tổng các lũy thừa được xác định bằng cách tính tổng các chữsố tận cùng của từng lũy thừa trong tổng. Bài toán 2: Tìm chữ số tận cùng của tổng 2004 8009. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đềucó dạng 4(n 2) 1, thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất 2, mọi lũy thừa trong và các cơ số tương ứng đều có chữ số tận cùnggiống nhau, bằng chữ số tận cùng của tổng (2 9) 199.(1 9) 200(1 9) +9 9009. Vậy chữ số tận cùng của tổng là 9. Từ tính chất tiếp tục => tính chất 3. Tính chất 3: a) Số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc 4n sẽ có chữ số tậncùng là 7; số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc 4n sẽ cóchữ số tận cùng là 3. b) Số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc 4n sẽ có chữ số tậncùng là 8; số có chữ số tận cùng là khi nâng lên lũy thừa bậc 4n sẽ cóchữ số tận cùng là 2. c) Các số có chữ số tận cùng là 0, 1, 4, 5, 6, 9, khi nâng lên lũy thừa bậc 4n 3sẽ không thay đổi chữ số tận cùng. Bài toán 3: Tìm chữ số tận cùng của tổng 11 2004 8011. Lời giải: Nhận xét: Mọi lũy thừa trong đều có số mũ khi chia cho thì dư (các lũy thừa đềucó dạng 4(n 2) 3, thuộc {2, 3, …, 2004}). Theo tính chất thì có chữ số tận cùng là 8; có chữ số tận cùng là 7; 11 có chữ sốtận cùng là 4; Như vậy, tổng có chữ số tận cùng bằng chữ số tận cùng của tổng: (8 6+ 9) 199.(1 9) 200(1 +4 9) 9019. Vậy chữ số tận cùng của tổng là 9. Trong một số bài toán khác, việc tìm chữ số tận cùng dẫn đến lời giải khá độc đáo. 2Bài toán 4: Tồn tại hay không số tự nhiên sao cho chia hết cho1995 2000. Lời giải: 1995 2000 tận cùng bởi chữ số nên chia hết cho 5. Vì vậy, ta đặt vấn đềlà liệu có chia hết cho không Ta có n(n 1), là tích của hai số tự nhiên liên tiếp nên chữ số tận cùng của 2+ chỉ có thể là 0; 2; => chỉ có thể tận cùng là 1; 3; => khôngchia hết cho 5. Vậy không tồn tại số tự nhiên sao cho chia hết cho 1995 2000. Sử dụng tính chất “một số chính phương chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 0; 1; 4; 5;6; 9” ta có thể giải được bài toán sau: Bài toán 5: Chứng minh rằng các tổng sau không thể là số chính phương: a) 19 1995 1996 (với chẵn) b) 2004 2004k 2003 Sử dụng tính chất “một số nguyên tố lớn hơn chỉ có thể tận cùng bởi các chữ số 1;3; 7; 9” ta tiếp tục giải quyết được bài toán Bài toán 6: Cho là số nguyên tố lớn hơn 5. Chứng minh rằng: 8n +3.p 4n 4chia hết cho 5. Các bạn hãy giải các bài tập sau: Bài 1: Tìm số dư của các phép chia: a) 2003 8005 cho b) 11 2003 8007 cho Bài 2: Tìm chữ số tận cùng của X, Y: 10 2004 8010 12 16 2004 8016 Bài 3: Chứng minh rằng chữ số tận cùng của hai tổng sau giống nhau: 2005 8013 11 2005 8015 Bài 4: Chứng minh rằng không tồn tại các số tự nhiên x, y, thỏa mãn: 19 1980z 1975 430 2004. Các bạn thử nghiên cứu các tính chất và phương pháp tìm nhiều hơn một chữ số tậncùng của một số tự nhiên, chúng ta sẽ tiếp tục trao đổi về vấn đề này. Tìm hai chữ số tận cùng 3Nhận xét: Nếu và 100k y, trong đó k; thì hai chữ số tận cùngcủa cũng chính là hai chữ số tận cùng của y. Hiển nhiên là x. Như vậy, để đơn giản việc tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiênx thì thay vào đó ta đi tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên (nhỏ hơn). Rõ ràng số càng nhỏ thì việc tìm các chữ số tận cùng của càng đơn giản hơn. Từ nhận xét trên, ta đề xuất phương pháp tìm hai chữ số tận cùng của số tự nhiên =a như sau: Trường hợp 1: Nếu chẵn thì m. Gọi là số tự nhiên sao cho ∶25. Viết (p; N), trong đó là số nhỏ nhất để ta có:x q(a pn 1) q. Vì 25 => pn 25. Mặt khác, do (4, 25) nên q(a pn 1) 100. Vậy hai chữ số tận cùng của am cũng chính là hai chữ số tận cùng của aq. Tiếptheo, ta tìm hai chữ số tận cùng của aq. Trường hợp 2: Nếu lẻ, gọi là số tự nhiên sao cho 100. Viết (u N, n) ta có v(a un 1) v. Vì 100 => un 100. Vậy hai chữ số tận cùng của cũng chính là hai chữ số tận cùng của v. Tiếptheo, ta tìm hai chữ số tận cùng của v. Trong cả hai trường hợp trên, chìa khóa để giải được bài toán là chúng ta phảitìm được số tự nhiên n. Nếu càng nhỏ thì và càng nhỏ nên sẽ dễ dàng tìm hai chữsố tận cùng của và v. Bài toán 7: Tìm hai chữ số tận cùng của các số: a) 2003 b) 99 Lời giải: a) Do 2003 là số chẵn, theo trường hợp 1, ta tìm số tự nhiên nhỏ nhấtsao cho 25. Ta có 10 1024 => 10 1025 25 => 20 (2 10 1)(2 10 1) 25 =>2 3(2 20 1) 100. Mặt khác:2 2003 3(2 2000 1) 3((2 20) 100 1) 100k (k N). Vậy hai chữ số tận cùng của 2003 là 08. b) Do 99 là số lẻ, theo trường hợp 2, ta tìm số tự nhiên bé nhất sao cho 1∶ 100. 4Ta có 2401 => 74 100. Mặt khác => 4k (k N) Vậy 99 4k 7(7 4k 1) 100q (q N) tận cùng bởi hai chữ số 07. Bài toán 8: Tìm số dư của phép chia 517 cho 25. Lời giải: Trước hết ta tìm hai chữ số tận cùng của 517. Do số này lẻ nên theotrường hợp 2, ta phải tìm số tự nhiên nhỏ nhất sao cho 100. Ta có 10 59049 => 10 50 => 20 (3 10 1) (3 10 1) 100. Mặt khác: 16 => 5(5 16 1) 20 => 17 5(5 16 1) 20k =>3 517 20k 5(3 20k 1) 5(3 20k 1) 243,có hai chữ số tận cùng là 43. Vậy số dư của phép chia 517 cho 25 là 18. Trong trường hợp số đã cho chia hết cho thì ta có thể tìm theo cách gián tiếp. Trước tiên, ta tìm số dư của phép chia số đó cho 25, từ đó suy ra các khả năng của haichữ số tận cùng. Cuối cùng, dựa vào giả thiết chia hết cho để chọn giá trị đúng. Các thí dụ trên cho thấy rằng, nếu hoặc thì 20 nếu thì 4. Một câu hỏi đặt ra là: Nếu bất kì thì nhỏ nhất là bao nhiêu? Ta có tính chất sau đây(bạn đọc tự chứng minh). Tính chất Nếu và (a, 5) thì 20 25. Bài toán 9: Tìm hai chữ số tận cùng của các tổng: a) S1 2002 2002 2002 ... 2004 2002 b) S2 2003 2003 2003 ... 2004 2003 Lời giải: a) Dễ thấy, nếu chẵn thì chia hết cho 4; nếu lẻ thì 100 chia hết cho 4; nếu achia hết cho thì chia hết cho 25. Mặt khác, từ tính chất ta suy ra với mọi và (a, 5) ta có a100 25. Vậy với mọi ta có 2(a 100 1) 100. Do đó S1 2002 2(2 2000 1) ... 2004 2(2004 2000 1) ... 2004 2. Vì thế hai chữ số tận cùng của tổng S1 cũng chính là hai chữ số tận cùng của tổng +2 ... 2004 2. Áp dụng công thức: ... n(n 1)(2n 1)/6 =>1 ... 2004 2005 4009 334 2684707030, tận cùng là 30. 5Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S1 là 30. b) Hoàn toàn tương tự như câu a, S2 2003 3(2 2000 1) ... 2004 3(2004 2000 1) 3+ 2004 3. Vì thế, hai chữ số tận cùng của tổng S2 cũng chính là hai chữ số tận cùngcủa ... 2004 3. Áp dụng công thức: => ... 2004 (2005 1002) 4036121180100, tận cùng là 00. Vậy hai chữ số tận cùng của tổng S2 là 00. Trở lại bài toán (TTT2 số 15), ta thấy rằng có thể sử dụng việc tìm chữ số tậncùng để nhận biết một số không phải là số chính phương. Ta cũng có thể nhậnbiết điều đó thông qua việc tìm hai chữ số tận cùng. Ta có tính chất sau đây (bạn đọc tự chứng minh). Tính chất 5: Số tự nhiên không phải là số chính phương nếu có chữ số tận cùng là 2, 3, 7, 8; có chữ số tận cùng là mà chữ số hàng chục là chữ số chẵn; có chữ số hàng đơn vị khác mà chữ số hàng chục là lẻ; có chữ số hàng đơn vị là mà chữ số hàng chục khác 2; có hai chữ số tận cùng là lẻ. Bài toán 10: Cho và không chia hết cho 4. Chứng minh rằng 2không thể là số chính phương. Lời giải: Do không chia hết cho nên 4k (r {0, 2, 3}). Ta có -1 2400 100. Ta viết 4k r(7 4k 1) 2. Vậy hai chữ số tận cùng của cũng chính là hai chữ số tận cùng của (r 0,2, 3) nên chỉ có thể là 03, 51, 45. Theo tính chất thì rõ ràng không thể là sốchính phương khi không chia hết cho 4. Tìm ba chữ số tận cùng Nhận xét: Tương tự như trường hợp tìm hai chữ số tận cùng, việc tìm ba chữ sốtận cùng của số tự nhiên chính là việc tìm số dư của phép chia cho 1000. Nếu 1000k y, trong đó k; thì ba chữ số tận cùng của cũng chính là bachữ số tận cùng của (y x). Do 1000 125 mà (8, 125) nên ta đề xuất phương pháp tìm ba chữ số tận cùngcủa số tự nhiên như sau 6Trường hợp 1: Nếu chẵn thì chia hết cho m. Gọi là số tự nhiên saocho chia hết cho 125. Viết (p N), trong đó là số nhỏ nhất để chia hết cho ta có q(a pn 1) q. Vì chia hết cho 125 => pn chia hết cho 125. Mặt khác, do (8, 125) nêna q(a pn 1) chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của cũng chính là ba chữ số tận cùng của q. Tiếp theo, tatìm ba chữ số tận cùng của q. Trường hợp 2: Nếu lẻ gọi là số tự nhiên sao cho chia hết cho 1000. Viết (u N, n) ta có v(a un 1) v. Vì chia hết cho 1000 => un chia hết cho 1000. Vậy ba chữ số tận cùng của cũng chính là ba chữ số tận cùng của v. Tiếp theo, tatìm ba chữ số tận cùng của v. Tính chất sau được suy ra từ tính chất 4. Tính chất 6: Nếu và (a, 5) thì 100 chia hết cho 125. Chứng minh: Do 20 chia hết cho 25 nên 20, 40, 60, 80 khi chia cho 25 cócùng số dư là => 20 40 60 80 chia hết cho 5. Vậy 100 (a 20 1)( 80 60 40 +a 20 1) chia hết cho 125. Bài toán 11: Tìm ba chữ số tận cùng của 123 101. Lời giải: Theo tính chất do (123, 5) => 123 100 chia hết cho 125 (1). Mặt khác 123 100 (123 25 1)(123 25 1)(123 50 1) => 123 100 chia hết cho (2). Vì (8, 125) 1, từ (1) và (2) suy ra 123 100 chi hết cho 1000 => 123 101 123(123 100 1) 123 1000k 123 (k N). Vậy 123 101 có ba chữ số tận cùng là 123. Bài toán 12: Tìm ba chữ số tận cùng của 399...98. Lời giải: Theo tính chất do (9, 5) => 100 chi hết cho 125 (1). 7Tương tự bài 11, ta có 100 chia hết cho (2). Vì (8, 125) 1, từ (1) và (2) suy ra 100 chia hết cho 1000 => 399...98 199...9 100p+ 99 99(9 100p 1) 99 1000q 99 (p, N). Vậy ba chữ số tận cùng của 399...98 cũng chính là ba chữ số tận cùng của 99. Lại vì 100 chia hết cho 1000 => ba chữ số tận cùng của 100 là 001 mà 99 100 9=> ba chữ số tận cùng của 99 là 89 (dễ kiểm tra chữ số tận cùng của 99 là 9, sau đódựa vào phép nhân để xác định ). Vậy ba chữ số tận cùng của 399...98 là 89. Nếu số đã cho chia hết cho thì ta cũng có thể tìm ba chữ số tận cùng một cách giántiếp theo các bước Tìm dư của phép chia số đó cho 125, từ đó suy ra các khả năngcủa ba chữ số tận cùng, cuối cùng kiểm tra điều kiện chia hết cho để chọn giá trịđúng. Bài toán 13: Tìm ba chữ số tận cùng của 2004 200. Lời giải: do (2004, 5) tính chất => 2004 100 chia cho 125 dư => 2004 200 (2004 100) chia cho 125 dư => 2004 200 chỉ có thể tận cùng là 126, 251, 376, 501, 626, 751, 876. Do 2004 200chia hết cho nên chỉ có thể tận cùng là 376. Từ phương pháp tìm hai và ba chữ số tận cùng đã trình bày, chúng ta có thể mở rộngđể tìm nhiều hơn ba chữ số tận cùng của một số tự nhiên. Sau đây là một số bài tập vận dụng: Bài 1: Chứng minh chia hết cho khi và chỉ khi không chiahết cho 4. Bài 2: Chứng minh 20002003, 20002003 có chữ số tận cùng giống nhau. Bài 3: Tìm hai chữ số tận cùng của a) 999 b) 11 1213 Bài 4: Tìm hai chữ số tận cùng của: 23 ... 40023 Bài Tìm ba chữ số tận cùng của: 2004 2004 ... 2003 2004 Bài 6: Cho (a, 10) 1. Chứng minh rằng ba chữ số tận cùng của 101 cũng bằngba chữ số tận cùng của a. Bài 7: Cho là một số chẵn không chia hết cho 10. Hãy tìm ba chữ số tận cùngcủa 200. 8Bài 8: Tìm ba chữ số tận cùng của số: 1993 19941995 ...2000 Bài 9: Tìm sáu chữ số tận cùng của 21. 9Trên đây chỉ là phần trích dẫn 10 trang đầu của tài liệu và có thế hiển thị lỗi font, bạn muốn xem đầyđủ tài liệu gốc thì ấn vào nút Tải về phía dưới.

0 Bình luận



Bạn cần đăng nhập mới có thể viết bình luận




Nhận thông tin qua email


Cập nhật tài liệu hay và mới tại doc24.vn qua email



Hỗ trợ trực tuyến