Bài tập ôn thi vào lớp 10 môn Toán

BAØI TAÄP PHAÀN RUÙT GOÏN Baøi 1 : 1) §¬n gi¶n biÓu thøc : P= 14 + 6 5 + 14 − 6 5 .  x +2 x − 2  x +1 − 2) Cho biÓu thøc : Q =  ÷ ÷. x  x + 2 x +1 x −1  a) Ruùt goïn bieåu thöùc Q. b) T×m x ®Ó Q > - Q. c) T×m sè nguyªn x ®Ó Q cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : 1. P = 6 2. a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : Q = b) Q > - Q ⇔ x > 1. c) x = {2;3} th× Q ∈ Z Baøi 2 : Cho biÓu thøc P = 1 x +1 + 2 . x −1 x x −x a) Rót gän biÓu thøc sau P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc P khi x = 1 2 . Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : P = b) Víi x = 1 2 x +1 . 1 −x th× P = - 3 – 2 2 . Baøi 3 : Cho biÓu thøc : A = x x +1 x −1 − x −1 x +1 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) TÝnh gi¸ trÞ cña biÓu thøc A khi x = c) T×m x ®Ó A < 0. d) T×m x ®Ó A = A. 1 4 Híng dÉn : a) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi x = 1 th× A = - 1. 4 c) Víi 0 ≤ x < 1 th× A < 0. d) Víi x > 1 th× A = A. 1 x x −1 . 1  3   1 + Baøi 4 : Cho biÓu thøc : A =  ÷ 1 − ÷ a + 3  a  a −3 a) Rót gän biÓu thøc sau A. b) X¸c ®Þnh a ®Ó biÓu thøc A > 1 . 2 Híng dÉn : a) §KX§ : a > 0 vµ a ≠ 9. BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi 0 < a < 1 th× biÓu thøc A > 2 . a +3 1 . 2  x + 1 x − 1 x 2 − 4x − 1  x + 2003 − + Baøi 5 : Cho biÓu thøc: A=  . ÷. x2 − 1  x  x −1 x +1 1) T×m ®iÒu kiÖn ®èi víi x ®Ó biÓu thøc cã nghÜa. 2) Rót gän A. 3) Víi x ∈ Z ? ®Ó A ∈ Z ? Híng dÉn : a) §KX§ : x ≠ 0 ; x ≠ ± 1. b) BiÓu thøc rót gän : A = x + 2003 víi x ≠ 0 ; x ≠ ± 1. x c) x = - 2003 ; 2003 th× A ∈ Z . ( )  x x −1 x x +1  2 x − 2 x +1 − A =  . ÷: x −1 x+ x ÷  x− x  Baøi 6 : Cho biÓu thøc: a) Rót gän A. b) T×m x ®Ó A < 0. c) T×m x nguyªn ®Ó A cã gi¸ trÞ nguyªn. Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Víi 0 < x < 1 th× A < 0. c) x = {4;9} th× A ∈ Z. Baøi 7 : Cho biÓu thøc: x +1 x −1 .  x+2 x 1  x −1 + + : ÷ A =  ÷ 2  x x −1 x + x +1 1 − x  a) Rót gän biÓu thøc A. b) Chøng minh r»ng: 0 < A < 2. Híng dÉn : a) §KX§ : x > 0 ; x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : A = b) Ta xÐt hai trêng hîp : +) A > 0 ⇔ +) A < 2 ⇔ 2 x + x +1 2 > 0 lu«n ®óng víi x > 0 ; x ≠ 1 (1) x + x +1 2 < 2 ⇔ 2( x + x +1 ) > 2 ⇔ x + x > 0 ®óng v× theo gt th× x > 0. (2) x + x +1 Tõ (1) vµ (2) suy ra 0 < A < 2(®pcm). 2 a +3 Baøi 8 : Cho biÓu thøc: P = a −2 − a −1 a +2 + 4 a −4 (a ≥ 0; a ≠ 4) 4−a a) Rót gän P. b) TÝnh gi¸ trÞ cña P víi a = 9. Híng dÉn : a) §KX§ : a ≥ 0, a ≠ 4. BiÓu thøc rót gän : P = 4 a −2 b) Ta thÊy a = 9 ∈ §KX§ . Suy ra P = 4  a + a  a − a  ÷ 1 − ÷ Baøi 9 : Cho biÓu thøc: N =  1 + a + 1 ÷ a − 1 ÷   1) Rót gän biÓu thøc N. 2) T×m gi¸ trÞ cña a ®Ó N = -2004. Híng dÉn : a) §KX§ : a ≥ 0, a ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : N = 1 – a . b) Ta thÊy a = - 2004 ∈ §KX§ . Suy ra N = 2005. Baøi 10 : Cho biÓu thøc P = x x + 26 x − 19 2 x − + x +2 x −3 x −1 x −3 x +3 a. Rót gän P. b. TÝnh gi¸ trÞ cña P khi x = 7 − 4 3 c. Víi gi¸ trÞ nµo cña x th× P ®¹t gi¸ trÞ nhá nhÊt vµ tÝnh gi¸ trÞ nhá nhÊt ®ã. Híng dÉn : a ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 1. BiÓu thøc rót gän : P = b) Ta thÊy x =7 −4 3 ∈ §KX§ . Suy ra P = x + 16 x +3 103 + 3 3 22 c) Pmin=4 khi x=4.  2 x  x 3x + 3   2 x − 2 Baøi 11 : Cho biÓu thøc P =  x + 3 + x + 3 − x − 9  :  x − 3 −1     b. T×m x ®Ó P < − a. Rót gän P. 1 2 c. T×m gi¸ trÞ nhá nhÊt cña P. Híng dÉn : a. ) §KX§ : x ≥ 0, x ≠ 9. BiÓu thøc rót gän : P = b. Víi 0 ≤ x < 9 th× P < − −3 x +3 1 2 c. Pmin= -1 khi x = 0  a +1  a −1 1  − +4 a÷ . a + Bµi 12: Cho A=   ÷ víi x>0 ,x ≠ 1 ÷ a +1 a  a −1  a. Rót gän A 3 ( )( b. TÝnh A víi a = 4 + 15 . )( 10 − 6 . 4 − 15 ) ( KQ : A= 4a )  x −3 x   9− x x −3 x −2 − 1÷ :  + − Bµi 13: Cho A=  ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9, x ≠ 4 . ÷ x −2 x +3÷  x−9   x+ x −6  a. Rót gän A. b. x= ? Th× A < 1. c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z 3 (KQ : A= ) x −2 15 x − 11 3 x − 2 2 x + 3 + − víi x ≥ 0 , x ≠ 1. x + 2 x − 3 1− x x +3 Rót gän A. T×m GTLN cña A. 1 T×m x ®Ó A = 2 2 2−5 x CMR : A ≤ . (KQ: A = ) 3 x +3 Bµi 14: Cho A = a. b. c. d. Bµi 15: Cho A = x+2 x +1 1 + + x x −1 x + x + 1 1− x víi x ≥ 0 , x ≠ 1. a . Rót gän A. b. T×m GTLN cña A . Bµi 16: Cho A = ( KQ : A = x ) x + x +1 1 3 2 − + víi x ≥ 0 , x ≠ 1. x +1 x x +1 x − x +1 a . Rót gän A. b. CMR : 0 ≤ A ≤ 1 ( KQ : A= x ) x − x +1  x −5 x   25 − x x +3 x −5 − 1÷ :  − + Bµi 17: Cho A =  ÷ ÷ x +5 x −3÷  x − 25   x + 2 x − 15  a. Rót gän A. b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z ( KQ : A= 5 ) x +3 2 a −9 a + 3 2 a +1 − − a −5 a +6 a − 2 3− a a. Rót gän A. b. T×m a ®Ó A < 1 Bµi 18: Cho A = 4 víi a ≥ 0 , a ≠ 9 , a ≠ 4. c. T×m a ∈ Z ®Ó A ∈ Z ( KQ : A = a +1 ) a −3  x− x +7 1   x +2 x −2 2 x  + : − − Bµi 19: Cho A=  ÷  ÷ víi x > 0 , x ≠ 4. ÷  x −2 x − 4 x−4÷ x − 2 x + 2     a. Rót gän A. x+9 1 b. So s¸nh A víi ( KQ : A = ) 6 x A 3 3  x− y x − y  ÷: Bµi20: Cho A =  +  x− y y−x ÷   a. Rót gän A. b. CMR : A ≥ 0 ( KQ : ( x− y ) 2 + xy víi x ≥ 0 , y ≥ 0, x ≠ y x+ y A= xy ) x − xy + y x x −1 x x +1  1   x +1 x −1  − + x − + ÷ Víi x > 0 , x ≠ 1. ÷.  x− x x+ x  x   x −1 x +1÷  a. Rót gän A. Bµi 21 : Cho A = b. T×m x ®Ó A = 6 ( KQ : A = ( ) 2 x + x +1 x   x −4 3 ÷  x +2 x   + :  − Bµi 22 : Cho A = ÷  x x −2 x −2÷  x x −2÷    a. Rót gän A b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5 (KQ: A = 1− x ) ( ) ) víi x > 0 , x ≠ 4. 1   1 1  1  1 + − Bµi 23 : Cho A=  víi x > 0 , x ≠ 1. ÷:  ÷+  1− x 1+ x   1− x 1+ x  2 x a. Rót gän A 3 b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5 (KQ: A= ) 2 x  2x +1 1   x+4  − : 1 − Bµi 24 : Cho A=  3 víi x ≥ 0 , x ≠ 1. ÷ ÷  x + x +1 ÷ x − 1  x − 1   a. Rót gän A. x b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z (KQ: A= ) x −3  1   1 2 x −2 2  − : − Bµi 25: Cho A=  ÷ ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1. ÷  x +1 x x − x + x −1   x −1 x −1  a. Rót gän A. b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z 5 c. T×m x ®Ó A ®¹t GTNN . (KQ: A= x −1 ) x +1  2 x x 3x + 3   2 x − 2  + − − 1÷ Bµi 26 : Cho A =  ÷:  ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9 x −3 x −9 ÷  x +3   x −3  . a. Rót gän A. 1 b. T×m x ®Ó A < 2 −3 ( KQ : A = ) a +3  x +1 x −1 8 x   x − x − 3 1  − − : − Bµi 27 : Cho A =  ÷  ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1.  x +1 x −1 ÷ x −1 ÷  x −1   x −1  a. Rót gän A 4 x b. TÝnh A víi x = 6 − 2 5 (KQ: A= ) x+4 c . CMR : A ≤ 1 Bµi 28 : 1  x +1  1 + Cho A =  ÷: x −1  x − 2 x +1  x− x a. Rót gän A (KQ: víi x > 0 , x ≠ 1. A= x −1 ) x b.So s¸nh A víi 1  x −1 1 8 x   3 x −2 1 − + : 1 − Cho A =  Víi x ≥ 0, x ≠ ÷ ÷ ÷ ÷ 9  3 x −1 3 x +1 9 x −1   3 x +1  a. Rót gän A. 6 b. T×m x ®Ó A = 5 c. T×m x ®Ó A < 1. x+ x ( KQ : A = ) 3 x −1  x −2 x + 2  x2 − 2 x + 1 − Bµi30 : Cho A =  víi x ≥ 0 , x ≠ 1. ÷ ÷. 2  x −1 x + 2 x +1  a. Rót gän A. b. CMR nÕu 0 < x < 1 th× A > 0 c. TÝnh A khi x =3+2 2 d. T×m GTLN cña A (KQ: A = x (1 − x ) ) Bµi 29 :  x+2 x 1  x −1 + + Bµi 31 : Cho A =  ÷ ÷: 2  x x −1 x + x +1 1− x  a. Rót gän A. 6 víi x ≥ 0 , x ≠ 1. b. CMR nÕu x ≥ 0 , x ≠ 1 th× A > 0 , (KQ: 4 1  x−2 x  + Cho A =  1 − ÷: x +1 x −1  x −1  Bµi 32 : A= 2 ) x + x +1 víi x > 0 , x ≠ 1, x ≠ 4. a. Rót gän 1 2  x +1 x − 2 x − 3   x + 3 2  − : + Bµi 33 : Cho A =  ÷ ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 1. ÷ x −1   x −1 x +1   x −1 a. Rót gän A. b. TÝnh A khi x= 0,36 c. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z  x   x +3 x +2 x +2  : + + Bµi 34 : Cho A=  1 − ÷  ÷ ÷ ÷ víi x ≥ 0 , x ≠ 9 , x ≠ 4.  1+ x   x − 2 3 − x x − 5 x + 6  a. Rót gän A. b. T×m x ∈ Z ®Ó A ∈ Z x −2 c. T×m x ®Ó A < 0 (KQ: A = x +1 BAØI TAÄP PHAÀN HAØM SOÁ BAÄC N Baøi 1 : 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4). 2) T×m to¹ ®é giao ®iÓm cña ®êng th¼ng trªn víi trôc tung vµ trôc hoµnh. Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng cÇn t×m cã d¹ng : y = ax + b. b. T×m x ®Ó A = Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 2) vµ (-1 ; -4) ta cã hÖ pt : 2= a+ b ⇔  − 4= −a+ b a= 3  b= −1 VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = 3x – 1 2) §å thÞ c¾t trôc tung t¹i ®iÓm cã tung ®é b»ng -1 ; §å thÞ c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 1 . 3 Baøi 2 : Cho hµm sè y = (m – 2)x + m + 3. 1) T×m ®iÒu kiÖn cña m ®Ó hµm sè lu«n nghÞch biÕn. 2) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. 3) T×m m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè trªn vµ c¸c ®å thÞ cña c¸c hµm sè y = -x + 2 ; y = 2x – 1 ®ång quy. Híng dÉn : 1) Hµm sè y = (m – 2)x + m + 3 ⇔ m – 2 < 0 ⇔ m < 2. 2) Do ®å thÞ cña hµm sè c¾t trôc hoµnh t¹i ®iÓm cã hoµnh ®é b»ng 3. Suy ra : x= 3 ; y = 0 Thay x= 3 ; y = 0 vµo hµm sè y = (m – 2)x + m + 3, ta ®îc m = 7 3 . 4 3) Giao ®iÓm cña hai ®å thÞ y = -x + 2 ; y = 2x – 1 lµ nghiÖm cña hÖ pt : ⇔ (x;y) = (1;1).  y = − x+ 2   y = 2x − 1 §Ó 3 ®å thÞ y = (m – 2)x + m + 3, y = -x + 2 vµ y = 2x – 1 ®ång quy cÇn : (x;y) = (1;1) lµ nghiÖm cña pt : y = (m – 2)x + m + 3. Víi (x;y) = (1;1) ⇒ m = −1 2 Baøi 3 : Cho hµm sè y = (m – 1)x + m + 3. 1) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) T×m gi¸ trÞ cña m ®Ó ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 3) T×m ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ cña hµm sè lu«n ®i qua víi mäi m. Híng dÉn : 1) §Ó hai ®å thÞ cña hµm sè song song víi nhau cÇn : m – 1 = - 2 ⇔ m = -1. VËy víi m = -1 ®å thÞ cña hµm sè song song víi ®å thÞ hµm sè y = -2x + 1. 2) Thay (x;y) = (1 ; -4) vµo pt : y = (m – 1)x + m + 3. Ta ®îc : m = -3. VËy víi m = -3 th× ®å thÞ cña hµm sè ®i qua ®iÓm (1 ; -4). 3) Gäi ®iÓm cè ®Þnh mµ ®å thÞ lu«n ®i qua lµ M(x0 ;y0). Ta cã y0 = (m – 1)x0 + m + 3 ⇔ (x0 – 1)m - x0 - y0 + 3 = 0 ⇔  x0 = 1   y0 = 2 VËy víi mäi m th× ®å thÞ lu«n ®i qua ®iÓm cè ®Þnh (1;2). Baøi4 : Cho hai ®iÓm A(1 ; 1), B(2 ; -1). 1) ViÕt ph¬ng tr×nh ®êng th¼ng AB. 2) T×m c¸c gi¸ trÞ cña m ®Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2). Híng dÉn : 1) Gäi pt ®êng th¼ng AB cã d¹ng : y = ax + b. Do ®êng th¼ng ®i qua hai ®iÓm (1 ; 1) vµ (2 ;-1) ta cã hÖ pt : 1 = a + b ⇔   − 1 = 2a + b a= −2  b= 3 VËy pt ®êng th¼ng cÇn t×m lµ y = - 2x + 3. 2) §Ó ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua 2 ®iÓm C(0 ; 2) ta cÇn :  m − 3m = − 2 ⇔  2  m − 2m + 2 = 2 m = 2. VËy m = 2 th× ®êng th¼ng y = (m2 – 3m)x + m2 – 2m + 2 song song víi ®êng th¼ng AB ®ång thêi ®i qua ®iÓm C(0 ; 2) 8