Sử dụng đạo hàm trong giải phương trình và hệ phương trình

BÀI TẬP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH-HỆ PHƯƠNG TRÌNH( SỬ DỤNG ĐẠO HÀM) Bài 1: Giải phương trình 21 2+ ++xx xxx Giải: Ta có fx x+ =3 tăng trên R, nên phương trình tương đương (+ =x fx1 2+ ⇔xx Hàm số (+ =x gxxác định trên ()e gx2 /log log ln (≥ Vậy phương trình có nhiều nhất nghiệm trên ()) (log log ;2 2e∞− ()∞+ (log log2 2e Thử trực tiếp tìm được hai nghiệm là 0==x Bài 2: Giải phương trình log1 25− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛− −− −x xx Giải Điều kiện x.Đặt 2≥ =x t(chứng minh) phương trình tương đương log5− +tt ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧⎩ ⎨⎧=+ =⇔− −+ =⇔⎩ ⎨⎧+ =+ =⇔t ytt yt yty tty t1 5(*) 51 51 51 50=⇔t 2= ⇔x 2≤ ⇔x Bài 3: Giải phương trình 3244 24 22 1− =x Giải 12 42 4= ⇔x Xét hàm số 12 12 12 42 4+ =x Lập bảng biến thiên, suy ra hàm số có trục đối xứng =1 Do đó đặt =X x, ta có phương trình ⎢⎣ ⎡+ =− =⇔ −11 111 10 82 4xxX Bài 4: Giải phương trình ()xxxcos cos4 cos (= Giải Đặt cos≤≤ =y ()y yy4 (= Đặt ()14 24 ln 6) 14 24 3) (2 /−+ −+ =yyy yy f()2/4 ln 16 (y yy f+ Đây là phương trình bậc hai theo y4, nên có không quá nghiệm. Vậy theo định lý Roolle phương trình (= có không quá nghiệm. Ta có ,2 1, 0= =y là nghiệm của phương trình (=y Suy ra phương trình có nghiệm πππππ23 2,2 2k x+ Bài 5: Giải phương trình 31 4log2 62 622008− =+++x xxxx Giải 12008 20081 42 62 622 241 6+ =+ ++++ +x xx xxxx vì hàm số xx f2008 (= tăng trên Giải phương trình 33 6≥ −u phương trình chỉ có nghiệm trong (0,2) Đặt cos 2π< =t 13 cos= ⇒t Suy ra phương trình có nghiệm cos 2π± Bài 6: Giải phương trình xx xcos sin2 5. sin2 5. cos⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=⎟⎠ ⎞⎜⎝ Giải Cosx và sinx không là nghiệm Xét 2πkx≠ xx xcos 5sin 5cos sin⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛= ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔ Xét hàm số 5) (≠ ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=t tt ft. Hàm số (t fnghịch biến Suy ra ππk x+ =4 cos sin Bài 7: Giải phương trình 23 25 4log (22 2+ =++ ++ +xxx xx Giải Đk 2> []3 log log (2 22 2+ ⇔x Đặt log (2> =t Tương tựPhương trình có nghiệm Bài 8: Giải phương trình xxx x2007 2007 1975 1975cos1sin1cos sin− Giải xxxx2007 19752007 1975cos1cossin1sin− cos sin= =x không là nghiệm của phương trình Đặt hàm số 1) (2007 1975∪ =tt Ta có 20071975 (2008 1974 /> =t nên hàm số tăng trên mỗi khoảng (t t− chỉ nhận giá trị dương (t t∈ chỉ nhận giá trị âm Nên ππk f+ =4 cos sin (cos (sin Bài 9: Giải phương trình x4 2cos cos sin sin cos .2 cos sin .2 sin− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛π Giải ()x x4 2cos cos cos cos cos .2 cos cos .2 cos− =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛−⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔π ⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ =⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ⇔x x2 4cos .2 cos cos cos cos .2 cos cos cosπ Xét hàm số .2 cos (2≤ ≤⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ =t fπ. (t giảm cos cos (cos (cos2 2πkx f= Bài 10: Giải phương trình []35 376 34 log 376 34 376 34 222 93 342= −+ −x xx Giải Đặt 87 376 342≥ =t 256 256 log 256 35 log 232 256 283 32 3t tt t= Hàm số) log (32 3t ft t= đồng biến trên [)∞+; 30 256 376 34 2562= ⇔x Bài 11: Giải phương trình cos cos log cos2 12 1342sin 2− +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛x xx Giải :Đặt 13 1( cos≤ =y log2 124 1− ⇔−y yy Đặt log2≤ =t tt Ta có hệ yyt yt yt y+ ⇔⎩ ⎧− =− =2 21 21 Xét hàm số gu+ =2 (, hàm số đồng biến trên 2= ⇔t tt Xét hàm số (+ =t ft, sử dụng định lý Roll cm phương trình có không quá nghiệm Phương trình có nghiệm 1L t= =, suy ra phương trình có nghiệm πk x= Bài 12: Giải phương trình 17 12 343 64− −+ −x Giải Đặt 17 2−= =x xc 33 3= ⇔abc a0 02) () (2 2= =⎥⎦ ⎤⎢⎣ ⎡− −+ ⇔c ac 21= ⇔− Xét hàm số ln .724 ln (/ 1x xx f+ =− Phương trình (/= có nghiệm duy nhất nên theo định lí Lagrange phương trình (=x không có quá nghiệm phân biệt Phương trình có nghiệm 1= =x Bài 13: Giải phương trình log log23 23 2− −++x Giải Điều kiện x< <3 log log23 23 8− ⇔+ +x Đặt 7+ và 22− =x ta alog log1= ⇔+ Đặt yalog 11 11=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ +⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+ ⇔y ya aa1 ⇔y là nghiệm duy nhất Phương trình có nghiệm 11 1+ Bài 14: Giải hệ phương trình()()()⎪⎩ ⎪⎨ ⎧+ =+ =+ =4 log log4 log log4 log log3 53 53 5x zz yy Giải Hệ phương trình không đổi qua phép hoán vị vòng quanhz yx==⇒ Từ đó ta có ()4 log log3 5+ =x x, đặt t5log==13 1435=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟ ⎟⎠ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎛⇔t Phương trình có đúng ngiệm do hàm số 13 1435) (=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟ ⎟⎠ ⎞⎜ ⎜⎝ ⎛=t tt nghịch biến Hệ phương trình có nghiệm 25== =z Bài 15: Giải hệ phương trình ()⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= +− −−0 22 32 22 22221x xxyyxx Giải Từ phương trình (2) 22 11 (xxy xy x−= (1) 2222 122 122 1221xxxxxxxx−= −⇔+ −+ xét hàm số 02 12 ln (2 (/> =t tt tt 2222 12 1xxxx−= −⇔ Hệ phương trình có nghiệm 3, 2− =y Bài 16: Giải hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧+ ++ +=−1 log log 31 12 32 22 2y xy xex Giải Đk 2> +y và 2> ++y (1) ln( ln(2 2+ ⇔y Hàm số ln (> =t đồng biến trên (∞+=y x± ⇔1 12 .Nếu log (3−==⇔ =y x.Nếu yx= (2)u x6 log log 32 3=+ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧=⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛⇔= += +⇔19 89 12 13 232u uuux Hàm số uu g⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛+⎟⎠ ⎞⎜⎝ ⎛=9 89 1) nghịch biến trên R, suy ra 1=u là nghiệm duy nhất Hệ phương trình có nghiệm 3, 2− =y và 7==y Bài 17: Giải hệ phương trình ()⎪ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= +− −+++2 72 32) 222 1281 2y xx yy xyx Giải Đk ;≥ ()⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= ++ +⇔++++7 24 2121 2) (1 2y xy xy xyx Hàm số fx3 (1 2+ =+ đồng biến trên [)∞; ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧⎪ ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧⎪⎩ ⎪⎨ ⎧= =⇔= +=⇔= +=⇔5 541 4) () (y xy xy xf fy Bài 18: Giải hệ phương trình ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧− =− =− =) cos cos log cos) cos cos log cos) cos cos log cos222z zy yx Giải ⎪⎩ ⎪⎨ ⎧+ =+ =+ =⇔4 84 84 8222Z YY XX ZZY Hàm số ()4 28 1) (2+ =t ft đồng biến trên ⎥⎦ ⎤⎜⎝ ⎛1 ;2 ()4 28 12+ ⇔X XX Giải bằng đồ thị ⎢⎣ ⎡= == =⇔) 21l XZ Hệ phương trình có nghiệm πππ2 2m x===Bài 19: Giải hệ phương trình ⎨⎧+ ++ +2 (cos log sin log2 (sin log cos log3 23 2x yy Giải Đk sin cos≥ (sin log sin log (cos log cos log3 2y x=+= Hàm số f3 2log log (+ =03 ln22 ln (3) (/> ++ ⇒t đồng biến trên ∀t ycos sin= Thay vào phương trình (1) (cos log cos log3 2+=+ ⇒x Lập BBT hàm số g3 2log log (− += với (]1 cos∈=x phương trình chỉ có nghiệm 1cos cos= =x Bài 20: Giải hệ phương trình 34223282182 xy yxy xy ⎧−=⎪⎨++=⎪⎩ Giải: Hệ tương đương ()33228 (1)0( 18 (2) yx yxyyx ⎧−=⎪⇒> >⎨+=⎪⎩ (2)438xyy ⇒= −, thay vào (1) được: 3433828yyyy ⎡⎤⎛⎞⎢⎥−−=⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦ (3) Đặt ty=>, (3) trở thành:()343226 9343828 28 0ttt tttt ⎡⎤⎛⎞⎢⎥−−=⇔− =⎜⎟⎜⎟⎢⎥⎝⎠⎣⎦ Xét hàm ()3934() 28ftt t=− +ta có: ()82 34\'( 28 0, 0fttt t=+ −+>∀> Chứng tỏ hàm số f(t) đồng biến trên khoảng (0;+∞) phương trình f(t) nếu có nghiệm trên Khoảng (0;+∞) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất. Từ đó suy ra hệ phương trình đă cho nếu có nghiệm (x0, y0) thì nghiệm đó là nghiệm duy nhất của hệ. Nếu chọn 2y thì từ (1) ta có: 44222 yy x=⇔ ⇒=. Rỏ ràng cặp số(2 2; thỏa (2). Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2 2; ). Bài 21: Tìm số nghiệm của nằm trong khoảng (π của phương trình 5) sin 10 sin 12 sin (2 cos 22+ −e ex Giải :011 tg\'g1-360+_-5fu016 tf\'0+_0Đặt sin2≤ =t 5) 10 12 (2 2+ ⇔−e et Xét hàm số 10 12 (2 2t ft+ =− []) 10 12 10 24 24 () /t ft t− −− Với 11 24 12 22 24 (2 3+ =t Lập bảng biến thiên, suy ra phương trình (=t có nghiệm duy nhất 631 ,− =u Lập bảng biến thiên hàm số (t f, suy ra phương trình (=t có nghiệm duy nhất t< =0 Suy ra phương trình x± =sin có nghiệm phân biệt (π∈x