Ôn tập phương trình bậc hai một ẩn

Lý thuyết

Bài 54 (SGK trang 63)

Vẽ đồ thị của hai hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) và \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) trên cùng một hệ trục tọa độ.

a) Qua điểm B(0;4) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(y=\dfrac{1}{4}x^2\) tại hai điểm M và M'. Tìm hoành độ của M và M'.

b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(y=-\dfrac{1}{4}x^2\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M, điểm N' có cùng hoành độ với M'. Đường thẳng NN' có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N' bằng hai cách:

- Ước lượng trên hình vẽ.

- Tính toán theo công thức.

Hướng dẫn giải

- Bảng giá trị:

- Vẽ đồ thị:

a) Đường thẳng qua B(0; 4) song song với Ox cắt đồ thị tại hai điểm M, M' (xem hình). Từ đồ thị ta có hoành độ của M là x = 4, của M' là x = - 4.

Bài 55 (SGK trang 63)

Cho phương trình x² - x - 2 = 0.

a) Giải phương trình.

b) Vẽ hai đồ thị y = x² và y = x + 2 trên cùng một hệ trục tọa độ.

c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị.

Hướng dẫn giải

Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là x = -1; x= 2. Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình x² - x - 2 = 0 ở câu a).

Bài 56 (SGK trang 63)

Giải các phương trình:

a)  3x⁴ - 12x² + 9 = 0;          b)  2x⁴ + 3x² - 2 = 0;         c) x⁴ + 5x² + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a). Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(3y^2-12y+9=0\)

\(\Leftrightarrow y^2-4y+3=0\)

Nhận xét : \(a+b+c=1+\left(-4\right)+3=0\)

\(\Rightarrow y_1=1\) (TM \(y\ge0\))

\(y_2=\dfrac{3}{1}=3\)

Với \(y=y_1=1\Rightarrow x^2=1\Leftrightarrow x_1=1;x_2=-1\)

Với \(y=y_2=3\Rightarrow x^2=3\Leftrightarrow x_3=\sqrt{3};x_4=-\sqrt{3}\)

Vậy \(x_1=1;x_2=-1;x_3=\sqrt{3};x_4=-\sqrt{3}\) là các giá trị cần tìm

b) . Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(2y^2+3y-2=0\)

\(\Delta_y=3^2-4\cdot2\cdot\left(-2\right)=9+16=25\) \(\left(\sqrt{\Delta}=5\right)\)

Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow\)\(y_1=\dfrac{-3+5}{2\cdot2}=\dfrac{1}{2}\) (TM \(y\ge0\) )

\(y_2=\dfrac{-3-5}{2\cdot2}=-2\) (KTM \(y\ge0\) )

Với \(y=y_1=\dfrac{1}{2}\Rightarrow x^2=\dfrac{1}{2}\Leftrightarrow x_1=\dfrac{1}{4};x_2=-\dfrac{1}{4}\)

Vậy \(x_1=\dfrac{1}{4};x_2=-\dfrac{1}{4}\) là các giá trị cần tìm

c) Đặt \(x^2=y\) \(\left(y\ge0\right)\) ta có ;

\(y^2+5y+1=0\)

\(\Delta_y=5^2-4\cdot1\cdot1=25-4=21\)

Vì \(\Delta>0\) nên pt có 2 nghiệm phân biệt

\(\Rightarrow y_1=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{-5+\sqrt{21}}{2}\) (KTM \(y\ge0\))

\(y_2=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2\cdot1}=\dfrac{-5-\sqrt{21}}{2}\) (KTM \(y\ge0\))

Vậy pt đã cho vô nghiệm

Bài 57 (SGK trang 63)

Giải các phương trình:

a)  \(5x^2-3x+1=2x+11;\)             b) \(\dfrac{x^2}{5}-\dfrac{2x}{3}=\dfrac{x+5}{6};\)

c)  \(\dfrac{x}{x-2}=\dfrac{10-2x}{x^2-2x};\)                        d) \(\dfrac{x+0,5}{3x+1}=\dfrac{7x+2}{9x^2-1};\)

e) \(2\sqrt{3}x^2+x+1=\sqrt{3}\left(x+1\right);\)     f) \(x^2+2\sqrt{2}x+4=3\left(x+\sqrt{2}\right).\)

Hướng dẫn giải

a.

\(5x^2-3x+1=2x+11\)\(\Leftrightarrow\)\(5x^2-5x-10=0\)\(\Leftrightarrow\)\(x^2-x-2=0\)\(\Leftrightarrow\)(x-2)(x+1)=0\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x-2=0\\x+1=0\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\)\(\left[{}\begin{matrix}x=2\\x=-1\end{matrix}\right.\)

b.

Bài 58 (SGK trang 63)

Giải các phương trình:

a) 1,2x³ - x² - 0,2x = 0;                 b) 5x³ - x² - 5x + 1 = 0.

Hướng dẫn giải

a, \(1,2x^3-x^2-0,2x=0\)
\(\Leftrightarrow12x^3-10x^2-2x=0\)
\(\Leftrightarrow6x^3-5x^2-x=0\)
\(\Leftrightarrow x\left(6x^2-5x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\6x^2-5x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=0\\x=1\\x=-\dfrac{1}{6}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{-\dfrac{1}{6};0;1\right\}\)

b, \(5x^3-x^2-5x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x^2\left(5x-1\right)-\left(5x-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left(5x-1\right)\left(x^2-1\right)=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x^2-1=0\\5x-1=0\end{matrix}\right.\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\pm1\\x=\dfrac{1}{5}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho là \(S=\left\{-1;\dfrac{1}{5};1\right\}\)

Bài 59 (SGK trang 63)

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a)  \(2\left(x^2-2x\right)^2+3\left(x^2-2x\right)+1=0;\)

b) \(\left(x+\dfrac{1}{x}\right)^2-4\left(x+\dfrac{1}{x}\right)+3=0.\)

Hướng dẫn giải

a, Đặt \(x^2-2x=t\)
Phương trình đã cho trở thành:
\(2t^2+3t+1=0\)
Có a-b+c = 2-3+1 = 0
=> Phương trình có 2 nghiệm: \(t_1=-1;t_2=-\dfrac{1}{2}\)
Với t= -1 ta có \(x^2-2x=-1\)
\(\Leftrightarrow x^2-2x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left(x-1\right)^2=0\)
\(\Leftrightarrow x=1\)
Với t= -1/2 ta có \(x^2-2x=-\dfrac{1}{2}\)
\(\Leftrightarrow2x^2-4x+1=0\)
\(\Leftrightarrow\left[{}\begin{matrix}x=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\\x=\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\end{matrix}\right.\)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{1;\dfrac{2+\sqrt{2}}{2};\dfrac{2-\sqrt{2}}{2}\right\}\)

b, ĐK: x khác 0
Đặt \(x+\dfrac{1}{x}=t\)
Phương trình đã cho trở thành: \(t^2-4t+3=0\)
Có a+b+c=1-4+3=0
=> Phương trình có 2 nghiệm \(t_1=1;t_2=3\)
• Với t=1 ta có \(x+\dfrac{1}{x}=1\)
\(\Leftrightarrow x^2-x+1=0\)
Vì \(\Delta=1^2-4.1=-3< 0\) nên pt vô nghiệm
• Với t=3 ta có \(x+\dfrac{1}{x}=3\)
\(\Leftrightarrow x^2-3x+1=0\)
\(\Leftrightarrow x=\dfrac{3\pm\sqrt{5}}{2}\) (TMĐK)
Vậy tập nghiệm của pt đã cho là \(S=\left\{\dfrac{3+\sqrt{5}}{2};\dfrac{3-\sqrt{5}}{2}\right\}\)

Bài 60 (SGK trang 64)

Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia:

a) \(12x^2-8x+1=0;x_1=\dfrac{1}{2};\) 

b) \(2x^2-7x-39=0;x_1=-3;\)

c) \(x^2+x-2+\sqrt{2}=0;x_1=-\sqrt{2};\)

d) \(x^2-2mx+m-1=0;x_1=2.\)

Hướng dẫn giải

a) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{8}{12}=\dfrac{2}{3}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{1}{12}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=\dfrac{1}{2}\) ta có : \(x_2=\dfrac{2}{3}-x_1=\dfrac{2}{3}-\dfrac{1}{2}=\dfrac{1}{6}\)

b) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=\dfrac{7}{2}\\x_1\cdot x_2=\dfrac{-39}{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-3\) ta có : \(x_2=\dfrac{7}{2}-x_1=\dfrac{7}{2}-\left(-3\right)=\dfrac{13}{2}\)

c) Vì pt có nghiệm theo vi-ét ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=-1\\x_1\cdot x_2=-2+\sqrt{2}\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=-\sqrt{2}\) ta có : \(x_2=-1-x_1=-1-\left(-\sqrt{2}\right)=\sqrt{2}-1\)

d) Thay \(x_1=2\) vào pt ta có

\(2^2-2m\cdot2+m-1=0\)

\(\Leftrightarrow4-4m+m-1=0\\ \Leftrightarrow3-3m=0\\ \Leftrightarrow-3m=-3\\ \Leftrightarrow m=1\)

Vì pt \(x^2-2mx+m-1=0\) có nghiệm theo vi-ét ta có

\(\left\{{}\begin{matrix}x_1+x_2=2m\\x_1\cdot x_2=m-1\end{matrix}\right.\)

Thay \(x_1=2\) ta có :

\(x_2=2m-x_1=2\cdot1-2=0\)

Bài 61 (SGK trang 64)

Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau:

a) \(u+v=12;uv=28\) và u  >v;

b)  \(u+v=3;uv=6.\)

Hướng dẫn giải

a) u + v = 12; uv = 28 và u > v

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 12x + 28 = 0

\(\Delta\)’ = 36 – 28 = 8

\(\Rightarrow x_1=6+2\sqrt{2}\)

\(x_2=6-2\sqrt{2}\)

Vì \(6+2\sqrt{2}>6-2\sqrt{2}\)

\(\Rightarrow u=6+2\sqrt{2}\)

\(v=6-2\sqrt{2}\)

b) u + v = 3; uv = 6

u và v là hai nghiệm của phương trình:

x² – 3x + 6 = 0

\(\Delta\) = (-3)² – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0

Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số u và v thỏa mãn điều kiện đã cho.

Bài 62 (SGK trang 64)

Cho phương trình \(7x^2+2\left(m-1\right)x-m^2=0.\)

a) Với giá trị nào của m thì phương trình có nghiệm?

b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-et, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình đã cho theo m.

Hướng dẫn giải

Xét phương trình 7x² + 2(m – 1)x – m² = 0 (1)

a) Phương trình có nghiệm khi ∆’ ≥ 0

Ta có: ∆’ = (m – 1)² – 7(-m²) = (m – 1)² + 7m² ≥ 0 với mọi m

Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của m

b) Gọi x₁, x₂ là hai nghiệm của phương trình (1)

Ta có:

\(x^2_1+x^2_2=\left(x_1+x_2\right)^2-2x_1x_2\\ =\left[\dfrac{-2\left(m-1\right)^2}{7}\right]-2\dfrac{\left(-m\right)^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4}{49}+\dfrac{2m^2}{7}\\ =\dfrac{4m^2-8m+4+14m^2}{49}\\ =\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\)

Vậy \(x^2_1+x^2_2=\dfrac{18m^2-8m+4}{49}\).

Bài 63 (SGK trang 64)

Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm?

Hướng dẫn giải

Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là x% (x > 0).

Sau một năm dân số của thành phố là:

2 000 000 + 2 000 000 . \(\dfrac{x}{100}\) = 2 000 000 + 20 000x (người)

Sau hai năm, dân số của thành phố là:

2 000 000 + 20 000x + (2 000 000 + 20 000x). \(\dfrac{x}{100}\)

= 2 000 000 + 40 000x + 200x² (người)

Ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 020 050 \(\Leftrightarrow\) 4 x² + 800x – 401 = 0

\(\Delta\)’ = 400² – 4(-401) = 160 000 + 1 604 = 161 604 > 0

\(\sqrt{\Delta}\)’ = \(\sqrt{ }\)161 604 = 402

Vậy phương trình có 2 nghiệm:

\(x_1=\dfrac{-400+402}{4}=0,5\left(TM\right)\)

và \(x_2=\dfrac{-400-402}{4}=-200,5< 0\)( loại )

Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là 0,5%

Bài 64 (SGK trang 64)

Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả cùng bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu?

Hướng dẫn giải

Gọi x là số dương mà đấu bài cho, \(x\in N\)*

Bạn Quân đã chọn số (x – 2) để nhân với x.

Theo đề bài, ta có: x(x – 2) = 120 hay x² – 2x – 120 = 0

Giải phương trình ta được x = 12 (thỏa mãn)

Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của x với x +2

Vậy kết quả đúng phải là: 12.14 = 168

Bài 65 (SGK trang 64)

Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quãng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường. Tìm vận tốc của mỗi xe, giả thiết rằng quãng đường Hà Nội - Bình Sơn dài 900 km.

Hướng dẫn giải

Gọi x (km/h) là vận tốc của xe thứ nhất. Điều kiện x > 0.

Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là x + 5 (km/h).

Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: \(\dfrac{450}{x}\)(giờ)

Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: (giờ)

Vì xe lửa thứ hai đi sau 1 giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất 1 giờ. Ta có phương trình:

\(\dfrac{450}{x}-\dfrac{450}{x+5}=1\Leftrightarrow x^2+5x-2250=0\)

Giải phương trình ta được: x₁ = 45 (nhận); x₂ = -50 (loại)

Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là 45km/h

Vận tốc của xe lửa thứ hai là 50km/h

Bài 66 (SGK trang 64)

Cho tam giác ABC có BC = 16 cm, đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC. Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36 cm².

Hướng dẫn giải

Gọi x (cm) là độ dai của đoạn AK. Điều kiện 0 < x < 12

Vì \(\Delta\)ABC ~\(\Delta\)AMN nên

\(\dfrac{MN}{BC}=\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AK}{AH}=\dfrac{x}{12}\)

\(\Rightarrow MN=\dfrac{16x}{12}=\dfrac{4x}{3}\)

Ta có: MQ = KH = 12 – x

Do đó diện tich hình chữ nhật MNPQ là:

\(\left(12-x\right)\dfrac{4x}{3}\)

Ta có phương trình:

\(\left(12-x\right)\dfrac{4x}{3}=36\Leftrightarrow x^2-12x+27=0\)

Giải phương trình ta được:

x₁ = 9 (nhận) hoặc x₂ = 3 (nhận)

Vậy độ dài của đoạn AK = 3cm hoặc 9cm. Khi đó M sẽ có hai vị trí trên AB nhưng diện tích hình chữ nhật MNPQ luôn bằng 36cm²