Ôn tập Hàm số bậc nhất

Lý thuyết

Câu hỏi - Câu 1 (SGK trang 59)

Cho hàm số \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\)

a) Khi nào thì hàm số đồng biến ?

b) Khi nào thì hàm số nghịch biến ?

Hướng dẫn giải

a) Hàm số đồng biến khi a > 0

b) Hàm số nghịch biến khi a < 0

Câu hỏi - Câu 2 (SGK trang 60)

Khi nào thì hai đường thẳng \(y=ax+b\left(a\ne0\right)\) và \(y=a'x+b'\left(a'\ne0\right)\) cắt nhau ? Song song với nhau ? Trùng nhau ?

Hướng dẫn giải

Cho hai đường thẳng :

(d): y = ax + b (a ≠ 0)

(d’): y = a’x + b’ (a’ ≠ 0)

Thế thì:

(d) cắt (d’) ⇔ a ≠ a’

(d) // (d’) ⇔ a = a’, b ≠ b’

(d) trùng (d’) ⇔ a = a’, b = b’

Bài 32 (SGK trang 61)

a) Với những giá trị nào của m thì hàm số bậc nhất \(y=\left(m-1\right)x+3\) đồng biến ?

b) Với những giá trj nào của k thì hàm số bậc nhất \(y=\left(5-k\right)x+1\) nghịch biến ?

Hướng dẫn giải

Lời giải:

a) Hàm số y = (m – 1)x + 3 là hàm số bậc nhất đối với x khi m – 1 ≠ 0 hay m ≠ 1, do đó hàm số đồng biến khi hệ số của x dương. Vậy m – 1 > 0 hay m > 1 thì hàm số đồng biến.

b) Hàm số y = (5 – k)x + 1 là hàm số bậc nhất đối với x khi 5 – k ≠ 0 hay k ≠ 5, do đó hàm số nghịch biến khi hệ số của x âm.

Vậy 5 – k < 0 hay 5 < k thì hàm số nghịch biến.

Bài 33 (SGK trang 61)

Với những giá trị nào của m thì đồ thị các hàm số \(y=2x+\left(3+m\right)\) và \(y=3x+\left(5-m\right)\) cắt nhau tại một điểm trên trục tung ?

Hướng dẫn giải

Các hàm số y = 2x + (3 + m) và y = 3x + (5 – m) đều là hàm số bậc nhất đối với x vì hệ số của x đều khác 0. Đồ thị của chúng là các đường thẳng cắt trục tung tại điểm có tung độ là b. Do đó hai đường thẳng cắt nhau tại một điểm trên trục tung, chỉ khi tung độ góc của chúng bằng nhau: 3 + m = 5 – m => m = 1.

Vậy khi m = 1 thì hai đường thẳng đã cho cắt nhau tại một điểm trên trục tung.

Bài 34 (SGK trang 61)

Tìm giá trị của a để hai đường thẳng \(y=\left(a-1\right)x+2\left(a\ne1\right)\) và \(y=\left(3-a\right)x+1\left(a\ne3\right)\) song song với nhau ?

Hướng dẫn giải

Hai đường thẳng y = (a – 1)x + 2 và y = (3 – a)x + 1 có tung độ góc khác nhau (2 ≠ 1), do đó chúng song song với nhau khi các hệ số của x bằng nhau: a – 1 = 3 – a => a = 2.

Vậy, khi a = 2 thì hai đường thẳng song song với nhau.

Bài 35 (SGK trang 61)

Xác định k và m để hai đường thẳng sau đây trùng nhau :

\(y=kx+\left(m-2\right)\left(k\ne0\right)\)                          \(y=\left(5-k\right)x+\left(4-m\right)\left(k\ne5\right)\)

Hướng dẫn giải

Hướng dẫn làm bài:

Hai đường thẳng y = kx + (m – 2) và y = (5 – k)x + (4 – m) trùng nhau khi và chỉ khi: k = 5 – k (1) và m – 2 = 4 – m (2)

Từ (1) ta có: k = 2,5

Từ (2) ta có: m = 3

Vậy, điều kiện để hai đường thẳng trùng nhau là k = 2,5 và m = 3.

Bài 36 (SGK trang 61)

Cho hai hàm số bậc nhất \(y=\left(k+1\right)x+3\) và \(y=\left(3-2k\right)x+1\)

a) Với giá trị nào của k thì hai hàm số là hai đường thẳng song song với nhau ?

b) Với giá trị nào của k thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng cắt nhau ?

c) Hai đường thẳng nói trên có thể trùng nhau được không ? Vì sao ?

 

 

Hướng dẫn giải

y = (k+1)x +3 (d)

và y = (3-2k)x + 1 (d’)

Các hàm số đã cho là hàm số bậc nhất khi:

a) Vì đã có 3 ≠ 1 nên (d) // (d’) khi và chỉ khi

k+1 = 3 – 2k

k = 2/3 (TMĐK (*))

Vậy với k = 2/3 thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng (d) và (d’) song song với nhau.

b) Hai đường thẳng (d) cắt (d’) khi và chỉ khi k+1 ≠ 3 – 2k

k ≠ 2/3

Vậy với k ≠ -1, k ≠3/2 và k ≠ 2/3 thì đồ thị của hai hàm số là hai đường thẳng (d) và (d’) cắt nhau.

c) Hai đường thẳng (d) và (d’) không thể trùng nhau vì có tung độ gốc khác nhau (do 3 ≠ 1).

Bài 37 (SGK trang 61)

a) Vẽ đồ thị hai hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :

(1)  \(y=0,5x+2\)

(2) \(y=5-2x\)

b) Gọi giao điểm của các đường thẳng \(y=0,5x+2\) và \(y=5-2x\) với trục hoành theo thứ tự là A, B và gọi giao điểm của hai đường thẳng đó là C. Tìm tọa độ điểm A, B, C ?

c) Tính độ dài các đoạn thẳng AB, AC, BC (đơn vị đo trên các trục tọa độ là cm)

d) Tính các góc tạo bởi các đường thẳng có phương trình (1) và (2) với trục Ox (làm tròn đến phút)

Hướng dẫn giải

a) * Vẽ đồ thị hàm số y = 0,5x + 2 (1)

Cho x = 0, tính được y = 2 => D(0; 2) thuộc đồ thị.

Cho y = 0, 0 = 0,5.x + 2 => x = -4 => A(-4; 0) thuộc đồ thị. Đường thẳng vẽ qua A, D là đồ thị của (1).

*Vẽ đồ thị hàm số y = 5 – 2x (2)

-Cho x = 0 tính được y = 5 E(0; 5) thuộc đồ thị

-Cho y = 0, 0 = 5 – 2x => x = 2,5 => B(2,5; 0) thuộc đồ thị. Đường thẳng vẽ qua B, E là đồ thị của (2).

b) Ở câu a) ta tính được tọa độ của hai điểm A và B: A(-4; 0), B(2,5; 0)

Bài 38 (SGK trang 61)

a) Vẽ đồ thị các hàm số sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ :

(1) \(y=2x\)

(2) \(y=0,5x\)

(3) \(y=-x+6\)

b) Gọi các giao điểm của đường thẳng có phương trình (3) với hai đường thẳng có phương trình (1) và (2) theo thứ tự là A và B. Tìm tọa độ của hai điểm A và B

c) Tính các góc của tam giác OAB

 

Hướng dẫn giải

a) – Vẽ đường thẳng (1) qua gốc tọa độ O và điểm (1; 2)

-Vẽ đường thẳng (2) qua gốc tọa độ O và điểm (1; 0,5)

-Vẽ đường thẳng (3) qua hai điểm (0; 6) và (6; 0).

b) Gọi A, B theo thứ tự là giao điểm của đường thẳng (3) với các đường thẳng (1) và (2), ta có:

- x + 6 = 2x => x = 2 => y = 4 => A(2; 4)

- x + 6 = 0,5x => x = 4 => y = 2 => B(4; 2)