Giải bài toán bằng cách lập phương trình. Luyện tập

Lý thuyết

Bài 41 (SGK trang 58)

Trong lúc học nhóm, bạn Hùng yêu cầu bạn Minh và bạn Lan mỗi người chọn một số sao cho hai số này hơn kém nhau là 5 và tích của chúng phải bằng 150. Vậy hai bạn Minh và Lan phải chọn những số nào?

Hướng dẫn giải

Bài 42 (SGK trang 58)

Bác Thời vay 2 000 000 đồng của ngân hàng để làm kinh tế gia đình trong thời hạn một năm. Lẽ ra cuối năm bác phải trả cả vốn lẫn lãi. Song bác đã được ngân hàng cho kéo dài thời hạn thêm một năm nữa, số lãi của năm đầu được gốp vào với vốn để tính lãi năm sau và lãi suất vẫn như cũ. Hết hai năm bác phải trả tất cả là 2 420 000 đồng. Hỏi lãi suất cho vạy là bao nhiêu phần trăm trong một năm? 

Hướng dẫn giải

Gọi lãi suất cho vay là x (%), x > 0

Tiền lãi sau một năm là: 2 000 000 . hay 20000x (đồng)

Sau 1 năm cả vốn lẫn lãi sẽ là: 2 000 000 + 20000x (đồng)

Tiền lãi riêng năm thứ hai phải chịu là:

(2 000 000 + 20000x)hay 20000x + 200x²

Số tiền sau hai năm bác Thời phải trả là:

2 000 000 + 40000x + 200x²

Theo đầu bài ra ta có phương trình:

2 000 000 + 40 000x + 200x² = 2 420 000 hay x² + 200x - 2 100 = 0

Giải phương trình:

∆' = 100² - 1 . (-2 100) = 10 000 + 2 100 = 12 100 => √∆' = 110

nên x₁ = = -210, x₂ = = 10

Vì x > 0 nên x₁ không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: lãi suất là 10%.

Bài 43 (SGK trang 58)

Một xuồng du lịch đi từ thành phố Cà Mau đến Đất Mũi theo một đường sông dài 120 km. Trên đường đi, xuồng có nghỉ lại 1 giờ ở thị trấn Năm Căn. Khi về, xuồng đi theo đường khác dài hơn đường lúc đi 5 km và với vận tốc nhỏ hơn vận tốc lúc đi là 5 km/h. Tính vận tốc của xuồng lúc đi, biết rằng thời gian về bằng thời gian đi. 

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của xuồng lúc đi là x (km/h), x > 0, thì vân tốc lúc về là x - 5 (km/h).

Vì khi đi có nghỉ 1 giờ nên thời gian khi đi hết tất cả là: + 1 (giờ)

Đường về dài: 120 + 5 = 125 (km)

Thời gian về là: (giờ)

Theo đầu bài có phương trình: + 1 =

Giải phương trình:

x² – 5x + 120x – 600 = 125x ⇔ x² – 10x – 600 = 0

∆’ = (-5)² – 1 . (-600) = 625, √∆’ = 25

x₁ = 5 – 25 = -20, x₂ = 5 + 25 = 30

Vì x > 0 nên x₁ = -20 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Vận tốc của xuồng khi đi là 30 km/h

Bài 44 (SGK trang 58)

Đố: Đố em tìm được một số mà một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị rồi nhân với một nửa của nó bằng một nửa đơn vị.

Hướng dẫn giải

Gọi số phải tìm là x.

một nửa của nó trừ đi một nửa đơn vị là: -

Theo đầu bài ta có phương trình: =

hay x² – x – 2 = 0, có a – b + c = 1 – (-1) – 2 = 0 nên: x₁ = -1, x₂ = 2

Trả lời: Số phải tìm bằng -1 hoặc 2.

Bài 45 (SGK trang 59)

Tích của hai số tự nhiên liên tiếp lớn hơn tổng của chúng là 109. Tìm hai số đó.

Hướng dẫn giải

Gọi số bé là x, x ∈ N, x > 0,

số tự nhiên kề sau là x + 1.

Tích của hai số này là x(x + 1) hay x² + x.

Theo đầu bài ta có phương trình:

x² + x - 2x - 1 = 109 hay x² - x - 110 = 0

Giải phương trình: ∆ = 1 + 440 = 441, √∆ = 21

x₁ = 11, x₂ = -10

Vì x > 0 nên x₂ = -10 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Vậy hai số cần tìm là 11 và 12

Bài 46 (SGK trang 59)

Một mảnh đất hình chữ nhật có diện tích là 240 m². Nếu tăng chiều rộng 3m và giảm chiều dài 4m thì diện tích mảnh đất không đổi. Tìm kích thước mảnh đất.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều dài của mảnh đất hình chữ nhật là x (m, x > 4)

Khi đó chiều rộng của mảnh đất hình chữ nhật là \(\dfrac{240}{x}\) (m)

Khi tăng chiều rộng 3m, giảm chiều dàu 4m thì diện tích mảnh đất là: \(\left(x-4\right)\left(\dfrac{240}{x}+3\right)\)

Do diện tích không đổi nên ta có phương trình:

\(\left(x-4\right)\left(\dfrac{240}{x}+3\right)=240\)

\(\)\(\Rightarrow240+3x-\dfrac{960}{x}-12=240\)

\(\Rightarrow3x^2-12x-960=0\Rightarrow\left[{}\begin{matrix}x=20\left(n\right)\\x=-16\left(l\right)\end{matrix}\right.\)

Vậy chiều dài mảnh đất là 20m, chiều rộng mảnh đất là 12m.

Bài 47 (SGK trang 59)

Bác Hiệp và cô Liên đi xe đạp từ làng lên tỉnh trên quãng đường dài 30 km, khởi hành cùng một lúc. Vận tốc xe của bác Hiệp lớn hơn vận tốc xe của cô Liên là 3 km/h nên bác Hiệp đã đến tỉnh trước cô Liên nửa giờ. Tính vận tốc xe của mỗi người.

Hướng dẫn giải

Gọi vận tốc của bác Hiệp là x (km/h), x > 0 khi đó vận tốc của cố Liên là x - 3 (km/h)

Thời gian bác Hiệp đi từ làng lên tỉnh là (giờ).

Thời gian bác Liên đi từ làng lên tỉnh là: (giờ)

Vì bác Hiệp đến trước cô Liên nửa giờ, tức là thời gian đi của bác Hiệp ít hơn thời gian cô Liên nửa giờ nên ta có phương trình: - =

Giải phương trình:

x(x - 3) = 60x - 60x + 180 hay x² – 3x - 180 = 0

x₁ = 15, x₂ = -12

Vì x > 0 nên x₂ = -12 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Vận tốc của bác Hiệp là 15 km/h

Vận tốc của cô Liên là 12 km/h

Bài 48 (SGK trang 59)

Từ một miếng tôn hình chữ nhật người ta cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cạnh bằng 5 dm để làm thành một cái thùng hình hộp chữ nhật không nắp có dung tích 1500 dm³. Hãy tìm kích thước của miếng tôn lúc đầu, biết rằng chiều dài của nó gấp đôi chiều rộng.

Hướng dẫn giải

Gọi chiều rộng của miếng tôn là x (dm), x > 0.

Chiều dài của nó là 2x (dm)

Khi làm thành một cái thùng không đáy thì chiều dài của thùng là 2x - 10 (dm), chiều rộng là x - 10 (dm), chiều cao là 5 (dm).

Dung tích của thùng là 5(2x - 10)(x - 10) (dm³)

Theo đầu bài ta có phương trình:

5(2x - 10)(x - 10) = 1500 hay

x² – 15x – 100 = 0

Giải phương trình: ∆ = 225 + 400 = 625, √∆ = 25

x₁ = 20, x₂ = -5

Đáp số: Miếng tôn có chiều rộng bằng 20 (dm), chiều dài bằng 40 (dm).

Bài 49 (SGK trang 59)

Hai đội thợ quét sơn một ngôi nhà. Nếu họ cùng làm thì trong 4 ngày xong việc. Nếu họ làm riếng thì đội I hoàn thành công việc nhanh hơn đội II là 6 ngày. Hỏi nếu làm riêng thì mỗi đội phải làm trong bao nhiêu ngày để xong việc? 

Hướng dẫn giải

Gọi thời gian đội I làm một mình xong việc là x (ngày), x > 0.

Vì đội II hoàn thành công việc lâu hơn đội I là 6 ngày nên thời gian một mình đội II làm xong việc là x + 6 (ngày).

Mỗi ngày đội I làm được (công việc).

Mỗi ngày đội II làm được (công việc)

Ta có phương trình: + =

Giải phương trình: x(x + 6) = 4x + 4x + 24 hay x²– 2x - 24 = 0, ∆' = 1 + 24 = 25 = 5²

x₁ = 1 + 5 = 6, x₂ = 1 - 5 = -4

Vì x > 0 nên x₂ = -4 không thỏa mãn điều kiện của ẩn.

Trả lời: Một mình đội I làm trong 6 ngày thì xong việc.

Một mình đội II làm trong 12 ngày thì xong việc.

Bài 50 (SGK trang 59)

Miếng kim loại thứ nhất nặng 880 g, miếng kim loại thứ hai nặng 858g. Thể tích của miếng thứ nhất nhỏ hơn thể tích miếng thứ hai là 10 cm³, nhưng khối lượng riêng của miếng thức nhất lớn hơn khối lượng riêng của miếng thứ hai là 1g/cm³. Tìm khối lượng riêng của mỗi miếng kim loại.

Hướng dẫn giải

Gọi khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: x (g/cm³ )

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: x - 1 (g/cm³ )

Thể tích của miếng kim loại thứ nhất là: (cm³ )

Thể tích của miếng kim loại thứ hai là: (cm³ )

Theo đầu bài ta có phương trình: - = 10

Giải phương trình:

10x(x - 1) = 858x - 880x + 880 hay 5x² + 6x - 440 = 0

∆' =9 + 2200 = 2209, √∆' = 47

x₁ = 8,8, x₂ = -10

Vì x > 0 nên x₂ = -10 (loại)

Trả lời: Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ nhất là: 8,8 g/cm³

Khối lượng riêng của miếng kim loại thứ hai là: 7,8 g/cm³

Bài 51 (SGK trang 59)

Người ta đổ thêm 200g nước vào một dung dịch chứa 40g muối thì nồng độ của dung dịch giảm đi 10%. Hỏi trước khi đổ thêm nước thì dung dịch chứa bao nhiêu nước? 

Hướng dẫn giải

Gọi trọng lượng nước trong dung dịch trước khi đổ thêm nước là:

x (g), x > 0

Nồng độ muối của dung dịch khi đó là:

Nếu đổ thêm 200 g nước vào dung dịch thì trọng lượng của dung dịch sẽ là: x + 40 + 200 (g)

Nồng độ của dung dịch bây giờ là:

Vì nồng độ muối giảm 10% nên ta có phương trình:

- =

Giải phương trình:

(x + 40)(x + 240) = 400(x + 240 - x - 40) hay x² + 280x - 70400 = 0

∆' = 19600 + 70400 = 90000, √∆' = 300

x₁ = 160, x₂ = -440

Vì x > 0 nên x₂ = -440 (loại)

Trả lời: Trước khi đổ thêm nước, trong dung dịch có 160 g nước.

Bài 52 (SGK trang 60)

Khoảng cách giữa hai bến sông A và B là 30 km. Một cano đi từ bến A đến bến B, nghỉ 40 phút ở bến B rồi quay lại bến A. Kể từ lúc khởi hành đến khi về tới bến A hết tất cả 6 giờ. Hãy tìm vận tốc của cano trong nước yên lặng biết vận tốc của nước chảy là 3km/h.

Hướng dẫn giải

Phương trình Giang viết có một chút sai sót nhỏ. Lần sau cần cẩn thận hơn em nhé.

Phương trình đúng phải là: \(\dfrac{30}{x-3}+\dfrac{30}{x+3}+\dfrac{2}{3}=6.\)

Bài 53 (SGK trang 60)

Tỉ số vàng: Đố em chia được đoạn AB cho trước thành hai đoạn sao cho tỉ số giữa đoạn lớn với đoạn AB bằng tỉ số giữa đoạn nhỏ với đoạn lớn. Hãy tìm tỉ số ấy.

Hướng dẫn giải

Giải:

Giả sử \(M\) là điểm chia đoạn \(AB\) và \(AB\) có độ dài bằng \(a\)

Gọi độ dài của \(AM=x;0< x< a\). Khi đó \(MB=a-x\)

Theo đề bài ta có:

\(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{MB}{AM}\) Hay \(\dfrac{x}{a}=\dfrac{a-x}{x}\)

Giải phương trình \(x^2=a\left(a-x\right)\) Hay \(x^2+ax-a^2=0\)

\(\Delta=a^2+4a^2=5a^2;\sqrt{\Delta}=a\sqrt{5}\)

\(x_1=\dfrac{-a+a\sqrt{5}}{2}=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

\(x_2=\dfrac{-a\left(\sqrt{5}+1\right)}{2}\)

Vì \(x>0\) nên \(x_2\) không thỏa mãn điều kiện của ẩn

Vậy \(AM=\dfrac{a\left(\sqrt{5}-1\right)}{2}\)

Vậy tỉ số cần tìm là \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{\sqrt{5}-1}{2}\)