Phân tích đa thức thành nhân tử bằng cách phối hợp nhiều phương pháp

Lý thuyết

Bài 51 (Sgk tập 1 - trang 24)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) \(x^3-2x^2+x\)

b) \(2x^2+4x+2-2y^2\)

c) \(2xy-x^2-y^2+16\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x³ – 2x² + x = x(x² – 2x + 1) = x(x – 1)²

b) 2x² + 4x + 2 – 2y² = 2[(x² + 2x + 1) – y²]

= 2[(x + 1)² – y²]

= 2(x + 1 – y)(x + 1 + y)

c) 2xy – x² – y² + 16 = 16 – (x² – 2xy + y²) = 4² – (x – y)²

= (4 – x + y)(4 + x – y)

Bài 52 (Sgk tập 1 - trang 24)

Chứng minh rằng \(\left(5n+2\right)^2-4\) chia hết cho 5 với mọi số nguyên n ?

Hướng dẫn giải

Bài giải:

Ta có : (5n + 2)² – 4 = (5n + 2)² – 2²

= (5n + 2 - 2)(5n + 2 + 2)

= 5n(5n + 4)

Vì 5 $⋮$ 5 nên 5n(5n + 4) $⋮$ 5 ∀n ∈ Z.

Bài 53 (Sgk tập 1 - trang 24)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) \(x^2-3x+2\)

(Gợi ý : ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phân tích nhưng nếu tách hạng tử \(-3x=-x-2x\) thì ta có \(x^2-3x+2=x^2-x-2x+2\) và từ đó dễ dàng phân tích tiếp

b) \(x^2+x-6\)

c) \(x^2+5x+6\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x² – 3x + 2 = a) x² – x - 2x + 2 = x(x - 1) - 2(x - 1) = (x - 1)(x - 2)

Hoặc x² – 3x + 2 = x² – 3x - 4 + 6

= x² - 4 - 3x + 6

= (x - 2)(x + 2) - 3(x -2)

= (x - 2)(x + 2 - 3) = (x - 2)(x - 1)

b) x² + x – 6 = x² + 3x - 2x – 6

= x(x + 3) - 2(x + 3)

= (x + 3)(x - 2).

c) x² + 5x + 6 = x² + 2x + 3x + 6

= x(x + 2) + 3(x + 2)

= (x + 2)(x + 3)

Luyện tập - Bài 54 (Sgk tập 1 - trang 25)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) \(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

b) \(2x-2y-x^2+2xy-y^2\)

c) \(x^4-2x^2\)

Hướng dẫn giải

a)\(x^3+2x^2y+xy^2-9x\)

\(=x\left(x^2+2xy+y^2-9\right)\)

\(=x\left[\left(x+y\right)^2-3^2\right]\)

\(=x\left(x+y-3\right)\left(x+y+3\right)\)

b)\(2x-2y-x^2+2xy+y^2\)

\(=\left(2x-2y\right)-\left(x^2+2xy+y^2\right)\)

\(=2\left(x-y\right)-\left(x-y\right)^2\)

\(=\left(x-y\right)\left[2-\left(x-y\right)\right]\)

\(=\left(x-y\right)\left(2-x+y\right)\)

c)\(x^4-2x^2\)

\(=x^2\left(x^2-2\right)\)

\(=x^2\left[x^2-\left(\sqrt{2}\right)^2\right]\)

\(=x^2\left(x-\sqrt{2}\right)\left(x+\sqrt{2}\right)\)

Luyện tập - Bài 55 (Sgk tập 1 - trang 25)

Tìm x, biết :

a) \(x^3-\dfrac{1}{4}x=0\)

b) \(\left(2x-1\right)^2-\left(x+3\right)^2=0\)

c) \(x^2\left(x-3\right)+12-4x=0\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x³ – $\frac{1}{4}$x = 0 => x(x² –${\left(\frac{1}{2}\right)}^2$) = 0

=>x(x - $\frac{1}{2}$)(x + $\frac{1}{2}$) = 0

Hoặc x = 0

Hoặc x - $\frac{1}{2}$ = 0 => x = $\frac{1}{2}$

Hoặc x + $\frac{1}{2}$ = 0 => x = -$\frac{1}{2}$

Vậy x = 0; x = -$\frac{1}{2}$; x = $\frac{1}{2}$.

b) (2x – 1)² – (x + 3)² = 0

[(2x - 1) - (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)] = 0

(2x - 1 - x - 3)(2x - 1 + x + 3) = 0

(x - 4)(3x + 2) = 0

Hoặc x - 4 = 0 => x = 4

Hoặc 3x + 2 = 0 => 3x = 2 => x = -$\frac{2}{3}$

Vậy x = 4; x = -$\frac{2}{3}$.

c) x²(x – 3) + 12 – 4x = 0

x²(x – 3) - 4(x -3)= 0

(x - 3)(x²- 2²) = 0

(x - 3)(x - 2)(x + 2) = 0

Hoặc x - 3 = 0 => x = 3

Hoặc x - 2 =0 => x = 2

Hoặc x + 2 = 0 => x = -2

Vậy x = 3; x = 2; x = -2.

Luyện tập - Bài 56 (Sgk tập 1 - trang 25)

Tính nhanh giá trị của đa thức :

a) \(x^2+\dfrac{1}{2}x+\dfrac{1}{16}\) tại \(x=49,75\)

b) \(x^2-y^2-2y-1\) tại \(x=93;y=6\)

Hướng dẫn giải

Bài giải:

a) x² + $\frac{1}{2}$x+ $\frac{1}{16}$ tại x = 49,75

Ta có: x² + $\frac{1}{2}$x+ $\frac{1}{16}$ = x² + 2 . x . $\frac{1}{4}$ + ${\left(\frac{1}{4}\right)}^2$= ${\left(x+\frac{1}{4}\right)}^2$

Với x = 49,75: ${\left(49,75+\frac{1}{4}\right)}^2$= (49,75 + 0,25)² = 50² = 2500

b) x² – y² – 2y – 1 tại x = 93 và y = 6

Ta có: x² – y² – 2y – 1 = x² – (y² + 2y + 1)

= x² - (y + 1)² = (x - y - 1)(x + y + 1)

Với x = 93, y = 6: (93 - 6 - 1)(93 + 6 + 1) = 86 . 100 = 8600

Luyện tập - Bài 57 (Sgk tập 1 - trang 25)

Phân tích các đa thức sau thành nhân tử :

a) \(x^2-4x+3\)

b) \(x^2+5x+4\)

c) \(x^2-x-6\)

d) \(x^4+4\)

Hướng dẫn giải

a) x² – 4x + 3 = x² – x - 3x + 3

= x(x - 1) - 3(x - 1) = (x -1)(x - 3)

b) x² + 5x + 4 = x² + 4x + x + 4

= x(x + 4) + (x + 4)

= (x + 4)(x + 1)

c) x² – x – 6 = x² +2x – 3x – 6

= x(x + 2) - 3(x + 2)

= (x + 2)(x - 3)

d) x⁴+ 4 = x⁴ + 4x² + 4 – 4x²

= (x² + 2)² – (2x)²

= (x² + 2 – 2x)(x² + 2 + 2x)

Luyện tập - Bài 58 (Sgk tập 1 - trang 25)

Chứng minh rằng \(n^3-n\) chia hết cho 6 với mọi số nguyên n ?

Hướng dẫn giải

Ta có: n³– n = n(n² – 1) = n(n – 1)(n + 1)

Với n ∈ Z là tích của ba số nguyên liên tiếp. Do đó nó chia hết cho 3 và 2 mà 2 và 3 là hai số nguyên tố cùng nhau nên n³ – n chia hết cho 2, 3 hay chia hết cho 6.