Những hằng đẳng thức đáng nhớ
Lý thuyết
Mục lục
* * * * *
Luyện tập - Bài 22 (Sgk tập 1 - trang 12)
Tính nhanh :
a) \(101^2\)
b) \(199^2\)
c) \(47.53\)
Hướng dẫn giải
rất đơn giản chưa thấy ai đúng
\(101^2=\left(100+1\right)^2=100^2+2.100+1=10201\)
Luyện tập - Bài 23 (Sgk tập 1 - trang 12)
Chứng minh rằng :
\(\left(a+b\right)^2=\left(a-b\right)^2+4ab\)
\(\left(a-b\right)^2=\left(a+b\right)^2-4ab\)
Áp dụng :
a) Tính \(\left(a-b\right)^2\), biết \(a+b=7\) và \(a.b=12\)
b) Tính \(\left(a+b\right)^2\), biết \(a-b=7\) và \(a.b=3\)
Hướng dẫn giải
Bài giải:
a) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
- Biến đổi vế trái:
(a + b)2 = a2 +2ab + b2 = a2 – 2ab + b2 + 4ab
= (a – b)2 + 4ab
Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
- Hoặc biến đổi vế phải:
(a – b)2 + 4ab = a2 – 2ab + b2 + 4ab = a2 + 2ab + b2
= (a + b)2
Vậy (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab
b) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Biến đổi vế phải:
(a + b)2 – 4ab = a2 +2ab + b2 – 4ab
= a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Vậy (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab
Áp dụng: Tính:
a) (a – b)2 = (a + b)2 – 4ab = 72 – 4 . 12 = 49 – 48 = 1
b) (a + b)2 = (a – b)2 + 4ab = 202 + 4 . 3 = 400 + 12 = 412
Bài 18 (Sgk tập 1 - trang 11)
Hãy tìm cách giúp bạn A khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhòe đi một số chỗ
a) \(x^2+6xy+.....=\left(......+3y\right)^2\)
b) \(.....-10xy+25y^2=\left(.....-.....\right)^2\)
Hãy nêu một đề bài tương tự ?
Hướng dẫn giải
a) x2 + 2 . x . 3y + … = (…+3y)2
x2 + 2 . x . 3y + (3y)2 = (x + 3y)2
Vậy: x2 + 6xy +9y2 = (x + 3y)2
b) …-2 . x . 5y + (5y)2 = (… - …)2;
x2 – 2 . x . 5y + (5y)2 = (x – 5y)2
Vậy: x2 – 10xy + 25y2 = (x – 5y)2
Luyện tập - Bài 25 (Sgk tập 1 - trang 12)
Tính :
a) \(\left(a+b+c\right)^2\)
b) \(\left(a+b-c\right)^2\)
c) \(\left(a-b-c\right)^2\)
Hướng dẫn giải
a) \(\left(a+b+c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc\)
b) \(\left(a+b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2+2ab-2ac-2bc\)
c) \(\left(a-b-c\right)^2=a^2+b^2+c^2-2ab-2ac+2bc\)
Bài 17 (Sgk tập 1 - trang 11)
Chứng minh rằng :
\(\left(10a-5\right)^2=100a.\left(a+1\right)+25\)
Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5
Áp dụng để tính : \(25^2;35^2;65^2;75^2\)
Hướng dẫn giải
Ta có: (10a + 5)2 = (10a)2 + 2 .10a . 5 + 52
= 100a2 + 100a + 25
= 100a(a + 1) + 25.
Cách tính nhẩm bình thường của một số tận cùng bằng chữ số 5;
Ta gọi a là số chục của số tự nhiên có tận cùng bằng 5 => số đã cho có dạng 10a + 5 và ta được
(10a + 5)2 = 100a(a + 1) + 25
Vậy để tính bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bởi chữ số 5 ta tính tích a(a + 1) rồi viết 25 vào bên phải.
Áp dụng;
- Để tính 252 ta tính 2(2 + 1) = 6 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 625.
- Để tính 352 ta tính 3(3 + 1) = 12 rồi viết tiếp 25 vào bên phải ta được 1225.
- 652 = 4225
- 752 = 5625.
Luyện tập - Bài 20 (Sgk tập 1 - trang 12)
Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau :
\(x^2+2xy+4y^2=\left(x+2y\right)^2\)
Hướng dẫn giải
Bài giải:
Nhận xét sự đúng, sai:
Ta có: (x + 2y)2 = x2 + 2 . x . 2y + 4y2
= x2 + 4xy + 4y2
Nên kết quả x2 + 2xy + 4y2 = (x + 2y)2 sai.
Luyện tập - Bài 24 (Sgk tập 1 - trang 12)
Tính giá trị của biểu thức \(49x^2-70x+25\) trong mỗi trường hợp sau :
a) \(x=5\)
b) \(x=\dfrac{1}{7}\)
Hướng dẫn giải
Bài giải:
49x2 – 70x + 25 = (7x)2 – 2 . 7x . 5 + 52 = (7x – 5)2
a) Với x = 5: (7 . 5 – 5)2 = (35 – 5)2 = 302 = 900
b) Với x = 17: (7 . 17 – 5)2 = (1 – 5)2 = (-4)2 = 16
Bài 19 (Sgk tập 1 - trang 12)
Đố : Tính diện tích phần hình còn lại mà không cần đo
Từ một miếng tôn hình vuông có cạnh bằng a + b, bác thợ cắt đi một miếng cũng hình vuông có cạnh bằng a - b (cho a > b). Diện tích phần hình còn lại là bao nhiêu ? Diện tích phần hình còn lại có phụ thuộc vào vị trí cắt không ?
Hướng dẫn giải
Bài giải:
Diện tích của miếng tôn là (a + b)2
Diện tích của miếng tôn phải cắt là (a – b)2.
Phần diện tích còn lại là (a + b)2 - (a – b)2.
Ta có: (a + b)2 - (a – b)2 = a2 + 2ab + b2 – (a2 – 2ab + b2)
= a2 + 2ab + b2 - a2 + 2ab - b2
= 4ab
Vậy phần diện tích hình còn lại là 4ab và không phụ thuộc vào vị trí cắt.
Bài 16 (Sgk tập 1 - trang 11)
Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu
a) \(x^2+2x+1\)
b) \(9x^2+y^2+6xy\)
c) \(25a^2+4b^2-20ab\)
d) \(x^2-x+\dfrac{1}{4}\)
Hướng dẫn giải
a) x2 + 2x + 1 = x2 + 2.x.1+ 12 = ( x + 1)2
b) 9x2 + y2 + 6xy = (3x)2 + 2.3.x.y + y2 = (3x + y)2
c) 25a2 + 4b2 – 20ab = (5a)2 – 2.5.a.2b. + (2b)2 = (5a – 2b)2
Hoặc 25a2 + 4b2 – 20ab = (2b)2 – 2.2b.5a. + (5a)2 = (2b – 5a)2
d) x2 – x + \(\dfrac{1}{4}\) = x2 – 2.x. \(\dfrac{1}{2}\) + ( \(\dfrac{1}{2}\))22 = ( x - \(\dfrac{1}{2}\) )2
Hoặc x2 – x + \(\dfrac{1}{4}\) = \(\dfrac{1}{4}\) - x + x2 = (\(\dfrac{1}{2}\))2 – 2. \(\dfrac{1}{2}\).x + x2 = (\(\dfrac{1}{2}\) - x)2
Luyện tập - Bài 21 (Sgk tập 1 - trang 12)
Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc hiệu :
a) \(9x^2-6x+1\)
b) \(\left(2x+3y\right)^2+2\left(2x+3y\right)+1\)
Hãy nêu một đề tài tương tự.
Hướng dẫn giải
a) 9x2 – 6x + 1 = (3x)2 – 2 . 3x . 1 + 12 = (3x – 1)2
Hoặc 9x2 – 6x + 1 = 1 – 6x + 9x2 = (1 – 3x)2
b) (2x + 3y) = (2x + 3y)2 + 2 . (2x + 3y) . 1 + 12
= [(2x + 3y) + 1]2
= (2x + 3y + 1)2
Đề bài tương tự. Chẳng hạn:
1 + 2(x + 2y) + (x + 2y)2
4x2 – 12x + 9…
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
