Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

Lý thuyết

Bài 2 (SGK - tập 2 trang 55)

So sánh các cạnh của tam giác ABC biết :

                \(\widehat{A}=80^0;\widehat{B}=45^0\)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có $\hat{A}$ = 80⁰; $\hat{B}$ = 45⁰

Nên $\hat{C}$ = 180⁰ – (80⁰ + 45⁰) = 55⁰

(theo định lý tổng ba góc trong tam giác)

Vì 45⁰ < 55⁰ < 80⁰ hay $\hat{B}$ < $\hat{C}$ < $\hat{A}$ => AC < AB < BC

Luyện tập - Bài 3 (SGK - tập 2 trang 56)

Cho tam giác ABC với \(\widehat{A}=100^0;\widehat{B}=40^0\)

a) Tìm cạnh lớn nhất của tam giác ABC ?

b) Tam giác ABC là tam giác gì ?

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có $\hat{A}$ = 100^{0 ,} $\hat{B}$ = 40⁰

Cạnh lớn nhất của tam giác ABC là BC vì BC đối diện với góc A và góc $\hat{A}$ = 100⁰ > 90⁰ nên góc A là góc tù

b) Tam giác ABC là tam giác tù

Bài 1 (SGK - tập 2 trang 55)

So sánh các góc của tam giác ABC, biết rằng :

           AB = 2cm, BC = 4cm, AC = 5cm

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC có:

AB = 2cm ; BC = 4cm ; AC = 5cm

=> AB < BC < CA nên $\hat{C}<\hat{A}<\hat{B}$

Luyện tập - Bài 6 (SGK - tập 2 trang 56)

Xem hình 6, có hai đoạn thẳng bằng nhau BC và DC. Hỏi rằng kết luận nào trong các kết luận sau là đúng ? Tại sao ?

a) \(\widehat{A}=\widehat{B}\)

b) \(\widehat{A}>\widehat{B}\)

c) \(\widehat{A}< \widehat{B}\)

Hướng dẫn giải

Kết luận đúng là c vì AC > BC nên $\hat{B}>\hat{A}$

Luyện tập - Bài 5 (SGK - tập 2 trang 56)

Ba bạn Hạnh, Nguyên, Trang đi đến trường theo ba con đường AD, BD và CD (h.5). Biết rằng ba điểm A, B, C cùng nằm trên một đường thẳng và góc ACD là góc tù.

Hỏi ai đi xa nhất, ai đi gần nhất ? Giải thích ?

Hướng dẫn giải

Vì .$\widehat{ACD}$ = 90⁰ nên ∆DCB có $\hat{C}>\hat{B}$

=> BD > CD (1)

∆ABD có $\widehat{DBA}$ là góc ngoài của ∆DCB

=> $\widehat{DBA}$ > $\widehat{DCB}$

nên $\widehat{DBA}$ là góc lớn nhất (vì $\widehat{DCB}$ tù)

=> AD > BD (2)

Từ (1) và (2) => AD > BD >CD

Vậy Hạnh đi xa nhất, Trang đi gần nhất

Luyện tập - Bài 4 (SGK - tập 2 trang 56)

Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc gì (nhọn, vuông, tù) ? Tại sao ?

Hướng dẫn giải

Trong một tam giác, đối diện với cạnh nhỏ nhất là góc nhọn vì nếu góc đó là góc vuông hoặc tù thì hai góc còn lại phải lớn hơn góc vuông nên tổng ba góc của tam giác lớn hơn 180⁰ ( vô lý với định lý tổng ba góc của tam giác)

Luyện tập - Bài 7 (SGK - tập 2 trang 56)

Một cách chứng minh khác của định lí 1 :

Cho tam giác ABC với AC >AB. Trên tia AC, lấy điểm B' sao cho AB' = BA

a) Hãy so sánh góc ABC với góc ABB'

b) Hãy so sánh góc ABB' với góc AB'B

c) Hãy so sánh góc AB'B với góc ACB

Từ đó suy ra \(\widehat{ABC}=\widehat{ACB}\) 

Hướng dẫn giải

a) Trên tia AC, AB' = AB

mà AB < AC ( giả thiết)

nên B' nằm giữa hai tia BA và BC

=> tia BB' nằm giữa hai tia BA và BC

=> $\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{ABC}$

b) ∆ABB' có AB = AB' nên cân tại A

=> $\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{A{B}^{\prime }B}$

c) Vì là góc ngoài tại B' của ∆BB'C nên $\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{ACB}$

Vì $\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{ABC}$ (câu a)

$\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{A{B}^{\prime }B}$ (câu b)

$\widehat{AB{B}^{\prime }}<\widehat{ACB}$ (câu c)

=> $\widehat{ABC}<\widehat{ACB}$