Ôn tập Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác, các đường đồng quy của tam giác
Lý thuyết 
Mục lục
* * * * *
Câu hỏi ôn tập - Câu 1 (Sgk tập 2 - trang 86)
Cho tam giác ABC. Hãy viết kết luận của hai bài toán sau vể quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác :
Hướng dẫn giải
Câu hỏi ôn tập - Câu 2 (Sgk tập 2 - trang 86)
Từ điểm A không thuộc đường thẳng d, kẻ đường vuông góc AH, các đường xiên AB, AC đến đường thẳng d. Hãy điền dấu (>, <) vào các chỗ trống dưới đây cho đúng :
a) AB ....AH ; AC ......AH
b) Nếu HB ......HC thì AB ......AC
c) Nếu AB ......AC thì HB ....HC
Hướng dẫn giải
a) AB > AH; AC > AH.
b) Nếu HB > HC thì AB > AC.
hoặc có thể HB < HC thì AB < AC.
c) Nếu AB > AC thì HB > HC.
hoặc có thể AB < AC thì HB < HC.
Câu hỏi ôn tập - Câu 3 (Sgk tập 2 - trang 86)
Cho tam giác DEF. Hãy viết các bất đẳng thức về quan hệ giữa các cạnh của tam giác này ?
Hướng dẫn giải
Với ∆DEF ta có các bất đẳng thức và quan hệ giữa các cạnh là:
DE < EF + DF
DF < EF + DE
EF < DE + DF
DF - EF < DE < DF + EF (với DF > EF)
Câu hỏi ôn tập - Câu 4 (Sgk tập 2 - trang 86)
Hãy ghép hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng ?
Hướng dẫn giải
Ghép a-d' ; b –a', c-b', d-c'
Trong một tam giác
a - d' đường phân giác xuất phát từ đỉnh A - là đoạn thẳng có hai mút là đỉnh A và giao điểm của cạnh BC với tia phân giác của góc A.
b - a' đường trung trực ứng với cạnh BC - là đường vuông góc với cạnh BC tại trung điểm của nó.
c - b' đường cao xuất phát từ đỉnh A - là đoạn vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC.
d - c' đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh A - là đoạn thẳng nối A với trung điểm của cạnh BC.
Câu hỏi ôn tập - Câu 5 (Sgk tập 2 - trang 86)
Hãy ghép đôi hai ý ở hai cột để được khẳng định đúng
Hướng dẫn giải
Ghép a-b', b-a', c-d', d-c'
Trong một tam giác
a - b' trọng tâm - là điểm chung của ba đường trung tuyến
b - a' trực tâm - là điểm chung của ba đường cao
c - d' điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh - là điểm chung của ba đường phân giác
d - c' điểm cách đều ba đỉnh - là điểm chung của ba đường trung trực
Câu hỏi ôn tập - Câu 6 (Sgk tập 2 - trang 87)
a) Hãy nêu tính chất của trọng tâm của một tam giác; các cách xác định trọng tâm
b) Bạn Nam nói: "Có thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác". Bạn Nam nói đúng hay sai ? Tại sao ?
Hướng dẫn giải
a) - Trọng tâm của một tam giác có tính chất như sau:
"Trọng tâm cách đỉnh một khoảng bằng 2/3 độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh đó."
- Các cách xác định trọng tâm:
+ Cách 1: Vẽ hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh tùy ý, rồi xác định giao điểm của hai đường trung tuyến đó.
+ Cách 2: Vẽ một đường trung tuyến của tam giác. Chia độ dài đường trung tuyến thành ba phần bằng nhau rồi xác định một điểm cách đỉnh hai phần bằng nhau.
b) Không thể vẽ được một tam giác có trọng tâm ở bên ngoài tam giác vì đường trung tuyến qua một đỉnh của tam giác và trung điểm một cạnh trong tam giác nên đường trung tuyến phải nằm giữa hai cạnh của một tam giác tức nằm ở bên trong của một tam giác nên ba đường trung tuyến cắt nhau chỉ có thể nằm bên trong của tam giác.
Câu hỏi ôn tập - Câu 7 (Sgk tập 2 - trang 87)
Những tam giác nào có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao ?
Hướng dẫn giải
Tam giác có ít nhất một đường trung tuyến đồng thời là đường phân giác, đường trung trực, đường cao là tam giác cân, tam giác vuông cân.
Câu hỏi ôn tập - Câu 8 (Sgk tập 2 - trang 87)
Những tam giác nào có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh ?
Hướng dẫn giải
Tam giác có trọng tâm đồng thời là trực tâm, điểm cách đều ba đỉnh, điểm (nằm trong tam giác) cách đều ba cạnh là tam giác đều.
Bài 63 (Sgk tập 2 - trang 87)
Cho tam giác ABC với AC < AB. Trên tia đối của BC lấy điểm D saoc ho BD = AB. Trên tia đối của tia CB lấy điểm E sao cho CE = AC. Vẽ các đoạn thẳng AD, AE
a) Hãy so sánh góc ADC và góc AEB
b) Hãy so sánh các đoạn AD và AE
Hướng dẫn giải
a) So sánh ˆADCADC^ và ˆAECAEC^
Ta có: AC < AB
=> ˆABC<ˆACBABC^<ACB^ (1)
Vì AC = EC => ∆AEC cân tại C
=> ˆAEC<ˆCAEAEC^<CAE^
Mà ˆACB=ˆAEC+ˆEACACB^=AEC^+EAC^ (góc ngoài tại C của ∆AEC)
=> ˆACB=2.ˆAECACB^=2.AEC^ (2)
Chứng minh tương tự : ˆABC=2ˆADCABC^=2ADC^ (3)
Từ (1), (2), (3) => 2ˆAEC=2ˆADC2AEC^=2ADC^ hay ˆAEC=ˆADCAEC^=ADC^
b) ∆AED có:
ˆAED=ˆADEAED^=ADE^ (chứng minh trên) => AD = AE
Bài 64 (Sgk tập 2 - trang 87)
Gọi MH là đường cao của tam giác MNP. Chứng minh rằng
Nếu MN < MP thì HN < HP và \(\widehat{NMH}< \widehat{PMH}\) (yêu cầu xét hai trường hợp : khi góc N nhọn và khi góc N tù)
Hướng dẫn giải
(Giải thích ở phần (**): nếu tổng của hai cặp số cùng bằng nhau (bằng 9090o chẳng hạn) thì số nào cộng với số lớn hơn thì nhỏ hơn số kia. Tức là:
a + b = 90o
c + d = 90o
mà b > d thì suy ra a < c)
Bài 65 (Sgk tập 2 - trang 87)
Có thể vẽ được mấy tam giác (phân biệt) với ba cạnh là ba trong năm đoạn thẳng có độ dài như sau : 1 cm, 2 cm, 3 cm, 4 cm và 5 cm ?
Hướng dẫn giải
Để tạo được một tam giác thì độ dài ba cạnh phải thoả mãn bất đẳng thức tam giác đó là tổng độ dài hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn cạnh còn lại.
Vì vậy chỉ có bộ ba độ dài sau thoả mãn (2,3,4); (2,4,5); (3,4,5).
(Lưu ý: để xét cho nhanh, các bạn áp dụng phần Lưu ý (trang 63 sgk Toán 7 Tập 2)), tức là ta so sánh độ dài lớn nhất với tổng hai cạnh hoặc so sánh độ dài nhỏ nhất với hiệu hai cạnh.
Ví dụ với cặp 3 độ dài (1, 2, 3) không là ba cạnh vì:
- bất đẳng thức 3 > 2 + 1 sai
- hoặc bất đẳng thức 3 - 2 < 1 sai)
Bài 66 (Sgk tập 2 - trang 87)
Đố :
Bốn điểm dân cư được xây dựng như hình 58. Hãy tìm vị trí đặt một nhà máy sau cho tổng các khoảng cách từ nhà máy đến 4 điểm dân cư này là nhỏ nhất ?
Hướng dẫn giải
Gọi O là một điểm tùy ý (nơi phải đặt nhà máy) A, B, C, D lần lượt là bốn điểm dân cư.
Tổng khoảng cách từ nhà máy đến 4 khu dân cư là: OA + OB + OC + OD
Ta có:
Vậy khi O là giao điểm của AC và BD thì tổng khoảng cách từ nhà máy này đến các khu dân cư là ngắn nhất.
Bài 67 (Sgk tập 2 - trang 87)
Cho tam giác MNP với đường trung tuyến MR và trọng tâm Q
a) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MPQ và RPQ
b) Tính tỉ số các diện tích của hai tam giác MNQ và RNQ
c) So sánh các diện tích của hai tam giác RPQ và RNQ
Từ các kết quả trên, hãy chứng minh các tam giác QMN, QNP, QPM có cùng diện tích
Gợi ý : Hai tam giác ở mỗi câu a, b, c có chung đường cao
Hướng dẫn giải
Bài 68 (Sgk tập 2 - trang 88)
Cho góc xOy. Hai điểm A, B lần lượt nằm trên hai cạnh Ox, Oy
a) Hãy tìm điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy và cách đều hai điểm A, B
b) Nếu OA = OB thì có bao nhiêu điểm M thỏa mãn các điều kiện trong câu a ?
Hướng dẫn giải
a) Tìm M khi độ OA, OB là bất kì
- Vì M cách đều hai cạnh Ox, Oy của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy (1).
- Vì M cách đều hai điểm A, B nên M nằm trên đường trung trực của đoạn AB (2).
Từ (1) và (2) ta xác định được điểm M là giao điểm của đường phân giác Oz của góc xOy và đường trung trực của đoạn AB.
b) Tìm M khi OA = OB
- Vì điểm M cách đều hai cạnh của góc xOy nên M nằm trên đường phân giác của góc xOy (3).
- Ta có OA = OB. Vậy ΔAOB cân tại O.
Trong tam giác cân OAB đường phân giác Oz cũng là đường trung trực của đoạn AB (4).
Từ (3) và (4) ta xác định được vô số điểm M nằm trên đường phân giác Oz của góc xOy thỏa mãn điều kiện bài toán.
Bài 69 (Sgk tập 2 - trang 88)
Cho hai đường thẳng phân biệt không song song a và b, điểm M nằm bên trong hai đường thẳng này. Qua M lần lượt vẽ đường thẳng c vuông góc với a tại P, cắt b tại Q và đường thẳng d vuông góc với b tại R, cắt a tại S. Chứng minh rằng đường thẳng qua M, vuông góc với SQ cũng đi qua giao điểm của a và b ?
Hướng dẫn giải
(a) và (b) không song song nên (a) cắt (b), gọi giao điểm là O. Tam giác OSQ có PQ và RS là hai đường cao gặp nhau tại M nên M là trực tâm của tam giác nên đường thẳng vẽ từ M và vuông góc với SQ là đường cao thứ ba của tam giác tức là đường vuông góc với SQ vẽ từ M cũng đi qua giao điểm của a và b
Bài 70 (Sgk tập 2 - trang 88)
Cho A, B là hai điểm phân biệt và d là đường trung trực của đoạn thẳng AB
a) Ta kí hiệu \(P_A\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm A (không kể đường thẳng d). Gọi N là một điểm của \(P_A\) và M là giao điểm của đường thẳn NB và d. Hãy so sánh NB với NM + MA; từ đó suy ra NA < NB
b) Ta kí hiệu \(P_B\) là nửa mặt phẳng bờ d có chứa điểm B (không kể d). Gọi N' là một điểm của \(P_B\). Chứng minh rằng N'B < N'A
c) Gọi L là một điểm sao cho LA < LB. Hỏi điểm L nằm ở đâu trong \(P_A,P_B\) hay trên d ?
Hướng dẫn giải
Hướng dẫn làm bài:
a) Vì M nằm trên d, d là trung trực của AB nên MA = MB (1)
Vì nên đoạn thẳng NB cắt d tại M suy ra M nằm giữa N và B.
Hay NM + MB = NB (2)
Từ (1) và (2) => NB = MA + NM
b) Gọi AN’ cắt d tại I
Trong tam giác N’IB có : N’B < IN’ + IB
Mà IA = IB (I thuộc trung trực của AB)
=> N’B < IN’ + NA => N’B < AN’
c) Vì LA < LB nên L không thuộc d, theo chứng minh câu b suy ra L thuộc PA.
Có thể bạn quan tâm
Có thể bạn quan tâm
