Ôn tập cuối năm - hình học 7

Lý thuyết

Bài 1 trang 90 SGK Toán 7 tập 2

Cho điểm \(M\) và hai đường thẳng \(a, b\) không song song với nhau (h.59)

a) Vẽ đường thẳng \(MH\) vuông góc với \(a\; (H ∈ a)\), \(MK\) vuông góc với \(b\; (K ∈ b)\). Nêu cách vẽ.

b) Qua \(M\) vẽ đường thẳng \(xx’\) song song với \(a\) và đường thẳng \(yy’\) song song với \(b.\) Nêu cách vẽ.

c) Viết tên các cặp góc bằng nhau, bù nhau.

Hướng dẫn giải

a) Trước hết, ta nêu cách vẽ một đường thẳng đi qua một điểm cho trước và vuông góc với một đường thẳng cho trước.

Cách vẽ dùng ê ke và thước kẻ:

+ Cho trước đường thẳng \(a\) và \(M ∉ a.\)

Đặt một lề ê ke trùng với \(a\), dịch chuyển ê ke trên \(a\) sao cho lề thứ hai của ê ke sát vào \(M\).

Vẽ đường thẳng sát lề thứ hai của êke qua \(M\) cắt \(a\) tại \(H\), ta được \(MH ⏊ a\) tại \(H ∈ a\).

+ Cho trước đường thẳng \(b\) và \(M ∉ b.\)

Đặt một lề ê ke trùng với \(b\), dịch chuyển ê ke trên \(b\) sao cho lề thứ hai của ê ke sát vào \(M\)

Vẽ đường thẳng sát lề thứ hai của êke qua \(M\) cắt \(b\) tại \(K\), ta được \(MK ⏊ b\) tại \(K ∈ b\).

* Để vẽ đường thẳng \(xx’\) đi qua \(M\) và song song với \(a\), ta chỉ cần vẽ đường thẳng vuông góc với \(MH.\)

Thật vậy vì \(xx’ ⏊ MH\), \(MH ⏊ a ⇒ xx’ // a.\)

Cách vẽ:

Đặt ê ke sao cho đỉnh góc vuông trùng với điểm \(M\), một cạnh góc vuông trùng với \(MH.\)

Vẽ đoạn thẳng trùng với cạnh góc vuông còn lại của eke.

Kéo dài đoạn thẳng ta được đường thẳng \(xx’\) cần vẽ.

* Để vẽ đường thẳng \(yy’\) đi qua \(M\) và song song với \(b\), ta chỉ cần vẽ đường thẳng vuông góc với \(MK.\)

Thật vậy vì \(yy’ ⏊ MK\), \(MK ⏊ b ⇒ yy’ // b.\)

Cách vẽ:

Đặt ê ke sao cho đỉnh góc vuông trùng với điểm \(M\), một cạnh góc vuông trùng với \(MK.\)

Vẽ đoạn thẳng trùng với cạnh góc vuông còn lại của eke.

Kéo dài đoạn thẳng ta được đường thẳng \(yy’\) cần vẽ.

c) Giả sử \(a\) cắt \(yy’\) tại \(N\) và \(b\) cắt \(xx’\) tại \(P.\)

Một số cặp góc bằng nhau là:

\(\widehat {x’My’} \) và \(\widehat {x’PK} \) (Đồng vị)

\(\widehat {HNM} \) và \(\widehat {NMP} \) (So le trong).

\(\widehat {yMx} = \widehat {x'My'}\) (Đối đỉnh).

Một số cặp góc bù nhau, chẳng hạn như \(\widehat {HNM} \) và \(\widehat {NMx’} \), \(\widehat {KPM} \) và \(\widehat {PMy’} \).

Bài 2 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Xem hình \(60.\)

a) Giải thích vì sao \(a//b.\)

b) Tính số đo góc \(NQP.\)

Hướng dẫn giải

a) Các đường thẳng \(a\) và \(b\) cùng vuông góc với đường thẳng \(MN\) nên \(a // b.\)

b) \(\widehat {NQP}\) và  \(\widehat {QPM}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi đường thẳng \(PQ\) cắt hai đường thẳng song song (\(a//b\)) nên chúng bù nhau.

\(\widehat {NQP} + \widehat {QPM} = {180^o}\)

\( \Rightarrow \; \widehat {NQP} = {180^o} - \widehat {QPM}\)

                  \( = {180^o} - {50^o} = {130^o}\).

Vậy \( \widehat {NQP} = {130^o}\).

Bài 3 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Hình \(61\) cho biết \(a//b\),  \(\widehat {C} = {44^o},\widehat {D} = {132^o}\).

Tính số đo góc \(COD\).

(Hướng dẫn: Vẽ đường thẳng song song với đường thẳng \(a\) và đi qua điểm \(O\)).

Hướng dẫn giải

Vẽ đường thẳng \(xy\) đi qua \(O\) và song song với \(a\). Ta có:

\(\widehat {COD} = \widehat {COy} + \widehat {DOy} =\widehat {O_1} + \widehat {O_2} \)

Vì \(a // xy \) nên \(\widehat {O_1} = \widehat {aCO} = 44^o \) (hai góc so le trong)

Vì \(b // xy\) nên \(\widehat {O_2} = {180^o} - \widehat {ODb}\) (hai góc trong cùng phía)

Suy ra:  \(\widehat {O_2} = {180^o} - {132^o} = {48^o}\)

Vậy  \(\widehat {COD} = \widehat {O_1} + \widehat {O_2} ={44^o} + {48^o} = {92^o}\).

Bài 4 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Cho góc vuông \(xOy\), điểm \(A\) thuộc tia \(Ox\), điểm \(B\) thuộc tia \(Oy.\) Đường trung trực của đoạn thẳng \(OA\) cắt \(Ox\) ở \(D\), đường thẳng trung trực của đoạn thẳng \(OB\) cắt \(Oy\) ở \(E.\) Gọi \(C\) là giao điểm của hai đường trung trực đó. Chứng minh rằng:

a) \(CE = OD\);                b) \(CE ⊥ CD\);

c) \(CA = CB\);                 d) \(CA // DE\);

e) Ba điểm \(A, B, C\) thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \(Ox \perp  Oy\) và \(CE \perp  Oy\) \( \Rightarrow EC // Ox\)   (1)

              \(Oy \perp  Ox\) và \(CD \perp  Ox\) \( \Rightarrow DC // Oy\)   (2)

\(\widehat {CDE} = \widehat {OED}\) (so le trong); \(\widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (so le trong)

Xét  \(\Delta DOE\) và \(\Delta ECD\) có:

+) \(DE\) chung

+) \( \widehat {OED}=\widehat {CDE} \) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {ODE} = \widehat {CED}\) (chứng minh trên)

\( \Rightarrow \Delta DOE = \Delta ECD\)  (g.c.g).

\( \Rightarrow OD = CE\) (Hai cạnh tương ứng)

b) Ta có \(CE // Ox\) (do (1)). Mà \(CD \perp  Ox\) 

Suy ra \(CD \perp  CE\) (điều phải chứng minh).

c) Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OA\) nên \(CA = CO\)  (3)

    Vì \(C\) nằm trên đường trung trực của \(OB\) nên \(CB = CO\)  (4)

Từ (3) và (4) suy ra \(CA = CB\) (điều phải chứng minh).

d) Xét hai tam giác vuông \(DAC\) và \(CED\) ta có:

+) \(CD\) cạnh chung

+) \( \widehat {ADC} = \widehat {ECD} = 90^o \)

+) \( AD = CE\) (do \(OD = DA = CE\))

Vậy \(∆DAC = ∆CED\) (c.g.c)

\( \Rightarrow \; \widehat {ACD} = \widehat {EDC} \) (Hai góc tương ứng).

Hơn nữa \(\widehat {ACD}\) so le trong với \(\widehat {EDC} \).

Suy ra \(CA // DE\) (điều phải chứng minh).

e) Chứng minh tương tự như câu d suy ra \(CB // DE\). Do đó theo tiên đề Ơ-clit ta suy ra hai đường thẳng \(BC\) và \(CA\) trùng nhau hay \(A, B, C\) thẳng hàng.

Bài 5 trang 91 SGK Toán 7 tập 2

Tính số đo \(x\) trong mỗi hình \(62, 63, 64\):

Hướng dẫn giải

a) \(∆ABC\) có \(AC = AB\),  \(\hat A = {90^o}\) nên vuông cân tại \(A.\)

\( \Rightarrow \)  \(\widehat {ACB} = {45^o}\)

Mà \(∆BCD\) cân tại \(C\) (do \(BC = CD\)) có  \(\widehat {ACB}\)  là góc ngoài tại \(C\) nên

\(\widehat {ACB} = 2{\rm{x}}\)

\( \Rightarrow x = \dfrac{1}{2}\widehat {ACB} = \dfrac{1}{2}.{45^o}\)

\(\Rightarrow x = {22^o}30'\).

b) Vẽ tia \(Cx // BA\) (\(BA, Cx\) thuộc hai nửa mặt phẳng đối nhau có bờ \(BC\))

\( \Rightarrow\)  \(\widehat {ABC} = \widehat {BCx} = {27^o}\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Mà \(\widehat {xCD} = \widehat {BCD} - \widehat {BCx} = {112^o} - {27^o}\)\( = {85^o}\)

Vì \(Cx //ED\) (vì cùng song song \(AB\))

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {CDE} = \widehat {xCD} = {85^o}\) (hai góc ở vị trí so le trong)

Vậy \( x = {85^o}\)

c) Vì \(AB // CD\) \(\Rightarrow \)  \(\widehat {BAC} = \widehat {DCy} = {67^o}\) (hai góc đồng vị)

\(∆ABC\) cân tại \(B\) (do \(AB = BC\)) nên  \( \widehat {ABC} = {180^o} - 2\widehat {BAC} = {180^o} - {2.67^o}\)\( = {46^o}\).

Vậy \( x = 46^o\).

Bài 6 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Cho tam giác \(ADC\) (\(AD = DC\)) có  \(\widehat {ACD} = {31^o}\). Trên cạnh \(AC\) lấy một điểm \(B\) sao cho  \(\widehat {ABD} = {88^o}\). Từ \(C\) kẻ một tia song song với \(BD\) cắt tia \(AD\) ở \(E.\)

a) Hãy tính các góc \(DCE\) và \(DEC.\)

b) Trong tam giác \(CDE\), cạnh nào lớn nhất? Tại sao? 

Hướng dẫn giải

a) \(∆ADC\) cân tại \(D\) nên có  \(\widehat {ACD} =\hat A = {31^o} \)

\(\Rightarrow \;  \widehat {ADC} = {180^o} - 2.  \widehat {ACD}\)

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {ADC} = {180^o} - 2.{31^o} = {118^o}\)

+ \(∆ADB\) có  \(\hat A = {31^o},\widehat {ABD} = {88^o}\)

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {ADB} = {180^o} - \left( {{{31}^o} + {{88}^o}} \right)\) (định lí tổng ba góc trong tam giác )

Hay  \(\widehat {ADB} = {61^o}\)

+ Ta có \(BD // CE\)

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {DEC} = \widehat {ADB} = {61^o}\) (hai góc đồng vị)

+  \(\widehat {EDC}\) là góc ngoài \(∆ADC\) cân tại \(D\)

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {EDC} = 2.\hat C = {62^o}\)

\(∆DEC\) có  \(\widehat {DEC} = {61^o};\widehat {EDC} = {62^o} \) 

Theo định lí tổng ba góc trong một tam giác ta có:

\(\widehat {DCE} = {180^o} - (\widehat {DEC} + \widehat {EDC}) \)

           \(= 180^o - (61^o + 62^o)= {57^0}\)

b) Vì  \({57^0} < {61^0} < {62^0} \Rightarrow  DE < DC < CE\) (Theo định lí mối quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).
Vậy \(CE\) là cạnh lớn nhất.

Bài 7 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Từ một điểm \(M\) trên tia phân giác của góc nhọn \(xOy\), kẻ đường vuông góc với cạnh \(Ox\) (tại \(A\)), đường thẳng này cắt cạnh \(Oy\) tại \(B.\)

a) Hãy so sánh hai đoạn thẳng \(OA\) và \(MA.\)

b) Hãy so sánh hai đoạn thẳng \(OB\) và \(OM.\)

Hướng dẫn giải

a) \(∆AOM\) vuông tại \(A\) có

  \(\widehat {{O_1}} < {45^o}\) ( do \(\widehat {xOy}\) nhọn) 

Mà  \(\widehat {{O_1}} + \widehat {{M_1}} = {90^o}\)

\(\Rightarrow \) \(\widehat {{M_1}} > {45^o} \)

\(\Rightarrow \; \widehat {{M_1}} > \widehat {{O_1}}\)

\(\Rightarrow  OA > MA\) (Định lí về mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác).

b) \(∆OMB\) có  \(\widehat {{OMB}}\) là góc ngoài tại \(M\) của \(∆OMA\)

\(\Rightarrow \)  \(\widehat {{OMB}} =  \widehat {{O_1}} + \widehat {{OAM}} =\widehat {{O_1}} +   {90^o} \)

\(\Rightarrow \; \widehat {{OMB}} > {90^o} \) hay \( \widehat {{OMB}}\) là góc tù

\(\Rightarrow  OB\) là cạnh lớn nhất trong tam giác \(OMB\).

\(\Rightarrow  OB > OM.\)

Bài 8 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Cho tam giác \(ABC\) vuông tại \(A\); đường phân giác \(BE\). Kẻ \(EH\) vuông góc với \(BC\) (\(H \in BC)\). Gọi \(K\) là giao điểm của \(AB\) và \(HE.\) Chứng minh rằng:

a) \(∆ABE= ∆HBE.\)

b) \(BE\) là đường trung trực của đoạn thẳng \(AH.\)

c) \(EK = EC.\)

d) \(AE < EC.\)a

Hướng dẫn giải

a) Xét hai tam giác vuông \(∆ABE\) và \(∆HBE\), ta có:

+) \(\widehat {{B_1}} = \widehat {{B_2}}\) (do \(BE\) là phân giác của góc \(B\))

+) \(BE \) cạnh huyền chung

Vậy \(∆ABE = ∆HBE\)  (cạnh huyền-góc nhọn)

b) Vì \(∆ABE = ∆HBE\) (câu a)

 \( \Rightarrow  BA = BH, EA = EH\) (hai cạnh tương ứng)

\( \Rightarrow  E, B\) cùng thuộc trung trực của \(AH\) nên đường thẳng \(EB\) là trung trực của \(AH.\)

c) Xét \(∆AEK\) và \(∆HEC\), ta có:

+) \(\widehat {EAK} = \widehat {EHC} = {90^0}\)

+) \(EA = EH\) (chứng minh trên)

+) \(\widehat {{E_2}} = \widehat {{E_1}}\) (hai góc đối đỉnh)

Vậy \(∆AEK = ∆HEC \) (g.c.g)

\( \Rightarrow   EK = EC\) (Hai cạnh tương ứng) (điều phải chứng minh)

d) Trong tam giác vuông \(AEK\) ta có:

\(AE < EK\) (cạnh huyền lớn hơn cạnh góc vuông)

Mà \(EC = EK\) (chứng minh trên)

Suy ra \(AE < EC\) (điều phải chứng minh).

Bài 9 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Chứng minh rằng: Nếu tam giác \(ABC\) có đường trung tuyến xuất phát từ \(A\) bằng một nửa cạnh \(BC\) thì tam giác đó vuông tại \(A.\)

Ứng dụng: Một tờ giấy bị rách ở mép (h.65). Hãy dùng thước và compa dựng đường vuông góc ở cạnh \(AB\) tại \(A.\)

Hướng dẫn giải

Giả sử \(∆ABC\) có \(AD\) là đường trung tuyến ứng với \(BC\) và  \(AD = \dfrac{1}{2}BC\).  

\( \Rightarrow   AD = BD = DC\). 

Hay \(∆ADC, ∆ADB\) cùng cân tại \(D\). Do đó:

 \(\left. {\matrix{ {\widehat {{A_1}} = \widehat {{C_1}}}  \cr  {\widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}}}  \cr  } } \right\} \Rightarrow \widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}}\)

Mà  \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} + \widehat {{B_1}} + \widehat {{C_1}} = {180^o}\) (Theo định lí tổng ba góc trong \(∆ABC\))

\( \Rightarrow \)  \(\widehat {{A_1}} + \widehat {{A_2}} = {90^o}\)

Hay \(∆ABC\) vuông tại \(A.\)

Áp dụng

- Vẽ đường tròn \((A;r)\);  \(r > \dfrac{{AB}}{2}\); vẽ đường tròn \((B, r)\)

- Gọi \(C\) là giao điểm của \(2\) cung tròn nằm ở phía trong tờ giấy.

- Trên tia \(BC\) lấy \(D\) sao cho \(BC = CD\) \( \Rightarrow  AB  ⊥ AD.\)

Thật vậy: \(∆ABD\) có \(AC\) là trung tuyến ứng với \(BD\) (\(BD = CD\)) và \(AC = BC = CD\) (theo cách vẽ).

\( \Rightarrow  AC = \dfrac{1}{2} BD\) 

\( \Rightarrow   ∆ ABD\) vuông tại \(A.\)

Bài 10 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Cho hình \(66.\) Không vẽ giao điểm của \(a, b\), hãy nêu cách vẽ đường thẳng đi qua giao điểm này và điểm \(M.\)

Hướng dẫn giải

Áp dụng bài 69 ta có cách vẽ sau:

- Vẽ đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(a\) tại \(P\) cắt \(b\) tại \(Q.\)

- Vẽ đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(b\) tại \(R\) cắt \(a\) tại \(S.\)

- Vẽ đường thẳng qua \(M\) vuông góc với \(SQ.\) Đây chính là đường qua \(M\) và qua giao điểm của hai đường \(a, b\) (Vì \(3\) đường thẳng \(a, b, MH\) là \(3\) đường cao của \(∆MSQ\) nên  chúng đồng quy).

Bài 11 trang 92 SGK Toán 7 tập 2

Đố: Cho tam giác \(ABC.\) Em hãy tô màu để xác định phần bên trong của tam giác gồm các điểm \(M\) sao cho:

\(MA < MB < MC.\)

(Hướng dẫn: Trước tiên tô màu để xác định các điểm \(M\) ở trong tam giác mà \(MA < MB\); lần thứ hai là \(MA < MC.\) Phần trong tam giác được tô màu hai lần là phần phải tìm).

Hướng dẫn giải

- Điểm \(M\) nằm trong \(ΔABC\) sao cho \(MA < MB\) thì tô phần \(ΔABC\) thuộc nửa mặt phẳng bờ là trung trực của đoạn \(AB\) có chứa điểm \(A\) (phần màu vàng).

- Điểm \(M\) nằm trong \(ΔABC\) sao cho \(MB < MC\) thì tô phần \(ΔABC\) thuộc nửa mặt phẳng bờ là đường trung trực của đoạn \(BC\) có chứa \(B\) (phần màu xanh).

- Phần được tô hai lần (xanh và vàng) là phần chứa điểm \(M\) thỏa: \(MA < MB < MC.\)