§3. Số trung bình công. Số trung vị. Mốt

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 122)

Tính số trung bình cộng của các bảng dưới đây ?

Và :

 

Hướng dẫn giải

a) Bảng phân bố tần số (về tuổi thọ bóng đèn điện) có thể viết dưới dạng như sau:

Số trung bình về tuổi thọ của bóng đèn trong bảng phân bố trên là:

.(3x1150 + 6x1160 + 12x1170 + 6x1180 + 3x1190)

= 1170.

b) Số trung bình về chiều dài lá cây dương xỉ trong bài tập 2 trong là:

.(8x15 + 18x25 + 24x35 + 10x45) = 31 (cm).

Bài 2 (SGK trang 122)

Trong một trường THPT, để tìm hiểu tình hình học môn Toán của hai lớp 10A và 10B, người ta cho hai lớp thi Toán theo cùng một đề thi và lập được hai bảng phân bố tần số ghép lớp sau đây :

Tính các số trung bình cộng của hai bảng phân bố trên và nêu nhận xét về kết quả làm bài thi của hai lớp ?

 

Hướng dẫn giải

Số trung bình điểm thi môn Toán lớp 10A:

.(2x1 + 4x3 + 12x5 + 28x7 + 4x9) = 6,12

Số trung bình điểm thi môn Toán lớp 10B:

.(4x1 + 10x3 + 18x5 + 14x7 + 5x9) = 5,24.

Nhận xét: Qua so sánh hai số trung bình có thể thấy kết quả học Toán lớp 10A tốt hơn lớp 10B.

Bài 3 (SGK trang 123)

Điều tra tiền lương hàng tháng của 30 công nhân của một xưởng may, ta có bảng phân bố tần số sau :

(Tiền lương của 30 công nhân xưởng may)

Tiền lương (nghìn đồng)	300	500	700	800	900	1000	Cộng
Tần số	3	5	6	5	6	5	30

Tìm mốt của bảng phân bố trên ? Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được ?

 

Hướng dẫn giải

a) Trong bảng phân bố trên, giá trị (tiền lương) 700 (nghìn đồng) và 900 (nghìn đồng) có cùng tần số bằng nhau và lớn hơn các tân số của các giá trị khác. Bảng phân bố này có hai số mốt là:

M₁ = 700, M₂ = 900.

b) Ý nghĩa: Tỉ lệ công nhân có mức lương 700 nghìn đồng và 900 nghìn đồng cao hơn tỉ lệ công nhân có các mức lương khác.i

Bài 4 (SGK trang 123)

Tiến lương hàng tháng của 7 nhân viên trong 1 công ty du lịch là : 650, 840, 690, 720, 2500, 670, 3000 (đơn vị : nghìn đồng)

Tìm số trung vị của các số liệu thống kê đã cho. Nêu ý nghĩa của kết quả đã tìm được ?

Hướng dẫn giải

Bảng số liệu có 7 giá trị, sắp các giá trị theo thứ tự không giảm ta có:

650, 670, 690, 720, 840, 2500, 3000.

Vì số phần tử = 7 là số lẻ nên số trung vị là M_e = 720 (số chính giữa của dãy).

Ý nghĩa: vì số trung bình cộng = 1295,71 cao hơn M_e rất nhiều nên trong bài toán này thì sử dụng M_e đại diện cho mức lương là hợp lý hơn.

Bài 5 (SGK trang 123)

Cho biết tình hình thu hoạch lúa vụ mùa năm 1980 của ba hợp tác xã ở địa phương V như sau :

Hãy tính năng suất lúa trung bình của vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba hợp tác xã kể trên ?

 

Hướng dẫn giải

Năng suất lúa trung bình vụ mùa năm 1980 trong toàn bộ ba xã là:
\(\overline{x}=\dfrac{1}{\left(150+130+120\right)}\left(150\times40+130\times38+120\times36\right)\)
    \(=38,15\) tạ/ha.

Bài 10 (SBT trang 159)

a) Tính số trung bình của dãy số liệu cho trong bảng 5 bằng hai cách : sử dụng bảng phân bố tần số và sử dụng bảng phân bố tần suát (theo các lớp chỉ tra trong bài tập 2 - trang 148)

Chiều cao của 120 học sinh lớp 11 ở trường Trung học phổ thông M (đơn vị : cm)

b) So sánh chiều cao của học sinh nam với chiều của học sinh nữ  trong nhóm học sinh được khảo sát ?

c) Tính chiều cao trung bình của tất cả 120 học sinh đã được khảo sát ?

Hướng dẫn giải

a) Tính chiều cao trung bình của học sinh nam

Cách 1 : Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp :

\(\overline{x}=\dfrac{1}{60}\left(5.140+9.150+19.160+17.170+10.180\right)\)

\(\overline{x}=163\)

Cách 2 : Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp :

\(\overline{x}=\dfrac{1}{100}\left(8,33.140+15.150+31,67.160+28,33.170+16,67.180\right)\)\(\overline{x}=163\)

Tính chiều cao trung bình của học sinh nữ:

Cách 1 : Sử dụng bảng phân bố tần số ghép lớp \(\overline{x}=\dfrac{1}{60}\left(8.140+15.150+16.160+14.170+7.180\right)\)

\(\overline{x}=159,5\)

Cách 2 : Sử dụng bảng phân bố tần suất ghép lớp :

\(\overline{x}=\dfrac{1}{100}\left(13,33.140+25.150+26,67.160+23,33.170+11,67.180\right)\)

\(\overline{x}=159,5\)

b) Vì \(\overline{x}_{nam}=163>\overline{x}_{nữ}=159,5\) nên suy ra học sinh ở nhóm nam cao hơn học sinh ở nhóm nữ

c) \(\overline{x}=\left(60.159,5+60.163\right)\dfrac{1}{2}\approx161\left(cm\right)\)

Bài 11 (SBT trang 160)

a) Tính số trung bình của các số liệu thống kê cho ở bàng 6, bảng 7 và bảng 8 ?

Thời gian (phút) đi từ nhà đến trường của bạn A trong 35 ngày

Kết quả đo của 55 học sinh lớp 8, khi đo tổng các góc trong của một ngũ giác lồi 

Nhiệt độ trung bình \(\left(0^0C\right)\) của tháng 5 ở địa phương A từ 1961 đến 1990

b) Nêu ý nghĩa của các số trung bình đã tính được ?

 

 

Hướng dẫn giải

a) \(23,3\) phút; \(540^0;27,6^0C\)

b) Khi lấy số trung bình làm đại diện cho các số liệu thống kê về quy mô và độ lớn, có thể xem rằng mỗi ngày bạn A đi từ nhà đến trường đều mất 23,3 phút.

Tương tự, nêu ý nghĩa số trung bình của các số liệu thống kê cho ở bảng 7 và bảng 8.

Bài 12 (SBT trang 160)

Cho bảng phân bố tần số :

Mức thu nhập trong năm 2000 của 31 gia đình trong một bản ở vùng núi cao

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của các số liệu thống kê đã cho ?

b) Chọn giá trị đại diện cho các số liệu thống kê đã cho ?

Hướng dẫn giải

a) Số trung bình \(\overline{x}=6,6\) triệu đồng. Số trung vị \(M_e=6\) triệu đồng. Mốt \(M_0=6\) triệu đồng

b) Trong các số liệu thống kê đã cho có sự chênh lệch nhau quá lớn, nên ta không chọn số trung bình cộng mà chọn số trung vị \(M_e=6\) triệu đồng, làm đại diện cho mức thu nhập trong năm 2000 của mỗi gia đình trong 31 gia đình được khảo sát.

Bài 13 (SBT trang 160)

Cho

         Bảng xếp loại lao động của học sinh 10A năm học 2000 - 2001

a) Tính số trung bình, số trung vị, mốt của bảng 12 (nếu tính được) ?

b) Chọn giá trị đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn ?

 

Hướng dẫn giải

a) Không tính được số trung bình

Bảng phân bố đã cho có 49 số liệu, mỗi số liệu thống kê là một xếp loại lao động. Có tất cả 4 xếp loại lao động được sắp thành dãy không tăng từ xếp loại lao động cao nhất là "lao động loại A" đến xếp loại thấp nhất là "lao động loại D". Dựa vào dãy này, ta tìm được số trung vị \(M_e\) là xếp loại "lao động loại B"

Có hai mốt \(M_0^{\left(1\right)}\) là xếp loại "lao động loại B"; \(M_0^{\left(2\right)}\) là xếp loại "lao động loại C"

b) Ta chọn xếp loại "lao động loại B" để đại diện cho các giá trị thống kê đã cho về quy mô và độ lớn