§3. Các hệ thức lượng giác trong tam giác và giải tam giác

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 59)

Cho tam giác ABC vuông tại A, \(\widehat{B}=58^0\) và cạnh \(a=72cm\). Tính \(\widehat{C}\), cạnh b, cạnh c và đường cao \(h_a\) ?

Hướng dẫn giải

= 32⁰; b = a.cos32⁰ => b ≈ 61,06cm; c = a.sin32⁰ ≈ 38,15cm

h_a = => h_a ≈ 32,35cm

Bài 2 (SGK trang 59)

Cho tam giác ABC biết các cạnh \(a=52,1cm;b=85cm;c=54cm\). Tính các góc \(\widehat{A},\widehat{B},\widehat{C}\) ?

Hướng dẫn giải

Từ định lí cosin a² = b² + c² - 2bc. cosA

ta suy ra cos A = =

=> cosA ≈ 0,8089 => = 36⁰

Tương tự, ta tính được ≈ 106⁰ 28’ ; ≈ 37⁰ 32’.

Bài 3 (SGK trang 59)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=120^0\), cạnh b = 8cm và cạnh c = 5cm. Tính cạnh a và các góc \(\widehat{B,}\widehat{C}\) của tam giác đó ?

Hướng dẫn giải

a² = 8² + 5² - 2.8.5 cos 120⁰ = 64 + 25 + 40 = 129

=> a = √129 ≈ 11, 36cm

Ta có thể tính góc B theo định lí cosin

cosB = = ≈ 0,7936 => = 37⁰48’

Ta cũng có thể tính góc B theo định lí sin :

cosB = = => sinB ≈ 0,6085 => = 37⁰48’

Tính C từ = 180⁰- ( + ) => ≈ 22⁰12’

Bài 4 (SGK trang 59)

Tính diện tích S của tam giác có số đo các cạnh lần lượt là 7,9 và 12 ?

Hướng dẫn giải

Ta có 2p = 7 + 9 + 12 => p = 14

p - a = 14 - 7 = 7

p - b = 14 - 9 = 5

p - c = 12 - 12 = 2

Áp dụng công thức Hê ron:

S = = = 14√5 (dvdt)

Bài 5 (SGK trang 59)

Tam giác ABC có \(\widehat{A}=120^0\). Tính cạnh BC cho biết cạnh AC =m và AB = n ?

Hướng dẫn giải

Ta có: BC² = AC² + AB² - 2AB.AC. cos120⁰

=> BC² = m² + n² - 2m.n ()

=> BC² = m² + n² + m.n

=> BC =

Bài 6 (SGK trang 59)

Tam giác ABC có các cạnh a = 8cm, b = 10cm, c = 13 cm

a) Tam giác đó có góc tù không ?

b) Tính độ dài trung tuyến MA của tam giác ABC đó ?

 

Hướng dẫn giải

a) Xét tổng a^{2 +} b² - c² = 8^{2 +} 10² - 13² = -5 < 0

Vậy tam giác này có góc C tù

cos C = = ≈ -0, 3125 => = 91⁰47’

b) Áp dụng công thức tính đường trung tuyến, ta tính được AM ≈ 10,89cm

Bài 7 (SGK trang 59)

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết :

a) Các cạnh a = 3cm, b = 4cm và c = 6cm

b) Các cạnh a = 40cm, b = 13cm và c = 37cm

Hướng dẫn giải

Ta biết trong tam giác thì đối diện với cạnh lớn nhất là góc lớn nhất, vậy trong câu a) góc lớn nhất là góc C còn trong câu b) góc lớn nhất là góc A

a) cos = = ≈ -0,4583 => = 117⁰16’

b)cos = = => = 93⁰41’

Bài 8 (SGK trang 59)

Cho tam giác ABC biết cạnh a = 137,5cm; \(\widehat{B}=83^0;\widehat{C}=57^0\). Tính góc A, bán kính R của đường tròn ngoại tiếp, cạnh b và c của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Ta có: = 180⁰ - ( + ) = 40⁰

Áp dụng định lí sin :

= = , ta có:

b = ≈ 212,32cm

c = ≈ 179,40cm

Bài 9 (SGK trang 59)

Cho hình bình hành ABCD có AB = a; BC = b; BD = m và AC = n.

Chứng minh rằng : \(m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lí về đường trung tuyến:

OA² = - (1)

Thay OA = , AB = a, AD = BC = b và BD = m vào (1) ta có:
\(\left(\dfrac{n}{2}\right)^2=\dfrac{b^2+a^2}{2}-\dfrac{m^2}{4}\)
\(\Leftrightarrow\dfrac{n^2}{4}+\dfrac{m^2}{4}=\dfrac{a^2+b^2}{2}\)
\(\Leftrightarrow m^2+n^2=2\left(a^2+b^2\right)\)

 

Bài 10 (SGK trang 60)

Hai chiếc tầu thủy P và Q cách nhau 300m. Từ P và Q thẳng hàng với chân A của tháp hải đẳng AB ở trên bờ biển người ta nhìn chiều cao AB của tháp dưới các góc \(\widehat{BPA}=35^0;\widehat{BQA}=48^0\). Tính chiều cao của tháp ?

Hướng dẫn giải

Ta có: AQ = ABcot48⁰

AP = ABcot35⁰

QP = AB(cot35⁰ - cot48⁰)

=> AB = ≈

Tính được AB ≈ 568,50m

Bài 11 (SGK trang 60)

Muốn đo chiều cao của Tháp Chàm Por Klong Garai ở Ninh Thuận (h.2.23), người ta lấy hai điểm A và B trên mặt đất có khoảng cách AB = 12 m cùng thẳng hàng với chân C của tháp để đặt hai giác kế (h.2.24). Chân của giác kế có chiều cao \(h=1,3m\). Gọi D là đỉnh tháp và hai điểm \(A_1,B_1\) cùng thẳng hàng với \(C_1\) thuộc chiều cao CD của tháp. Người ta đo được \(\widehat{DA_1C_1}=49^0\) và \(\widehat{DB_1C_1}=35^0\). Tính chiều cao CD của tháp đó ?

Hướng dẫn giải

Ta có: Chiều cao của tháp DC = DC₁ + C₁C = 1,3 + DC₁

=> DC = 1,3 +

=> DC ≈ 22,8m

Bài 2.29 (SBT trang 101)

Tam giác ABC có cạnh \(a=2\sqrt{3};b=2;\widehat{C}=30^0\)

a) Tính cạnh c, góc A và diện tích S của tam giác ABC

b) Tính chiều cao \(h_a\) và đường trung tuyến \(m_a\) của tam giác ABC

Hướng dẫn giải

Bài 2.30 (SBT trang 101)

Tính góc lớn nhất của tam giác ABC biết \(a=3;b=4;c=6\). Tính đường cao ứng với cạnh lớn nhất của tam giác ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.31 (SBT trang 101)

Tam giác ABC có \(a=2\sqrt{3};b=2\sqrt{2};c=\sqrt{6}-\sqrt{2}\). Tính các góc A, B và các độ dài \(h_a,R,r\) của tam giác đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.32 (SBT trang 101)

Tam giác ABC có \(a=4\sqrt{7}cm;b=6cm;c=8cm\). Tính diện tích S, đường cao \(h_a\) và bán kính R của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.33 (SBT trang 102)

Gọi \(m_a,m_b,m_c\) là các trung tuyến lần lượt ứng với các cạnh a, b, c của tam giác ABC 

a) Tính \(m_a\), biết rằng \(a=26,b=18,c=16\)

b) Chứng minh rằng : \(4\left(m^2_a+m^2_b+m^2_c\right)=3\left(a^2+b^2+c^2\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.34 (SBT trang 102)

Tam giác ABC có \(b+c=2a\). Chứng minh rằng :

a) \(2\sin A=\sin B+\sin C\)

b) \(\dfrac{2}{h_a}=\dfrac{1}{h_b}+\dfrac{1}{h_c}\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.35 (SBT trang 102)

Chứng minh rằng trong tam giác ABC ta có các hệ thức :

a) \(\sin A=\sin B\cos C+\sin C\cos B\)

b) \(h_a=2R\sin B\sin C\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.36 (SBT trang 102)

Tam giác ABC có \(bc=a^2\). Chứng minh rằng :

a) \(\sin^2A=\sin B.\sin C\)

b) \(h_b.h_c=h^2_a\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.37 (SBT trang 102)

Chứng minh rằng diện tích hình bình hành bằng tích hai cạnh liên tiếp với sin của góc xen giữa chúng ?

 

Hướng dẫn giải

Bài 2.38 (SBT trang 102)

Cho hình tứ giác ABCD có đường chéo AC = x, đường chéo BD = y và góc tạo bởi AC và BD là \(\alpha\). Gọi S là diện tích của tứ giác ABCD

a) Chứng minh rằng \(S=\dfrac{1}{2}x.y.\sin\alpha\)

b) Nêu kết quả trong trường hợp Ac vuông góc với BD

 

Hướng dẫn giải

Bài 2.39 (SBT trang 102)

Cho tứ giác ABCD. Dựng hình bình hành ABCD. Chứng minh rằng tứ giác ABCD và tam giác ACC' có diện tích bằng nhau ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.40 (SBT trang 102)

Cho tam giác ABC biết \(c=35cm,\widehat{A}=40^0;\widehat{C}=120^0\). Tính \(a,b,\widehat{B}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.41 (SBT trang 102)

Cho tam giác ABC biết \(a=7cm,b=23cm;\widehat{C}=130^0\). Tính \(c,\widehat{A,}\widehat{B}\) ?

Hướng dẫn giải

Áp dụng định lý cô sin trong tam giác ABC:
\(c^2=a^2+b^2-2abcosC=7^2+23^2-2.7.23.cos130\)\(\cong784cm\).
Vậy \(c=28cm.\)
\(cosA=\dfrac{c^2+b^2-a^2}{2bc}=\dfrac{28^2+23^2-7^2}{2.23.28}=\dfrac{158}{161}\).
\(\Rightarrow\widehat{A}\cong11^o\).
\(\widehat{B}=180^o-\left(\widehat{A}+\widehat{C}\right)=180^o-\left(130^o+11^o\right)=39^o\).

Bài 2.42 (SBT trang 102)

Cho tam giác ABC biết \(a=14cm,b=18cm,c=20cm\). Tính \(\widehat{A};\widehat{B};\widehat{C}\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.43 (SBT trang 103)

Giả sử chúng ta cần đo chiều cao CD của một cái tháp với C là chân tháp, D là đỉnh tháp. Vì không thể đến chân tháp được nên từ hai điểm A, B có khoảng cách AB = 30m sao cho 3 điểm A, B, C thẳng hàng người ta đo được các góc \(\widehat{CAD}=43^0;\widehat{CBD}=67^0\) (h.2.18). Hãy tính chiều cao CD của tháp ?

Hướng dẫn giải

Có:
\(DC=AC.tan43^o=\left(AB+BC\right).tan43^o\).
\(DC=BC.tan67^o\).
Vì vây:
\(\left(AB+BC\right).tan43^o=BC.tan67^o\)
\(\Leftrightarrow BC=\dfrac{AB.tan43^o}{tan67^o-tan43^o}=26,55m\).
Suy ra: \(DC=BC.tan67^o=26,55.tan67^o=62,55m\).
Vậy chiều cao DC của chân tháp là 62,55m.

Bài 2.44 (SBT trang 103)

Khoảng cách từ A đến C không thể đo trực tiếp vì phải qua một đầm lầy nên người ta làm như sau : Xác định một điểm B có khoảng cách AB = 12m và đo được góc \(\widehat{ACB}=37^0\) (h.2.19). Hãy tính khoảng cách AC biết rằng BC = 5m

Hướng dẫn giải

Hạ \(BH\perp AC\).
\(CH=CB.sin37^o\approx3m.\)
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông BCH:
\(BH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{5^2-3^2}=4m\).
Áp dụng định lý Pi-ta-go trong tam giác vuông BHA:
\(HA=\sqrt{BC^2-BH^2}=\sqrt{12^2-4^2}=8\sqrt{2}m\).
\(AC=AH+HC=8\sqrt{2}+3m\).