§2. Hàm số y=ax+b

Lý thuyết

Bài 1 (SGK trang 41)

Vẽ đồ thị của các hàm số :

a. \(y=2x-3\)

b. \(y=\sqrt{2}\)

c. \(y=-\dfrac{3}{2}x+7\)

d. \(y=\left|x\right|-1\)

Hướng dẫn giải

a) Đồ thị hàm số y = 2x - 3 là đường thẳng đi qua hai điểm P(0; - 3) và hình a).

b) Đồ thị hàm số y = √2 là đường thẳng song song với trục hoành đi qua điểm P(0; √2) (hình b).

c) Đồ thị hàm số là đường thẳng. Bởi vì giao điểm của đồ thị với trục tung P(0; 7) với trục hoành có tọa độ tương đối lớn nên ta có thể chọn các điểm thuộc đồ thị có tọa độ nhỏ hơn cho dễ vẽ. Chẳng hạn A(4; 1), B(2; 4). Đồ thị là đường thẳng AB (hình c).

d) y = |x| - 1 = (hình d).

Bài 2 (SGK trang 42)

Xác định a, b để đồ thị của hàm số \(y=ax+b\) đi qua các điểm :

a. \(A\left(0;3\right)\) và \(B\left(\dfrac{3}{5};0\right)\)

b. \(A\left(1;2\right)\) và \(B\left(2:1\right)\)

c. \(A\left(15;-3\right)\) và \(B\left(21;-3\right)\)

Hướng dẫn giải

a) Thay x, y trong phương trình y = ax + b bằng tọa độ của A và của B ta được hệ phương trình:

Vậy phương trình của đường thẳng đi qua A(0; 3) và là: y = - 5x + 3.

b) Thay \(x,y\) trong phương trình \(y=ax+b\) bằng tọa độ A và B ta được hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}1.a+b=2\\2.a+b=1\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-1\\b=3\end{matrix}\right.\).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(y=-x+3\).
c) Thay \(x,y\) trong phương trình \(y=ax+b\) bằng tọa độ A và B ta được hệ phương trình: \(\left\{{}\begin{matrix}15a+b=-3\\21a+b=-3\end{matrix}\right.\)\(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=0\\b=-3\end{matrix}\right.\).
Vậy phương trình đường thẳng cần tìm là: \(y=-3\).

Bài 3 (SGK trang 42)

Viết phương trình \(y=ax+b\) của các đường thẳng :

a. Đi qua hai điểm \(A\left(4;3\right)\) và \(B\left(2;-1\right)\)

b. Đi qua điểm \(A\left(1;-1\right)\) và song song với Ox

Hướng dẫn giải

a) Phương trình đường thẳng (d) qua A(4; 3) và B(2;- 1) có dạng tổng quát là y = ax + b, trong đó a, b là các hằng số cần xác định.

Vì A(4; 3) ∈ d nên ta có phương trình của (d), do đó ta có: 3 = a.4 + b.

Tương tự B(2;- 1) ∈ d nên ta có: - 1 = a.2 + b

Từ đó ta tìm được phương trình đường thẳng AB là: y = 2x - 5.

Phương trình đường thẳng AB là: y = 2x - 5.

b) Đáp số: y = - 1.

Bài 4 (SGK trang 42)

Vẽ đồ thị các hàm số :

a. \(y=\left\{{}\begin{matrix}2x;\left(x\ge0\right)\\-\dfrac{1}{2}x;\left(x< 0\right)\end{matrix}\right.\)

b. \(y=\left\{{}\begin{matrix}x+1;\left(x\ge1\right)\\-2x+4;\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

a) Hình a:

Bài 7 (SBT trang 34)

Vẽ đồ thị của các hàm số sau và xét tính chẵn lẻ của chúng ?

a) \(y=-\dfrac{2}{3}x+2\)

b) \(y=\dfrac{4}{3}x-1\)

c) \(y=3x\)

d) \(y=5\)

e) \(y=\sqrt{2}-1\)

Hướng dẫn giải

Bài 8 (SBT trang 34)

Vẽ đồ thị hàm số :

                \(y=\left\{{}\begin{matrix}2x-1;\left(x\ge1\right)\\\dfrac{1}{2}x+1;\left(x< 1\right)\end{matrix}\right.\)

Hướng dẫn giải

Điểm \(\left(1;1\right)\) thuộc đồ thị, điểm \(\left(1;\dfrac{3}{2}\right)\) không thuộc đồ thị .

Bài 9 (SBT trang 34)

Viết phương trình đường thẳng song song với đường thẳng \(y=3x-2\) đi qua điểm 

a) \(M\left(2;3\right)\)

b) \(N\left(-1;2\right)\)

Hướng dẫn giải

Các đường thẳng đều có phương trình dạng \(y=ax+b\). Các đường thẳng song song với nhau đều có cùng một hệ số a. Do đó các phương trình của các đường thẳng song song với đường thẳng \(y=3x-2\) đều có hệ số \(a=3\)

a) Phương trình cần tìm có dạng \(y=3x+b\). Vì đường thẳng đi qua điểm \(M\left(2;3\right)\), nên ta có \(3=3.2+b\Leftrightarrow b=-3\)

Vậy phương trình của đường thẳng đó là \(y=3x-3\)

b) \(y=3x+5\)

Bài 10 (SBT trang 34)

Xác định các hệ số a và b để đồ thị của hàm số \(y=ax+b\) đi qua các điểm sau :

a) \(A\left(\dfrac{2}{3};-2\right)\) và \(B\left(0;1\right)\)

b) \(M=\left(-1;-2\right)\) và \(N\left(99;-2\right)\)

c) \(P\left(4;2\right)\) và \(Q\left(1;1\right)\)

Hướng dẫn giải

Để xác định các hệ số a và b ta dựa vào tọa độ các điểm mà đồ thị đi qua, lập hệ phương trình có hai ẩn a và b

a) Vì đồ thị đi qua \(A\left(\dfrac{2}{3};-2\right)\) nên ta có phương trình \(a.\dfrac{2}{3}+b=-2\)

Tương tự, dựa vào tọa độ của \(B\left(0;1\right)\) ta có \(0+b=1\)

Vậy, ta có hệ phương trình :

\(\left\{{}\begin{matrix}\dfrac{2a}{b}+b=-2\\b=1\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-\dfrac{9}{2}\\b=1\end{matrix}\right.\)

b) \(a=0;b=-2\)

c) \(a=\dfrac{1}{3};b=\dfrac{2}{3}\)

Bài 11 (SBT trang 34)

Viết phương trình đường thẳng \(y=ax+b\) ứng với hình sau :

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy đường thẳng \(y=ax+b\) đi qua hai điểm \(\left(0;3\right)\) và \(\left(1;0\right)\). Vậy ta có :

\(\left\{{}\begin{matrix}3=b\\0=a+b\end{matrix}\right.\) \(\Leftrightarrow\left\{{}\begin{matrix}a=-3\\b=3\end{matrix}\right.\)

Đường thẳng có phương trình là \(y=-3x+3\)

b) \(y=-4x\)

c) \(y=x-2\)

Bài 12 (SBT trang 34)

Cho hàm số \(y=\left|-x-3\right|+\left|2x+1\right|+\left|x+1\right|\)

Xét xem điểm nào trong các điểm sau đây thuộc đồ thị của nó ?

a) \(A\left(-1;3\right)\)

b) \(B\left(0;6\right)\)

c) \(C\left(5;-2\right)\)

d) \(D\left(1;10\right)\)

Hướng dẫn giải

Để xét xem một điểm với tọa độ cho trước thuộc đồ thị của hàm số \(y=f\left(x\right)\) hay không ta chỉ cần tính giá trị của hàm số tại hoành độ của điểm đã cho. Nếu giá trị của hàm số tại đó bằng tung độ của điểm đang xét thì điểm đó thuộc đồ thị, còn nếu ngược lại thì điểm đang xét không thuộc đồ thị

a) Với điểm \(A\left(-1;3\right)\). Ta có :

\(\left|-\left(-1\right)-3\right|+\left|2.\left(-1\right)+1\right|+\left|-1+1\right|=2+1+0=3\)

bằng tung độ của điểm A, do đó điểm A thuộc đồ thị

b) Điểm B không thuộc đồ thị

c) Điểm C không thuộc đồ thị

d) Điểm D không thuộc đồ thị

Bài 13 (SBT trang 34)

Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của mỗi hàm số :

a) \(y=\left|2x-3\right|\)

b) \(y=\left|-\dfrac{3}{4}x+1\right|\)

c) \(y=x+\left|x\right|\)

Hướng dẫn giải

a) Ta có thể viết

\(y=\left\{{}\begin{matrix}2x-3;\left(x\ge\dfrac{3}{2}\right)\\-2x+3;\left(x< \dfrac{3}{2}\right)\end{matrix}\right.\)