Hình cầu. Diện tích mặt cầu và thể tích hình cầu.

Lý thuyết

Bài 29 (Sách bài tập - tập 2 - trang 170)

Trong các hình sau đây, hình nào có diện tích lớn nhất ?

(A) Hình tròn có bán kính 2cm

(B) Hình vuông có độ dài cạnh 3,5cm

(C) Tam giác với độ dài các cạnh là 3cm, 4cm, 5cm

(D) Nửa mặt cầu bán kính 4cm

Hướng dẫn giải

Chọn (D)

Bài 32 (Sách bài tập - tập 2 - trang 171)

Hình 105 minh họa :

Hình gồm một nửa hình cầu và một hình nón. 

Thể tích của hình nhận giá trị nào trong các giá trị sau :

(A) \(\dfrac{2}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\)                            (B) \(\pi x^3\left(cm^3\right)\)

(C) \(\dfrac{4}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\)                            (D) \(2\pi x^3\left(cm^3\right)\)

Hướng dẫn giải

Thể tích hình nón là :

\(\dfrac{1}{3}\pi x^2.x=\dfrac{1}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\)

Thể tích một nửa hình cầu là :

\(\left(\dfrac{4}{3}\pi x^3\right):2=\dfrac{2}{3}\pi x^3\left(cm^3\right)\)

Vậy thể tích của hình là :

\(\dfrac{1}{3}\pi x^3+\dfrac{2}{3}\pi x^3=\pi x^3\left(cm^3\right)\)

Chọn (B)

Bài 34 (Sách bài tập - tập 2 - trang 171)

Sử dụng các thông tin và hình 107 để trả lời các câu hỏi sau :

Một đồ chơi "lắc lư" của trẻ em gồm một hình nón gắn với nửa hình cầu (h.107) (chiều cao của hình nón bằng đường kính của đường tròn đáy). Có hai loại đồ chơi : loại thứ nhất cao 9cm, loại thứ hai cao 18cm.

a) Tỉ số :\(\dfrac{V\left(đồchơiloaị1\right)}{V\left(đồchơiloaị2\right)}\) là :

(A) 2                          (B) 4

(C) 8                          (D) 16

Hãy chọn kết quả đúng ?

b) Trong các số sau đây 

(A) 2 (cm)                  (B) 3 (cm)

(C) 4 (cm)                  (D) \(4\dfrac{1}{2}\left(cm\right)\)

Số nào là bán kính đường tròn đáy của đồ chơi loại thứ nhất ?

c) Trong các số sau đây :

(A) \(30\pi\left(cm^3\right)\)                       (B) \(36\pi\left(cm^3\right)\)

(C) \(72\pi\left(cm^3\right)\)                       (D) \(610\pi\left(cm^3\right)\)
Số nào là thể tích của đồ chơi loại thứ nhất ?

 

Hướng dẫn giải

Bài 30 (Sách bài tập - tập 2 - trang 170)

Tam giác đếu ABC có độ dài cạnh là a, ngoại tiếp đường tròn. 

Cho hình quay một vòng xung quanh đường cao AH của tam giác đó (xem hình 104), ta được một hình nón ngoại tiếp một hình cầu. Tính thể tích phần hình nón bên ngoài hình cầu ?

Hướng dẫn giải

Bài 37 (Sách bài tập - tập 2 - trang 173)

Đổ đầy nước vào một dụng cụ để đong có dạng hình nón, sau đó đổ hết lượng nước đó vào một hình trụ có bán kính đáy bằng bán kính đáy của hình nón và chiều cao của hình nón. Việc làm này lặp đi lặp lại cho đến khi hình trụ đó đầy nước thì số lần múc đầy vào hình nón là :

(A) 1                                       (B) 2

(C) 3                                       (D) 4

Hãy chọn kết quả đúng ?

Hướng dẫn giải

\(\left(C\right)\) \(3\)

Bài 39 (Sách bài tập - tập 2 - trang 173)

Với một cái thước dây, liệu có thể xác định được thể tích của một vật thể có dạng hình cầu hay không ?

Hướng dẫn giải

Dùng thước dây tạo ra đường tròn đặt vừa khít hình cầu, như vậy biết được độ dài đường tròn lớn là l từ đó thể tích hình cầu sẽ là \(\dfrac{l^3}{6\pi^2}\)

Bài 27 (Sách bài tập - tập 2 - trang 169)

a) Trong hình 102, cho A là giao điểm của đường tròn \(\left(0;6\right)\) với tia \(90^0\) và kí hiệu là \(A\left(6;90^0\right)\). Tương tự B là giao điểm của đường tròn \(\left(0;3\right)\) với tia \(150^0\) và kí hiệu là \(B\left(3;150^0\right)\). Hãy đánh dấu các điểm  \(C\left(6;210^0\right),D\left(3;30^0\right),E\left(6;330^0\right)\) trên hình 102

b) Nối AB, BC, AD, DE và BD em thấy hình gì ?

Hướng dẫn giải

Bài 33 (Sách bài tập - tập 2 - trang 171)

Một quả bóng hình cầu bên trong một hình lập phương như hình 106 :

a) Tính tỉ số giữa diện tích toàn phần của hình lập phương với diện tích mặt cầu

b) Nếu diện tích mặt cầu là \(7\pi\) \(\left(cm^2\right)\) thì diện tích toàn phần của hình lập phương là bao nhiêu ?

c) Nếu bán kính hình cầu là 4cm thì thể tích phần trống (trong hình hộp ngoài hình cầu) là bao nhiêu ?

Hướng dẫn giải

Ta thấy ngay cạnh của hình lập phương gấp đôi bán kính hình cầu

a) Tỉ số cần tính \(\dfrac{6}{\pi}\)

b) Diện tích toàn phần của hình lập phương là \(42cm^2\)

c) Thể tích cần tính xấp xỉ \(244cm^3\)

Bài 31 (Sách bài tập - tập 2 - trang 171)

Hai hình cầu A và B có các bán kính tương ứng là x và 2x (cm). Tỉ số các thể tích của hai hình cầu này là:

(A) 1 : 2

(B) 1 : 4

(C) 1 : 8

(D) Một kết quả khác

Hãy chọn kết quả đúng ?

Hướng dẫn giải

Thể tích hình cầu A là :

\(\dfrac{4}{3}x^3\pi\left(cm^3\right)\)

Thể tích hình cầu B là :

\(\dfrac{4}{3}\left(2x\right)^3\pi=\dfrac{4}{3}.8x^3\pi\left(cm^3\right)\)

Tỉ số thể tích hai hình cầu A và B là :

\(\dfrac{\dfrac{4}{3}x^3\pi}{\dfrac{4}{3}.8x^3\pi}=\dfrac{1}{8}\)

Vậy chọn (C)

Bài 38 (Sách bài tập - tập 2 - trang 173)

 

Một khối gỗ dạng một hình trụ đứng, bán kính đường tròn đáy là r (cm), chiều cao 2r (cm), người ta khoét rỗng hai nửa hình cầu như hình 109

Như vậy diện tích của khối gỗ là :

(A) \(4\pi r^2\left(cm^2\right)\)                                   (B) \(6\pi r^2\left(cm^2\right)\)

(C) \(8\pi r^2\left(cm^2\right)\)                                   (D) \(10\pi r^2\left(cm^2\right)\)

Hãy chọn kết quả đúng ?

1.  
2.  
3.  
4.  

Hướng dẫn giải

Diện tích cần tính bằng diện tích xung quanh của hình trụ có chiều cao 2r (cm), bán kính đường tròn đáy r (cm) cộng với diện tích mặt cầu bán kính r (cm)

Chọn (C)

Bài 28 (Sách bài tập - tập 2 - trang 170)

Trong nửa hình cầu (h.103) có \(OR=x\left(cm\right);\widehat{TOS}=45^0\)

Độ dài đoạn ST nhận giá trị nào trong các giá trị sau :

(A) \(x\left(cm\right)\)                                (B) \(\sqrt{2}x\left(cm\right)\)

(C) \(\dfrac{x}{\sqrt{2}}\left(cm\right)\)                            (D) \(2x\left(cm\right)\)

Hướng dẫn giải

Từ tam giác vuông TOS, ta có \(ST=\dfrac{x}{\sqrt{2}}\left(cm\right)\)

Vậy ta chọn (C)

Bài 35 (Sách bài tập - tập 2 - trang 172)

Một hình cầu đặt vừa khít vào bên trong một hình trụ như hình 108 (chiều cao của hình trụ bằng độ dài đường kính của hình cầu) thì thể tích của nó bằng \(\dfrac{2}{3}\) thể tích hình trụ. Nếu đường kính của hình cầu là d (cm) thì thể tích của hình trụ là :

(A) \(\dfrac{1}{4}\pi d^3\left(cm^3\right)\)                       (B) \(\dfrac{1}{3}\pi d^3\left(cm^3\right)\)

(C) \(\dfrac{2}{3}\pi d^3\left(cm^3\right)\)                       (D) \(\dfrac{3}{4}\pi d^3\left(cm^3\right)\)

Hãy chọn kết quả đúng ?

 

Hướng dẫn giải

Chọn (A)

Bài 41 (Sách bài tập - tập 2 - trang 173)

Một hình cầu đường kính d(cm) được đặt vào trong một hình trụ có chiều cao là 1,5d (cm) như hình 110

Xét các phân số sau đây :

(A) \(\dfrac{2}{3}\)                (B) \(\dfrac{4}{9}\)                     (C) \(\dfrac{2}{9}\)                          (D) \(\dfrac{1}{3}\)

Đâu là tỉ số \(\dfrac{V_{Cầu}}{V_{Trụ}}\)

Hướng dẫn giải

Chọn (B)

Bài 36 (Sách bài tập - tập 2 - trang 172)

Chọn dưa hấu :

Với hai quả dưa hấu (xem như hai hình cầu ) một to và một nhỏ, tỉ số các đường kính của chúng là 5 : 4, nhưng giá của quả to gấp rưỡi giá của quả nhỏ. Bạn chọn mua quả nào thì lợi hơn ? (xem "chất lượng" của chúng là như nhau)

Hướng dẫn giải

Mua quả to lợi hơn vì tỉ số giữa thể tích của nó với thể tích của quả nhỏ là \(\left(\dfrac{5}{4}\right)^3=\dfrac{125}{64}\) (gần gấp đôi) trong khi đó giá của nó chỉ gấp rưỡi

(Dễ thấy \(\dfrac{125}{64}>\dfrac{3}{2}=\dfrac{96}{64}\) )

Bài 40 (Sách bài tập - tập 2 - trang 173)

Chiều cao của một hình trụ gấp 3 lần bán kính đáy của nó. Tỉ số của thể tích hình trụ này và thể tích của hình cầu có bán kính bằng bán kính đáy của hình trụ là :

(A) \(\dfrac{4}{3}\)                                (B) \(\dfrac{9}{4}\)                                (C) \(\dfrac{3}{1}\)                             (D) \(\dfrac{4}{9}\)

Hãy chọn kết quả đúng ?

Hướng dẫn giải

Chọn (B)