Biến đối đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai (Tiếp theo)

Lý thuyết

Bài 70 (Sách bài tập tập 1 - trang 16)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\dfrac{2}{\sqrt{3}-1}-\dfrac{2}{\sqrt{3}+1}\)

b) \(\dfrac{5}{12\left(2\sqrt{5}+3\sqrt{2}\right)}-\dfrac{5}{12\left(2\sqrt{5}-3\sqrt{2}\right)}\)

c) \(\dfrac{5+\sqrt{5}}{5-\sqrt{5}}+\dfrac{5-\sqrt{5}}{5+\sqrt{5}}\)

d) \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}}-1}-\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}}+1}\)

Hướng dẫn giải

d) \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}}-1}\) - \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{\sqrt{3+1}}+1}\)

= \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1}\) - \(\dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}+1}\) = \(\dfrac{\sqrt{3}\left(\sqrt{2}+1\right)-\sqrt{3}\left(\sqrt{2}-1\right)}{\left(\sqrt{2}-1\right)\left(\sqrt{2}+1\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{6}+\sqrt{3}-\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2-1}\) = \(2\sqrt{3}\)

Bài 76 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Trục căn thức ở mẫu :

a) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}\)

b) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{3}+2}\)

Hướng dẫn giải

a) \(\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}+1}\) = \(\dfrac{\sqrt{3}+1-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+1+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{2}\right)}\)

= \(\dfrac{\sqrt{3}+1-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+1\right)^2-2}=\dfrac{\left(\sqrt{3}+1-\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}{2\left(\sqrt{3}+1\right)\left(\sqrt{3}-1\right)}\)

= \(\dfrac{3-\sqrt{3}+\sqrt{3}-1-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2\left(3-1\right)}\) = \(\dfrac{2-\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}\)

b) \(\dfrac{1}{\sqrt{5}+2-\sqrt{3}}=\dfrac{\sqrt{5}+2+\sqrt{3}}{\left(\sqrt{5}+2\right)^2-3}\) = \(\dfrac{\sqrt{5}+\sqrt{3}+2}{4\sqrt{5}+6}\)

= \(\dfrac{\left(\sqrt{5}+\sqrt{3}+2\right)\left(4\sqrt{5}-6\right)}{\left(4\sqrt{5}+6\right)\left(4\sqrt{5}-6\right)}\) = \(\dfrac{20-6\sqrt{5}+4\sqrt{15}-6\sqrt{3}+8\sqrt{5}-12}{\left(4\sqrt{5}\right)^2-36}\)

= \(\dfrac{8+2\sqrt{5}-6\sqrt{3}+4\sqrt{15}}{44}\) = \(\dfrac{2\left(4+\sqrt{5}-3\sqrt{3}+2\sqrt{15}\right)}{2\left(22\right)}\)

= \(\dfrac{4+\sqrt{5}-3\sqrt{3}+2\sqrt{15}}{22}\)

Bài 71 (Sách bài tập tập 1 - trang 16)

Chứng minh đẳng thức :

\(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) với n là số tự nhiên

Hướng dẫn giải

Ta có: \(\left(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}\right)\left(\sqrt{n+1}+\sqrt{n}\right)=\left(\sqrt{n+1}\right)^2-\left(\sqrt{n}\right)^2=n+1-n=1\) \(\Leftrightarrow\) \(\sqrt{n+1}-\sqrt{n}=\dfrac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{n}}\) với n là số tự nhiên

Bài 74 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Rút gọn :

\(\dfrac{1}{\sqrt{1}-\sqrt{2}}-\dfrac{1}{\sqrt{2}-\sqrt{3}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}-\sqrt{4}}-\dfrac{1}{\sqrt{4}-\sqrt{5}}+\dfrac{1}{\sqrt{5}-\sqrt{6}}-\dfrac{1}{\sqrt{6}-\sqrt{7}}+\dfrac{1}{\sqrt{7}-\sqrt{8}}-\dfrac{1}{\sqrt{8}-\sqrt{9}}\)

Hướng dẫn giải

\(A=-\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{2}+\sqrt{3}-\sqrt{3}-\sqrt{4}+....-\sqrt{7}-\sqrt{8}+\sqrt{8}+\sqrt{9}\)

\(A=\sqrt{9}-\sqrt{1}=3-1=2\)

Bài 78 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Tìm tập hợp các giá trị \(x\) thỏa mãn điều kiện sau và biểu diễn tập hợp đó trên trục số :

a) \(\sqrt{x-2}\ge3\)

b) \(\sqrt{3-2x}\le\sqrt{5}\)

Hướng dẫn giải

Bài 7.1 Bài tập bổ sung (Sách bài tập tập 1 - trang 18)

Với \(x< 0;y< 0\), biểu thức \(x\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}\) được biến đổi thành

(A) \(\dfrac{x}{y^2}\sqrt{xy}\)                     (B) \(\dfrac{x}{y}\sqrt{xy}\)                  (C) \(-\dfrac{x}{y}\sqrt{xy}\)                      (D) \(-\dfrac{x}{y}\sqrt{xy}\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

x\(\sqrt{\dfrac{x}{y^3}}\)=x\(\sqrt{\dfrac{xy}{y^4}}\)=x\(\sqrt{\dfrac{xy}{\left(y^2\right)^2}}\)=\(\dfrac{x}{y^2}\sqrt{xy}\)(y²>0)

vậy (A) là đáp án đúng.

Bài 68 (Sách bài tập tập 1 - trang 16)

Khử mẫu của mỗi biểu thức lấy căn và rút gọn (nếu được)

a) \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}\)

b) \(\sqrt{\dfrac{x^2}{5}}\) với \(x\ge0\)

c) \(\sqrt{\dfrac{3}{x}}\) với \(x>0\)

d) \(\sqrt{x^2-\dfrac{x^2}{7}}\) với \(x< 0\)

Hướng dẫn giải

a. \(\sqrt{\dfrac{2}{3}}=\sqrt{\dfrac{2.3}{3^2}}=\dfrac{1}{3}.\sqrt{6}\)

b. \(\sqrt{\dfrac{x^2}{5}}=\sqrt{\dfrac{5x^2}{5^2}}=\dfrac{x}{5}.\sqrt{5}\) (vì x \(\ge\) 0)

c. \(\sqrt{\dfrac{3}{x}}=\sqrt{\dfrac{3.x}{x^2}}=\dfrac{1}{x}.\sqrt{3x}\) (vì x > 0)

d. \(\sqrt{x^2-\dfrac{x^2}{7}}=\sqrt{\dfrac{6x^2}{7}}=\sqrt{\dfrac{6x^2.7}{7.7}}=\sqrt{\dfrac{42.x^2}{7^2}}=-\dfrac{x}{7}.\sqrt{42}\) (vì x < 0)

Bài 75 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Rút gọn các biểu thức :

a) \(\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}\) với \(x\ge0;y\ge0;x\ne y\)

b) \(\dfrac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}\) với \(x\ge0\)

Hướng dẫn giải

a) ta có : \(\dfrac{x\sqrt{x}-y\sqrt{y}}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=\dfrac{\left(\sqrt{x}-\sqrt{y}\right)\left(x+\sqrt{xy}+y\right)}{\sqrt{x}-\sqrt{y}}=x+\sqrt{xy}+y\)

b) ta có : \(\dfrac{x-\sqrt{3x}+3}{x\sqrt{x}+3\sqrt{3}}=\dfrac{x-\sqrt{3x}+3}{\left(\sqrt{x}+\sqrt{y}\right)\left(x-\sqrt{3x}+3\right)}=\dfrac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\)

Bài 77 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Tìm \(x\), biết :

a) \(\sqrt{2x+3}=1+\sqrt{2}\)

b) \(\sqrt{10+\sqrt{3}x}=2+\sqrt{6}\)

c) \(\sqrt{3x-2}=2-\sqrt{3}\)

d) \(\sqrt{x+1}=\sqrt{5}-3\)

Hướng dẫn giải

Bài 73 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

So sánh (không dùng bảng số hay máy tính bỏ túi)

          \(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}\) với \(\sqrt{2004}-\sqrt{2003}\)

Hướng dẫn giải

Ta có

\(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}=\dfrac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}\)

và \(\sqrt{2004}-\sqrt{2003}=\dfrac{1}{\sqrt{2004+\sqrt{2003}}}\)

Quy về so sánh

\(\dfrac{1}{\sqrt{2005}+\sqrt{2004}}\) với \(\dfrac{1}{\sqrt{2004}+\sqrt{2003}}\)

Khi đó ,ta thấy ngay ở biểu thức thứ nhất lớn hơn mẫu ở biểu thức thứ hai ,các số này đều dương nên suy ra

\(\sqrt{2005}-\sqrt{2004}< \sqrt{2004}-\sqrt{2003}\)

Bài 79 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Cho các số \(x\) và \(y\) có dạng :

\(x=a_1\sqrt{2}+b_1\) và \(y=a_2\sqrt{2}+b_2\)

trong đó \(a_1,a_2,b_1,b_2\) là các số hữu tỉ. Chứng minh 

a) \(x+y\) và \(x.y\) cũng có dạng \(a\sqrt{2}+b\) với a và b là số hữu tỉ

b) \(\dfrac{x}{y}\) với \(y\ne0\) cũng có dạng \(a\sqrt{2}+b\) với a và b là số hữu tỉ

Hướng dẫn giải

a)ta có :x+y=a₁\(\sqrt{2}\)+b₁+a₂\(\sqrt{2}\)+b₂=(a₁+a₂)\(\sqrt{2}\)+b₁+b₂

mặt khác, ta lại có a₁,a₂,b₁,b₂ là những số hữu tỉ nên (a₁+a₂);(b₁+b₂) cũng là những số hữu tỉ

=>biểu thức x+y cũng được viết dưới dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ.

ta xét tích x.y=(a₁\(\sqrt{2}\)+b₁)(a₂\(\sqrt{2}\)+b₂)=2a₁.a₂+a₁.b₂\(\sqrt{2}\)+b₁.a₂.\(\sqrt{2}\)+b₁.b₂₌(a₁b₂+b₁a₂)\(\sqrt{2}\)+(2a₁a₂+b₁b₂)

vì a₁,a₂,b₁,b₂ là những số hữu tỉ nên các tích a₁a₂;b₁b₂;a₁b₂;a₂b₁ là những số hữu tỉ nên x.y cững có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a,b là số hữu tỉ

b) xét thương \(\dfrac{x}{y}\)=\(\dfrac{a_1\sqrt{2}+b_1}{a_2\sqrt{2}+b_2}=\dfrac{\left(a_1\sqrt{2}+b_1\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}{\left(a_2\sqrt{2}+b_2\right)\left(a_2\sqrt{2}-b_2\right)}\)

=\(\dfrac{2a_1a_2-a_1b_2\sqrt{2}+a_2b_1\sqrt{2}-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)=\(\dfrac{\left(a_2b_1-a_1b_2\right)\sqrt{2}}{2a_2^2-b_2^2}+\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)

vì a_1,b₁,a_2,b₂ là những số hữu tỉ nên a₁b_2;a₁a₂;b₁b₂;a₂b₁ cũng là những số hữu tỉ hay \(\dfrac{a_2b_1-a_1b_2}{2a_2^2-b_2^2};\dfrac{2a_1a_2-b_1b_2}{2a_2^2-b_2^2}\)cũng là những số hữu tỉ nên \(\dfrac{x}{y}\) cũng có dạng a\(\sqrt{2}\)+b với a và b là những số hữu tỉ

Bài 7.2 Bài tập bổ sung (Sách bài tập tập 1 - trang 18)

Giá trị của \(\dfrac{6}{\sqrt{7}-1}\) bằng :

(A) \(\sqrt{7}-1\)                     (B) \(1-\sqrt{7}\)           (C) \(-\sqrt{7}-1\)              (D) \(\sqrt{7}+1\)

Hãy chọn đáp án đúng ?

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{6}{\sqrt{7}-1}\)=\(\dfrac{6\left(\sqrt{7}+1\right)}{\left(\sqrt{7}-1\right)\left(\sqrt{7}+1\right)}\)=\(\dfrac{6\left(\sqrt{7}+1\right)}{6}=\sqrt{7}+1\)

vậy đáp án (D) đúng.

Bài 72 (Sách bài tập tập 1 - trang 17)

Xác định giá trị biểu thức sau theo cách thích hợp

             \(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}}+\dfrac{1}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{4}+\sqrt{3}}\\ =\dfrac{\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}{\left(\sqrt{2}+\sqrt{1}\right)\left(\sqrt{2}-\sqrt{1}\right)}+\dfrac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}+\dfrac{\sqrt{4}-\sqrt{3}}{\left(\sqrt{4}+\sqrt{3}\right)\left(\sqrt{4}-\sqrt{3}\right)}\\ =\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{1}+\sqrt{3}-\sqrt{2}+\sqrt{4}-\sqrt{3}}{1}=2-1=1\)

Bài 69 (Sách bài tập tập 1 - trang 16)

Trục căn thức ở mẫu và rút gọn (nếu được)

a) \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}\)

b) \(\dfrac{26}{5-2\sqrt{3}}\)

c) \(\dfrac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}\)

d) \(\dfrac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}\)

Hướng dẫn giải

a. \(\dfrac{\sqrt{5}-\sqrt{3}}{\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{2}\left(\sqrt{5}-\sqrt{3}\right)}{\sqrt{2}.\sqrt{2}}=\dfrac{\sqrt{10}-\sqrt{6}}{2}\)

b. \(\dfrac{26}{5-2\sqrt{3}}=\dfrac{26\left(5+2\sqrt{3}\right)}{\left(5+2\sqrt{3}\right)\left(5-2\sqrt{3}\right)}=\dfrac{26\left(5+2\sqrt{3}\right)}{13}=2\left(5+2\sqrt{3}\right)=10+4\sqrt{3}\)

c. \(\dfrac{2\sqrt{10}-5}{4-\sqrt{10}}=\dfrac{\left(2\sqrt{10}-5\right)\left(4+\sqrt{10}\right)}{\left(4-\sqrt{10}\right)\left(4+\sqrt{10}\right)}=\dfrac{3\sqrt{10}}{6}=\dfrac{\sqrt{10}}{2}\)

d. \(\dfrac{9-2\sqrt{3}}{3\sqrt{6}-2\sqrt{2}}=\dfrac{\left(9-2\sqrt{3}\right)\left(3\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)}{\left(3\sqrt{6}-2\sqrt{2}\right)\left(3\sqrt{6}+2\sqrt{2}\right)}=\dfrac{23\sqrt{6}}{46}=\dfrac{\sqrt{6}}{2}\)