Tính chất cơ bản của phân thức

Lý thuyết

Bài 2.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 26)

Dùng tính chấ cơ bản của phân thức chứng tỏ rằng các cặp phân thức sau bằng nhau :

a) \(\dfrac{x^2+3x+2}{3x+6}\) và \(\dfrac{2x^2+x-1}{6x-3}\)

b) \(\dfrac{15x-10}{3x^2+3x-\left(2x+2\right)}\) và \(\dfrac{5x^2-5x+5}{x^3+1}\)

Hướng dẫn giải

a ) \(\dfrac{x^2+3x+2}{3x+6}=\dfrac{\left(x+1\right)\left(x+2\right)}{3\left(x+2\right)}=\dfrac{x+1}{3}\) (1)

\(\dfrac{2x^2+x-1}{6x-3}=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(x+1\right)}{3\left(2x-1\right)}=\dfrac{x+1}{3}\) (2)

Từ (1) ; (2) \(\Rightarrow\dfrac{x^2+3x+2}{3x+6}=\dfrac{2x^2+x-1}{6x-3}\) (đpcm)

b ) \(\dfrac{15x-10}{3x^2+3x-\left(2x+2\right)}=\dfrac{5\left(3x-2\right)}{\left(3x-2\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{5}{x+1}\) (3)

\(\dfrac{5x^2-5x+5}{x^3+1}=\dfrac{5\left(x^2-x+1\right)}{\left(x+1\right)\left(x^2-x+1\right)}=\dfrac{5}{x+1}\) (4)

Từ (3) và (4) \(\Rightarrow\dfrac{15x-10}{3x^2+3x-\left(2x+2\right)}=\dfrac{5x^2-5x+5}{x^3+1}\) (đpcm)

Bài 2.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 26)

Biến đổi mỗi phân thức sau thành phân thức có mẫu thức là \(x^2-9\)

                      \(\dfrac{3x}{x+3};\dfrac{x-1}{x-3};x^2+9\)

Hướng dẫn giải

\(\dfrac{3x}{x+3}=\dfrac{3x\left(x-3\right)}{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{3x^2-9x}{x^2-9}\)

\(\dfrac{x-1}{x-3}=\dfrac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x^2+2x-3}{x^2-9}\)

\(x^2+9=\dfrac{\left(x^2+9\right)\left(x^2-9\right)}{x^2-9}=\dfrac{x^4-81}{x^2-9}\)

Bài 2.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 25)

Hãy điền vào chỗ trống một đa thức thích hợp để được đẳng thức :

a) \(\dfrac{x+5}{3x-2}=\dfrac{.......}{x\left(3x-2\right)}\)

b) \(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{\left(2x-1\right).....}{8x+4}\)

c) \(\dfrac{2x\left(......\right)}{x^2-4x+4}=\dfrac{2x}{x-2}\)

d) \(\dfrac{5x^2+10x}{\left(x-2\right)......}=\dfrac{5x}{x-2}\)

Hướng dẫn giải

a)\(\dfrac{x+5}{3x-2}=\dfrac{x\left(x+5\right)}{x\left(3x-2\right)}\) b)\(\dfrac{2x-1}{4}=\dfrac{\left(2x-1\right)\left(2x+1\right)}{8x+4}\) c)\(\dfrac{2x\left(x-2\right)}{x^2-4x+4}=\dfrac{2x}{x-2}\) d) \(\dfrac{5x^2+10x}{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}=\dfrac{5x}{x-2}\)

Bài 5 (Sách bài tập - trang 25)

Biến đổi mỗi phân thức sau thành một phân thúc bằng nó và có tử thức là đa thức A cho trước :

a) \(\dfrac{4x+3}{x^2-5},A=12x^2+9x\)

b) \(\dfrac{8x^2-8x+2}{\left(4x-2\right)\left(15-x\right)},A=1-2x\)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (Sách bài tập - trang 25)

Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức :

a) \(\dfrac{3x}{x-5}\) và \(\dfrac{7x+2}{5-x}\)

b) \(\dfrac{4x}{x+1}\) và \(\dfrac{3x}{x-1}\)

c) \(\dfrac{2}{x^2+8x+16}\) và \(\dfrac{x-4}{2x+8}\)

d) \(\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\) và \(\dfrac{x+3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

Hướng dẫn giải

Bài 7:(Sbt/25) Dùng tính chất cơ bản của phân thức hoặc quy tắc đổi dấu để biến mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng mẫu thức :

a. \(\dfrac{3x}{x-5}\) và \(\dfrac{7x+2}{5-x}\)

Ta có:

\(\dfrac{3x}{x-5}=\dfrac{-\left(3x\right)}{-\left(x-5\right)}=\dfrac{-3x}{5-x}\)

\(\dfrac{7x+2}{5-x}\)

Vậy .....

b.\(\dfrac{4x}{x+1}\) và \(\dfrac{3x}{x-1}\)

Ta có:

\(\dfrac{4x}{x+1}=\dfrac{4x\left(x-1\right)}{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}=\dfrac{4x^2-4x}{x^2-1}\)

\(\dfrac{3x}{x-1}=\dfrac{3x\left(x+1\right)}{\left(x-1\right)\left(x+1\right)}=\dfrac{3x^2+3x}{x^2-1}\)

Vậy ..........

c. \(\dfrac{2}{x^2+8x+16}\) và \(\dfrac{x-4}{2x+8}\)

Ta có:

\(\dfrac{2}{x^2+8x+16}=\dfrac{4}{2\left(x+4\right)^2}\)

\(\dfrac{x-4}{2x+8}=\dfrac{\left(x-4\right)\left(x+4\right)}{2\left(x+4\right)\left(x+4\right)}=\dfrac{x^2-16}{2\left(x+4\right)^2}\)

Vậy .........

d. \(\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}\) và \(\dfrac{x+3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}\)

Ta có:

\(\dfrac{2x}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{2x\left(x-2\right)}{\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{2x^2-4x}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

\(\dfrac{x+3}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)}=\dfrac{\left(x+3\right)\left(x-3\right)}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}=\dfrac{x^2-9}{\left(x+1\right)\left(x-2\right)\left(x-3\right)}\)

Vậy .........

Bài 6 (Sách bài tập - trang 25)

Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức :

a) \(\dfrac{3}{x+2}\) và \(\dfrac{x-1}{5x}\)

b) \(\dfrac{x+5}{4x}\) và \(\dfrac{x^2-25}{2x+3}\)

Hướng dẫn giải

Bài 6:(Sbt/25) Dùng tính chất cơ bản của phân thức để biến đổi mỗi cặp phân thức sau thành một cặp phân thức bằng nó và có cùng tử thức :

a) \(\dfrac{3}{x+2}\)và\(\dfrac{x-1}{5x}\)

Ta có:

\(\dfrac{3}{x+2}\) = \(\dfrac{3.\left(x-1\right)}{\left(x+2\right)\left(x-1\right)}\) = \(\dfrac{3x-3}{x^2+x-2}\)

\(\dfrac{x-1}{5x}\) = \(\dfrac{\left(x-1\right).3}{5x.3}\) =\(\dfrac{3x-3}{15x}\)

Vậy .....

b. \(\dfrac{x+5}{4x}\) và \(\dfrac{x^2-25}{2x+3}\)

Ta có:

\(\dfrac{x+5}{4x}\) = \(\dfrac{\left(x+5\right)\left(x-5\right)}{4x.\left(x-5\right)}\) = \(\dfrac{x^2-25}{4x^2-20x}\)

\(\dfrac{x^2-25}{2x+3}\)

Vậy .....

Bài 8 (Sách bài tập - trang 25)

Cho hai phân thức \(\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C}{D}\)

Chứng minh rằng :

Có vô số cặp phân thức cùng mẫu, có dạng \(\dfrac{A'}{E}\) và \(\dfrac{C'}{E}\) thỏa mãn điều kiện \(\dfrac{A'}{E}=\dfrac{A}{B}\) và \(\dfrac{C'}{E}=\dfrac{C}{D}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4 (Sách bài tập - trang 25)

Dùng tính chất cơ bảm của phân thức, hãy điền một đa thức thích hợp vào các chỗ trống trong mỗi đẳng thức sau :

a) \(\dfrac{x-x^2}{5x^2-5}=\dfrac{x}{.........}\)

b) \(\dfrac{x^2+8}{2x-1}=\dfrac{3x^3+25x}{..........}\)

c) \(\dfrac{............}{x-y}=\dfrac{3x^2-3xy}{3\left(y-x\right)^2}\)

d) \(\dfrac{-x^2+2xy-y^2}{x+y}=\dfrac{.........}{y^2-x^2}\)

Hướng dẫn giải