Mở đầu về phương trình

Lý thuyết

Bài 9 (Sách bài tập - tập 2 - trang 6)

Cho phương trình :

            \(\left(m^2+5m+4\right)x^2=m+4\)

trong đó m là một số. Chứng minh rằng :

a) Khi \(m=-4\), phương trình nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn

b) Khi \(m=-1\), phương trình vô nghiệm

c) Khi \(m=-2\) hoặc \(m=-3\), phương trình cũng vô nghiệm

d) Khi \(m=0\), phương trình nhận \(x=1;x=-1\) là nghiệm

 

Hướng dẫn giải

a) Khi \(m=-4\) phương trình trở thành:

\(\left[\left(-4\right)^2+5.\left(-4\right)+4\right]x^2=-4+4\)

\(\Leftrightarrow0.x^2=0\)

Đúng với mọi x.

b) Khi \(m=-1\) phương trình trở thành:

\(\left[\left(-1\right)^2+5.\left(-1\right)+4\right]x^2=-1+4\)

\(\Leftrightarrow0.x^2=3\)

Phương trình vô nghiệm.

c) Khi \(m=-2\) phương trình trở thành:

\(\left[\left(-2\right)^2+5.\left(-2\right)+4\right]x^2=-2+4\)

\(\Leftrightarrow-2.x^2=2\)

\(\Leftrightarrow x^2=-1\)

Phương trình này cũng vô nghiệm.

Khi \(m=-3\) phương trình trở thành:

\(\left[\left(-3\right)^2+5.\left(-3\right)+4\right]x^2=-3+4\)

\(\Leftrightarrow-2x^2=1\)

\(\Leftrightarrow x^2=-\dfrac{1}{2}\)

Phương trình cũng vô nghiệm.

d) Khi \(m=0\) phương trình trở thành:

\(\left[0^2+5.0+4\right]x^2=0+4\)

\(\Leftrightarrow4x^2=4\)

\(\Leftrightarrow x^2=1\)

Phương trình có hai nghiệm là \(x=1,x=-1\).

Bài 4 (Sách bài tập - tập 2 - trang 5)

Trong một của hàng bán thực phẩm, Tâm thấy cô bán hàng dùng một chiếc cân đĩa. Một bên đĩa cô đặt 1 quả cân 500g, bên đĩa kia cô đặt hai gói hàng như nhau và 3 qua cân nhỏ, mỗi qua 50g thì cân thăng bằng. Nếu khối lượng mỗi gói hàng là x (gam) thì điều đó có thể được mô tả bởi phương trình nào ?

Hướng dẫn giải

Theo đề bài , ta có phương trình : 2x + 150 = 500

\(\Leftrightarrow2x=500-150\)

\(\Leftrightarrow2x=350\)

\(\Leftrightarrow x=175\)

Bài 8 (Sách bài tập - tập 2 - trang 6)

Chứng minh phương trình \(x+\left|x\right|=0\) nghiệm đúng với mọi \(x\le0\) ?

Hướng dẫn giải

Nếu x \(\le0\) thì \(\left|x\right|=-x\)

\(\Rightarrow x+\left|x\right|=x-x=0\)

Vậy với mọi số \(x\le0\) đều nghiệm đúng phương trình .

Bài 1 (Sách bài tập - tập 2 - trang 5)

Trong các số \(-2;-1,5;-1;0,5;\dfrac{2}{3};2;3\) số nào là nghiệm của mỗi phương trình sau :

a) \(y^2-3-2y\)

b) \(t+3=2-t\)

c) \(\dfrac{3x-4}{2}+1=0\)

Hướng dẫn giải

Lần lượt thay các giá trị trên vào các biểu thức ta được

a) Phương trình có 2 nghiệm là -1 và 3

b) Phương trình có nghiệm là 0,5

c) Phương trình có nghiệm là \(\dfrac{2}{3}\)

Bài 2 (Sách bài tập - tập 2 - trang 5)

Hãy thử lại và cho viết các khẳng định sau đây có đúng không ?

a) \(x^3+3x=2x^2-3x+1\Leftrightarrow x=-1\)

b) \(\left(z-2\right)\left(z^2+1\right)=2z+5\Leftrightarrow z=3\)

Hướng dẫn giải

a) Thay x=-1 vào 2 vế của phương trình trên , ta được :

\(VT=\left(-1\right)^3+3.\left(-1\right)=-4\left(1\right)\)

\(VP=2.\left(-1\right)^2-3.\left(-1\right)+1=6\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ne VP\)

* Vậy x = -1 không phải là nghiệm của phương trình trên .

b) Thay z=3 vào 2 vế của phương trình trên , ta được :

\(VT=\left(3-2\right)\left(3^2+1\right)=10\left(1\right)\)

\(VP=2.3+5=11\left(2\right)\)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT\ne VP\)

* Vậy z=3 không phải là nghiệm của phương trình trên .

Bài 3 (Sách bài tập - tập 2 - trang 5)

Cho ba biểu thức :

                 \(5x-3;x^2-3x+12\) và \(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\)

a) Lập ba phương trình, mỗi phương trình có hai vế là hai trong ba biểu thức đã cho

b) Hãy tính giá trị của các biểu thức đã cho khi \(x\) nhận tất cả các giá trị thuộc tập hợp \(M=\left\{x\in\mathbb{Z}\backslash-5\le x\le5\right\}\), điền vào bảng sau rồi cho biết mỗi phương trình ở câu a) có những nghiệm nào trong tập hợp \(\text{M}\) :

\(x\)	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
\(5x-3\)
\(x^2-3x+12\)
\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)\)

 

Hướng dẫn giải

a) Ta có :

\(5x-3=x^2-3x+12\left(1\right)\)

\(x^2-3x+12=\left(x+1\right)\left(x-3\right)\left(2\right)\)

\(\left(x+1\right)\left(x-3\right)=5x-3\left(3\right)\)

b) Lập bảng :

x	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2	3	4	5
5x - 3	-28	-23	-18	-13	-8	-3	2	7	12	17	22
\(x^2-3x+12\)	52	40	30	22	16	12	10	10	12	16	22
(x+1)(x-3)	32	21	12	5	0	-3	-4	-3	0	5	12

Từ bảng trên , ta có :

- Phương trình (1) có có tập nghiệm là \(S=\left\{3;5\right\}\)

- Phương trình (2) vô nghiệm \(S=\varnothing\)

- Phương trình (3) có tập nghiệm là \(S=\left\{0\right\}\)

Bài 6 (Sách bài tập - tập 2 - trang 6)

Cho hai phương trình :

                     \(x^2-5x+6=0\)                  (1)

                     \(x+\left(x-2\right)\left(2x+1\right)=2\)   (2)

a) Chứng minh rằng hai phương trình có nghiệm chung là \(x=2\)

b) Chứng minh rằng \(x=3\) là nghiệm của (1) nhưng không là nghiệm của (2)

c) Hai phương trình đã cho có tương đương với nhau không ? Vì sao ?

Hướng dẫn giải

a) Thử trực tiếp hoặc chịu khó phân tích thành nhân tử

từ đó ta kết luận 2 là nghiệm của 2 PT

b) Ta thay x=3 vào 2 PT

Thay x=3 là nghiệm của PT 1

x= 3 không là nghiệm của PT 2

c) hai phương trình không tương đương nhau vì x=3 không là nghiệm của PT 2

Bài 5 (Sách bài tập - tập 2 - trang 6)

Thử lại rằng phương trình \(2mx-5=-x+6m-2\) luôn nhận \(x=3\) làm nghiệm, dù m lấy bất cứ giá trị nào ?

Hướng dẫn giải

Thay x = 3 vào 2 vế của phương trình \(2mx-5=-x+6m-2\) ta được :

VT = 2m.3 - 5 = 6m - 5 (1)

VP = -3 +6m - 2 = 6m - 5 (2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow VT=VP\)

* Vậy x=3 luôn là nghiệm của phương trình trên dù m lấy bất cứ giá trị nào .

Bài 7 (Sách bài tập - tập 2 - trang 6)

Tại sao có thể kết luận tập nghiệm của phương trình :

           \(\sqrt{x}+1=2\sqrt{-x}\) là \(\varnothing\) ?

 

Hướng dẫn giải

Khi x=0 ta được : \(\sqrt{0}+1\ne2\sqrt{-0}\)

Khi x < 0 thì \(\sqrt{x}\) không xác định .

Khi x > 0 thì \(\sqrt{-x}\) không xác định .

* Vậy trong mọi trường hợp , không có giá trị nào của ẩn nghiệm đúng với phương trình \(\sqrt{x}+1=2\sqrt{-x}\)