Biến đổi các biểu thức hữu tỉ. Giá trị của phân thức

Lý thuyết

Bài 46 (Sách bài tập - trang 36)

Tìm điều kiện của biến để giá trị của phân thức xác định :

a) \(\dfrac{5x^2-4x+2}{20}\)

b) \(\dfrac{8}{x+2004}\)

c) \(\dfrac{4x}{3x-7}\)

d) \(\dfrac{x^2}{x+z}\)

Hướng dẫn giải

a, Do mẫu thức \(20\ne0\) với mọi x, suy ra phân thức trên xác định với mọi \(x\in R\)

b, Để phân thức \(\dfrac{8}{x+2004}\) xác định \(\Rightarrow x+2004\ne0\Rightarrow x\ne2004\)

c, Để phân thức \(\dfrac{4x}{3x-7}\) xác định\(\Rightarrow3x-7\ne0\Rightarrow x\ne\dfrac{7}{3}\)

d, Để phân thức \(\dfrac{x^2}{x+z}\) xác định\(\Rightarrow x+z\ne0\Rightarrow x\ne z\)

Bài 48 (Sách bài tập - trang 37)

Có bạn nói rằng phân thức :

                    \(\dfrac{2x}{2x-2};\dfrac{1}{x^2-2x+1};\dfrac{5x^3}{\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)}\)

có cùng điền kiện của biến x. Điều đó đúng hay sai ?

Hướng dẫn giải

\(2x-2\ne0\) khi \(x\ne1;x^2-2x+1=\left(x-1\right)^2\ne0\) khi \(x\ne1,\left(x-1\right)\left(x^2+1\right)\ne0\) khi \(x\ne1\). Vậy biến \(x\) trong ba phân thức này có cùng một điều kiện \(x\ne1\) là đúng.

Bài 54 (Sách bài tập - trang 37)

Cho biểu thức :

                \(\dfrac{x^2+2x}{2x+10}+\dfrac{x-5}{x}+\dfrac{50-5x}{2x\left(x+5\right)}\)

a) Tìm điều kiện của biến x để giá trị của biểu thức được xác định

b) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng 1

c) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng \(-\dfrac{1}{2}\)

d) Tìm giá trị của x để giá trị của biểu thức bằng \(-3\)

 

Hướng dẫn giải

Bài 45 (Sách bài tập - trang 36)

Thực hiện các phép tính sau :

a) \(\left(\dfrac{5x+y}{x^2-5xy}+\dfrac{5x-y}{x^2+5xy}\right).\dfrac{x^2-25y^2}{x^2+y^2}\)

b) \(\dfrac{4xy}{y^2-x^2}:\left(\dfrac{1}{x^2+2xy+y^2}-\dfrac{1}{x^2-y^2}\right)\)

c) \(\left[\dfrac{1}{\left(2x-y\right)^2}+\dfrac{2}{4x^2-y^2}+\dfrac{1}{\left(2x+y\right)^2}\right].\dfrac{4x^2+4xy+y^2}{16x}\)

d) \(\left(\dfrac{2}{x+2}-\dfrac{4}{x^2+4x+4}\right):\left(\dfrac{2}{x^2-4}+\dfrac{1}{2-x}\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 55 (Sách bài tập - trang 38)

Tìm x, biết :

a) \(\dfrac{2x+1}{x^2-2x+1}-\dfrac{2x+3}{x^2-1}=0\)

b) \(\dfrac{3}{x-3}-\dfrac{6x}{9-x^2}+\dfrac{x}{x+3}=0\)

Hướng dẫn giải

Bài 9.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 39)

Biết rằng \(Q=\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}=\dfrac{\left(x-3\right)^2}{\left(x-3\right)\left(x+3\right)}=\dfrac{x-3}{x+3}\)

Hãy tính giá trị của biểu thức Q. Câu trả lời nào sau đây sai ?

(A) Giá trị của Q tại \(x=4\) là \(\dfrac{4-3}{4+3}=\dfrac{1}{7}\)

(B) Giá trị của Q tại \(x=1\) là \(\dfrac{1-3}{1+3}=-\dfrac{1}{2}\)

(C) Giá trị của Q tại \(x=3\) là \(\dfrac{3-3}{3+3}=0\)

(D) Giá trị của Q tại \(x=3\) không xác định

Hướng dẫn giải

Câu trả lời sai là:

(C) Giá trị của Q tại \(x=3\) là \(\dfrac{3-3}{3+3}=0\)

Do ĐKXĐ của phương trình

\(Q=\dfrac{x^2-6x+9}{x^2-9}\) là \(x\ne\pm3\)

Bài 49 (Sách bài tập - trang 37)

a) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác các số nguyên lẻ lớn hơn 5 và nhỏ hơn 10

b) Tìm một phân thức (một biến) mà giá trị của nó được xác định với mọi giá trị của biến khác \(\pm\sqrt{2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 53 (Sách bài tập - trang 37)

Đố :

Đố em tìm được giá trị của phân thức \(\dfrac{4x^2-4x^3+x^4}{x^3-2x^2}\) bằng 

a) -2

b) 2

c) 0

Hướng dẫn giải

Bài 9.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - trang 39)

Với mỗi biểu thức sau, hãy tìm giá trị của x để giá trị tương ứng của biểu thức bằng 1:

a) \(\dfrac{1+x^2+\dfrac{1}{x}}{2+\dfrac{1}{x}}\)

b) \(\dfrac{1+x^2-\dfrac{4}{x+1}}{2-\dfrac{4}{x+1}}\)

Hướng dẫn giải

Bài 57 (Sách bài tập - trang 38)

Tìm giá trị nguyên của biến x để tại đó giá trị của mỗi biểu thức sau là một số nguyên ?

a) \(\dfrac{2}{x-3}\)

b) \(\dfrac{3}{x+2}\)

c) \(\dfrac{3x^3-4x^2+x-1}{x-4}\)

d) \(\dfrac{3x^2-x+1}{3x+2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 50 (Sách bài tập - trang 37)

Đố :

Đố em tìm được một cặp phân thức của biến x mà giá trị của phân thức này bằng 0 thì giá trị của phân thức kia không xác định và ngược lại khi giá trị của phân thức kia bằng 0 thì giá trị của phân thức này không xác định. 
Em có thể tìm được bao nhiêu cặp phân thức như thế ?

Hướng dẫn giải

Bài 44 (Sách bài tập - trang 36)

Biến đổi các biểu thức sau thành phân thức :

a) \(\dfrac{1}{2}+\dfrac{x}{1-\dfrac{x}{x+2}}\)

b) \(\dfrac{x-\dfrac{1}{x^2}}{1+\dfrac{1}{x}+\dfrac{1}{x^2}}\)

c) \(\dfrac{1-\dfrac{2y}{x}+\dfrac{y^2}{x^2}}{\dfrac{1}{x}-\dfrac{1}{y}}\)

d) \(\dfrac{\dfrac{x}{4}-1+\dfrac{3}{4x}}{\dfrac{x}{2}-\dfrac{6}{x}+\dfrac{1}{2}}\)

Hướng dẫn giải

Bài 51 (Sách bài tập - trang 37)

Tính giá trị của các biểu thức :

a) \(\dfrac{3x^2-x}{9x^2-6x+1}\) tại \(x=-8\)

b) \(\dfrac{x^2+3x+2}{x^3+2x^2-x-2}\) tại \(x=1000001\)

Hướng dẫn giải

Bài 52 (Sách bài tập - trang 37)

Tìm điều kiện của các biến trong mỗi phân thức sau đây. Chứng minh rằng khi giá trị của phân thức xác định thì giá trị đó không phụ thuộc vào các biến x và y (nghĩa là chứng tỏ rằng có thể biến đổi phân thức đã cho thành một biểu thức không chứa x và y) :

a) \(\dfrac{x^2-y^2}{\left(x+y\right)\left(6x-6y\right)}\)

b) \(\dfrac{2ax-2x-3y+3ay}{4ax+6x+9y+6ay}\) (a là hằng số khác \(-\dfrac{3}{2}\))

Hướng dẫn giải

Bài 47 (Sách bài tập - trang 36)

Phân tích mẫu thức của các phân thức sau thành nhân tử rồi tìm điều kiện của x để giá trị của phân thức xác định :

a) \(\dfrac{5}{2x-3x^2}\)

b) \(\dfrac{2x}{8x^3+12x^2+6x+1}\)

c) \(\dfrac{-5x^2}{16-24x+9x^2}\)

d) \(\dfrac{3}{x^2-4y^2}\)

Hướng dẫn giải

Bài 56 (Sách bài tập - trang 38)

Với giá trị nào của x thì giá trị của mỗi biểu thức sau bằng 0 :

a) \(\dfrac{x}{x^2-4}+\dfrac{3}{\left(x+2\right)^2}\)

b) \(\dfrac{1}{x^2+x+1}+x-1\)

Hướng dẫn giải