Tính chất ba đường phân giác của tam giác

Lý thuyết

Bài 48 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC cân tại A. Các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở K. Chứng minh rằng AK đi qua trung điểm BC

Hướng dẫn giải

Các đường phân giác BD và CE cắt nhau tại K nên AK la đường phân giác của góc A.

Trong một tam giác cân, đường phân giác xuất phát từ đỉnh đồng thời là đường trung tuyến, do đó AK đi qua trung điểm M của BC.

Bài 6.2 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 47)

Cho tam giác ABC có \(\widehat{A}=\widehat{B}+\widehat{C}\). Hai đường phân giác của góc A và góc C cắt nhau tại O. Khi đó góc BOC bằng :

(A) \(85^0\)                 (B) \(90^0\)                  (C) \(135^0\)                     (D) \(150^0\)

Hãy chọn phương án đúng ?

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC có \(\widehat{A}\) = \(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\) nên nó vuông tại A ; AO , CO lần lượt là tia phân giác của \(\widehat{A}\) và \(\widehat{C}\) nên BO là tia phân giác của góc B . Ta có góc OBC + góc OCB = \(\dfrac{1}{2}\) (\(\widehat{B}\) + \(\widehat{C}\)) = 45^o nên \(\widehat{BOC}\) = 135^o

Vậy chúng ta chọn đáp án (C)

Bài 45 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC cân tại A. Gọi G là trọng tâm của tam giác, gọi I là giao điểm các đường phân giác. Chứng minh rằng ba điểm A, G, I thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

G là trọng tâm của \(\Delta ABC\) nên G thuộc đường trung tuyến AM (1)

Trong tam giác cân, đường trung phân giác của góc ở đỉnh đồng thời là đường trung tuyến nên I cũng thuộc đường trung tuyến AM. (2)

Từ (1) và (2) suy ra A, G, I thẳng hàng.

Bài 50 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC  có \(\widehat{A}=70^0\), các đường phân giác BD, CE cắt nhau ở I. Tính \(\widehat{BIC}\) ?

Hướng dẫn giải

\(\Delta ABC\) có: \(\widehat{A}+\widehat{B}+\widehat{C}=180^o\) (định lí)

\(\widehat{B}+\widehat{C}=180^o-\widehat{A}=180^o-70^o\)

\(\Rightarrow\) \(\widehat{B}+\widehat{C}=110^o\).

Do \(\widehat{B_1}=\widehat{B_2},\widehat{C_1}=\widehat{C_2}\) nên \(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}=\dfrac{\widehat{B}+\widehat{C}}{2}=\dfrac{110^o}{2}=55^o\)

Vậy: \(\widehat{BIC}=180^o-\left(\widehat{B_1}+\widehat{C_1}\right)=180^o-55^o=125^o.\)

Bài 49 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC cân tại A, D là trung điểm của BC. Gọi E và F là chân các đường vuông góc kẻ từ D đến AB và AC. Chứng minh DE = DF

Hướng dẫn giải

\(\Delta ABC\) cân tại A nên đường trung tuyến AD cũng là đường phân giác.

Theo tính chất tia phân giác của một góc, D thuộc tia phân giác của góc A nên cách đều hai cạnh của góc, do đó DE = DF.

Bài 6.3 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 47)

Cho tam giác ABC. Gọi I là điểm nằm trong tam giác và cách đều ba cạnh của tam giác đó. Qua I kẻ đường thẳng song song với BC cắt AB, AC lần lượt tại E và F. Chứng minh EF = BE + CF

Hướng dẫn giải

Vì điểm I cách đều ba cạnh của tam giác ABC và nằm trong tam giác nên I là giao điểm của ba đường phân giác của tam giác ABC, tức BI, CI lần lượt là tia phân giác của góc B và góc C. Do EF // BC nên \(\widehat{B_1}=\widehat{I_1}\) (hai góc so le trong), suy ra \(\widehat{I_1}=\widehat{B_2}\). Vậy tam giác EBI cân tại E, tức là EI = EB. Tương tự ta có FI = FC.

Vậy EF = EI + IF = BE + CF.

Bài 6.4 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 47)

Hai đườn phân giác \(AA_1\) và \(BB_1\) của tam giác ABC cắt nhau tại M. Hãy tìm các góc ACM, BCM nếu :

a) \(\widehat{AMB}=136^0\)

b) \(\widehat{AMB}=111^0\)

Hướng dẫn giải

b,

Trong \(\Delta\) AMB có:

\(\widehat{BAM}+\widehat{AMB}+\widehat{MBA}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{BAM}+\widehat{ABM}=44^0\)

Hay \(\dfrac{1}{2}\left(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}\right)=44^0\)

=> \(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}=88^0\)

Trong \(\Delta ABC\) có:

\(\widehat{BAC}+\widehat{ABC}+\widehat{ACB}=180^0\)

\(\Rightarrow\widehat{ACB}=92^0\)

Ta lại có: hai đường phân giác \(\text{AA}_1\) và \(BB_1\) cắt nhau tại M => M là giao của 3 đường phân giác

=> CM là phân của của \(\widehat{C}\)

=> \(\widehat{BCM}=\widehat{MCA}=\dfrac{1}{2}\widehat{C}=\dfrac{1}{2}.92^0=46^0\)

b,

Tương tự câu a, ta tìm được:

\(\widehat{ACM}=\widehat{BCM}=21^0\)

Bài 52 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC. Các tia phân giác các góc A và C cắt nhau ở I. Các đường phân giác các góc ngoài tại đỉnh A và C cắt  nhau ở K. Chứng minh rằng 3 điểm B, I, K thẳng hàng.

Hướng dẫn giải

Các đường phân giác của các góc ngoài tại đỉnh A và C của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại K nên BK là tia phân giác của góc B.

Các tia phân giác các góc A và C của \(\Delta ABC\) cắt nhau tại I nên BI là tia phân giác của góc B. Do đó ba điểm B, I, K thẳng hàng.

Bài 6.1 - Bài tập bổ sung (Sách bài tập - tập 2 - trang 47)

Cho tam giác ABC. Trên tia phân giác của góc B, lấy điểm O nằm trong tam giác ABC sao cho O cách đều hai cạnh AB, AC. Khẳng định nào sau đây sai ?

(A) Điểm O nằm trên tia phân giác của góc A

(B) Điểm O không nằm trên tia phân giác của các góc C

(C) Điểm O cách đều AB. BC

(D) Điểm O cách đều AB, AC, BC

Hướng dẫn giải

Ta có điểm O cách đều AB ,AC nên O thuộc tia phân giác của góc A . Mặt khác , O thuộc tia phân giác của góc B nên O là giao điểm của 3 đường phân giác trong tam giác ABC .

Vậy khẳng định sai đó là khẳng định (B) _ Điểm O không nằm trên tia phân giác của góc C

Bài 47 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Tam giác ABC có đường trung tuyến AM đồng thời là đường phân giác. Chứng minh rằng tam giác đó là tam giác cân ?

Hướng dẫn giải

Ta có hình vẽ :

Trên tia đổi của tia MA lấy điểm H sao cho MA=MH

Xét \(\Delta MBH\) và \(\Delta MCA\) có:

\(\left\{{}\begin{matrix}AM=HM\left(theocachve\right)\\\widehat{BMH}=\widehat{CMA\left(\text{đ}^2\right)}\\BM=CM\left(AMlatrungtuyen\right)\end{matrix}\right.\)

=> \(\Delta MBH\) = \(\Delta MCA\) (c.g.c)

=> +) BH=CA ( hai cạnh tương ứng) (1)

+) \(\widehat{BHM}=\widehat{CAM}\) ( hai góc tương ứng ) (2)

Ta lại có:

AM là phân giác => \(\widehat{BAM}=\widehat{MAC}\) (3)

Từ (2) và (3) suy ra: \(\widehat{BAM}=\widehat{MHB}\)

=> \(\Delta HBA\) là tam giác cân ( vì có hai góc ở đáy bằng nhau )

=> AB=HB ( hai cạnh bên của tam giác cân ) (4)

Từ (1) và (4) suy ra :

AB=AC

=> \(\Delta ABC\) là tam giác cân ( vì có hai cạnh trong tam giác bằng nhau )

( đ.p.c.m )

Bài 53* (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC vuông tại A. Các tia phân giác của các góc B và C cắt nhau ở I. Gọi D và E là chân các đường vuông góc kẻ từ I đến AB và AC

a) Chứng minh rằng AD = AE

b) Tính các độ dài AD, AE biết rằng AB = 6cm, AC = 8cm

Hướng dẫn giải

a) AI là tai phân giác của góc A nên ID = IE. (1)

Các tam giác vuông ADI, AEI có \(\widehat{DAI}=\widehat{EAI}=45^o\) nên là tam giác vuông cân, do đó AD = ID, AE = IE. (2)

Từ (1) và (2) suy ra AD = AE.

b) Áp dụng định lí Py-ta-go trong tam giác vuông ABC:

BC² = AB² + AC² = 6² + 8²

BC² = 36 + 64 = 100

\(\Rightarrow BC=\sqrt{100}=10\left(cm\right)\).

Kẻ IF \(\perp\) BC

Xét hai tam giác vuông IBD và IBF có:

BI: cạnh huyền chung

\(\widehat{IBD}=\widehat{IBF}\) (gt)

Vậy: \(\Delta IBD=\Delta IBF\left(ch-gn\right)\)

\(\Rightarrow\) BD = BF (hai cạnh tương ứng)

Xét hai tam giác vuông ICE và ICF có:

CI: cạnh huyền chung

\(\widehat{ICE}=\widehat{ICF}\left(gt\right)\)

Vậy: \(\Delta ICE=\Delta ICF\left(ch-gn\right)\)

Suy ra: CE = CF (hai cạnh tương ứng)

Ta có: AB + AC - BC = AD + DB + AE + EC - BF - CF.

Do BD = BF, CE = CF nên:

AB + AC - BC = AD + AE

\(\Rightarrow\) 6 + 8 - 10 = AD + AE

\(\Rightarrow\) AD + AE = 4 (cm).

Theo câu a) ta có AD = AE nên AD = AE = 2cm.

Bài 46 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Cho tam giác ABC. Hãy tìm một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến mỗi đường thẳng AB, BC, CA là bằng nhau, đồng thời khoảng cách này là ngắn nhất ?

Hướng dẫn giải

Điểm cách đều các đường thẳng AB và AC nằm trên các đường phân giác (trong và ngoài) của góc B.

Điểm cách đều các đường thẳng AB và AC nằm trên các đường phân giác (trong và ngoài) của góc A.

Điểm cách đều các đường thẳng AB, BC, CA là giao điểm của các đường phân giác trên, đó là bốn điểm I, K, M, N.

Để khoảng cách nói trên là ngắn nhất, ta chọn điểm I, giao điểm của các đường phân giác trong của \(\Delta ABC.\)

Bài 51 (Sách bài tập - tập 2 - trang 46)

Tính góc A của tam giác ABC biết rằng các đường phân giác BD, CE cắt nhau tại I trong đó có góc BIC bằng :

a) \(120^0\)                                 b) \(\alpha,\left(\alpha>90^0\right)\)

Hướng dẫn giải