Bài 6: Ôn tập chương Đạo hàm

Lý thuyết

Bài 9 (Sách bài tập trang 214)

Đồ thị hàm số \(y=\dfrac{1}{\sqrt{3}}\sin3x\) cắt trục hoành tại gốc tọa độ dưới một góc bao nhiêu độ (góc giữa trục hoành và tiếp tuyến của đồ thị tại giao điểm ) ?

Hướng dẫn giải

Bài 8 (Sách bài tập trang 214)

Trên đường cong \(y=4x^2-6x+3\), hãy tìm điểm tại đó tiếp tuyến song song với đường thẳng \(y=2x\)

Hướng dẫn giải

Lời giải

Tiếp tuyến có dạng t: y=ax+b

Để tiếp tuyến // với y=2x =>a=2

đường thẳng tiếp tuyến có dạng t: y=2x+b

là tiếp tuyến của (C) \(y=4x^2-6x+3\)

Thì \(\Rightarrow pt:=4x^2-6x+3=2x+b\) phải có nghiệm kép

\(\Leftrightarrow4x^2-8x+3-b=0\) phải có nghiệm kép

\(\Rightarrow\Delta=0\Rightarrow16-4\left(3-b\right)=4b+4=0\Rightarrow b=-1\)

\(4x^2-8x+4=\left(x-1\right)^2=0\Rightarrow x=1\)\(\)

với x=1 ta có y(1) =2.1-1=1

Vậy điểm cần tìm là : A(1,1)

Bài 11 (Sách bài tập trang 214)

Chứng minh rằng tiếp tuyến của hypebol \(y=\dfrac{a^2}{x}\) lập thành với các trục tọa độ một tam giác có diện tích không đổi ?

Hướng dẫn giải

Bài 12 (Sách bài tập trang 214)

Chứng minh rằng nếu hàm số \(f\left(z\right)\) có đạo hàm đến cấp n thì :

            \(\left[f\left(ax+b\right)\right]_x^n=a^nf_z^{\left(n\right)}\left(ax+b\right)\)

Hướng dẫn giải

Bài 6 (Sách bài tập trang 214)

Xác định a để \(g'\left(x\right)\ge0;\forall x\in R\) biết rằng 

           \(g\left(x\right)=\sin x-a\sin2x-\dfrac{1}{3}\sin3x+2ax\)

Hướng dẫn giải

Bài 3 (Sách bài tập trang 214)

Tìm đạo hàm của hàm số tại điểm đã chỉ ra :

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt{x+1}+1};f'\left(0\right)=?\)

b) \(y=\left(4x+5\right)^2;y'\left(0\right)=?\)

c) \(g\left(x\right)=\sin4x\cos4x;g'\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=?\)

Hướng dẫn giải

Bài 2 (Sách bài tập trang 214)

Giải phương trình \(f'\left(x\right)=g\left(x\right)\) biết :

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{1-\cos3x}{3};g\left(x\right)=\left(\cos6x-1\right)\cot3x\)

b) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\cos2x;g\left(x\right)=1-\left(\cos3x+\sin3x\right)^2\)

c) \(f\left(x\right)=\dfrac{1}{2}\sin2x+5\cos x;g\left(x\right)=3\sin^2x+\dfrac{3}{1+\tan^2x}\)

Hướng dẫn giải

Bài 7 (Sách bài tập trang 214)

Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của đồ thị hàm số \(y=\tan x\) tại điểm có hoành độ \(x_0=\dfrac{\pi}{4}\)

Hướng dẫn giải

Bài 4 (Sách bài tập trang 214)

Chứng minh rằng : 

                          \(f'\left(x\right)>0,\forall x\in R\) nếu 

a) \(f\left(x\right)=\dfrac{2}{3}x^9-x^6+2x^3-3x^2+6x-1\)

b) \(f\left(x\right)=2x+\sin x\)

Hướng dẫn giải

Lời giải _{(Giao lưu_cách làm cấp 2)}

\(f'\left(x\right)=6x^8-6x^5+6x^2-6x+6=6\left(x^8-x^5+x^2-x+1\right)=6A\)

Cần c/m : \(A>\left(x^8-x^5+x^2-x+1\right)...với\forall x\in R\)

Nếu \(\left|x\right|\ge1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^8\ge x^5\\x^2\ge x\end{matrix}\right.\) \(\Rightarrow A=\left(x^8-x^5\right)+\left(x^2-x\right)+1>0\Rightarrow A>0\)(1)

Nếu \(\left|x\right|< 1\Rightarrow\left\{{}\begin{matrix}x^2>x^5\\1>x\end{matrix}\right.\)\(\Rightarrow A=\left(x^2-x^5\right)+\left(1-x\right)+x^8>0\Rightarrow A>0\)(2)

Từ (1) và (2) \(\Rightarrow A>0\forall x\in R\)=> dpcm

Bài 5 (Sách bài tập trang 214)

Xác định a để \(f'\left(x\right)>0;\forall x\in R\) biết rằng \(f\left(x\right)=x^3+\left(a-1\right)x^2+2x+1\)

Hướng dẫn giải

Bài 1 (Sách bài tập trang 214)

Tìm đạo hàm của các hàm số sau :

a) \(y=x\cot^2x\)

b) \(y=\dfrac{\sin\sqrt{x}}{\cos3x}\)

c) \(y=\left(\sin2x+8\right)^3\)

d) \(y=\left(2x^3-5\right)\tan x\)

Hướng dẫn giải

Bài 10 (Sách bài tập trang 214)

Cho các hàm số :

                \(f\left(x\right)=x^3+bx^2+cx+d\)             (C)

                \(g\left(x\right)=x^2-3x-1\)

a) Xác định b, c, d sao cho đồ thị (C) đi qua các điểm \(\left(1;-3\right);\left(-1;-3\right);f'\left(\dfrac{1}{3}\right)=\dfrac{5}{3}\)

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ \(x_o=1\)

c) Giải phương trình \(f"\left(\cos t\right)=g'\left(\sin t\right)\)

d) Tìm giới hạn \(\lim\limits_{z\rightarrow0}\dfrac{f"\left(\sin5z\right)+2}{g'\left(\sin3z\right)+3}\)

Hướng dẫn giải