Bài 5: Xác suất của biến cố

Lý thuyết

Bài 5.8 (Sách bài tập trang 72)

Cho A và B là hai biến cố độc lập với \(P\left(A\right)=0,6;P\left(B\right)=0,3\). Tính 

a) \(P\left(A\cup B\right)\)

b) \(P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)\)

Hướng dẫn giải

a) \(P\left(A\cup B\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(AB\right)=P\left(A\right)+P\left(B\right)-P\left(A\right)P\left(B\right)\)

\(=0,6+0,3-0,18=0,72\)

b) \(P\left(\overline{A}\cup\overline{B}\right)=1-P\left(AB\right)=1-0,18=0,82\)

Bài 5.1 (Sách bài tập trang 72)

Một tổ có 7 nam và 3 nữ. Chọn ngẫu nhiên hai người. Tìm  xác suất sao cho trong hai người đó :

a) Cả hai đều là nữ

b) Không có nữ nào

c) Ít nhất một người là nữ

d) Có đúng một người là nữ

Hướng dẫn giải

Bài 5.9 (Sách bài tập trang 72)

Từ một cỗ bài tú lơ khơ gồm 52 con, lấy ngẫu nhiên lần lượt có hoàn lại từng con cho đến khi lần đầu tiên lấy được con át thì dừng. Tính xác suất sao cho :

a) Quá trình lấy dừng lại ở lần thứ hai

b) Quá trình lấy dừng lại sau không quá hai lần

Hướng dẫn giải

Kí hiệu \(A_k:\)" Lần thứ k lấy được con át", \(k\ge1\). Rõ ràng \(A_1,A_2\) độc lập

a) Ta cần tính \(P\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)\). Ta có \(P\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)=P\left(\overline{A_1}\right)P\left(A_2\right)=\dfrac{48}{52}.\dfrac{4}{52}\)

b) Theo bài ra ta cần tính :

\(P\left(A_1\right)+P\left(\overline{A_1}\cap A_2\right)=\dfrac{4}{52}+\dfrac{48}{52}.\dfrac{4}{52}\approx0,15\)

Bài 5.2 (Sách bài tập trang 72)

Một hộp chứa 10 quả cầu đỏ được đánh số từ 1 đến 10, 20 quả cầu xanh được đánh số từ 1 đến 20. Lấy ngẫu nhiên một quả. Tìm xác suất sao cho quả được chọn :

a) Ghi số chẵn

b) Mầu đỏ

c) Mầu đỏ và ghi số chẵn

d) Mầu xanh hoặc ghi số lẻ

Hướng dẫn giải

Trong hộp có 30 quả với 15 quả ghi số chẵn, 10 quả mầu đỏ, 5 quả mầu đỏ ghi số chẵn, 25 quả mầu xanh hoặc ghi số lẻ. Vậy theo định nghĩa :

a) \(P\left(A\right)=\dfrac{15}{30}=\dfrac{1}{2}\)

b) \(P\left(B\right)=\dfrac{10}{30}=\dfrac{1}{3}\)

c) \(P\left(C\right)=\dfrac{5}{30}=\dfrac{1}{6}\)

d) \(P\left(D\right)=\dfrac{25}{30}=\dfrac{5}{6}\)

Bài 5.7 (Sách bài tập trang 72)

Trong kì kiểm tra chất lượng ở hai khối lớp, mỗi khối có 25% học sinh trượt Toán, 15% trượt Lí và 10% trượt Hóa. Từ một khối chọn ngẫu nhiên một học sinh. Tính  xác suất sao cho 

a) Hai học sinh đó trượt Toán

b) Hai học sinh đó đều bị trượt một môn nào đó

c) Hai học sinh đó không bị trượt môn nào

d) Có ít nhất một trong hai học sinh bị trượt ít nhất một môn

Hướng dẫn giải

Trong mỗi khối, XS hs trượt Toán là 0,25; trượt Lý là 0,15; trượt cả 2 môn là 0,1; trượt đúng 1 môn là 0,2; chỉ trượt Toán là 0,15; chỉ trượt Lý là 0,05; trượt ít nhất 1 môn là 0,3; ko trượt môn nào là 0,7
a) P = 0,25^2 = 0,0625
b) Câu này đề chưa rõ ràng, có nhiều cách hiểu
..1) 2 hs đó đều bị trượt ít nhất 1 môn
..2) 2 hs đó cùng bị trượt trong 1 môn nào đó (còn môn kia không trượt)
..3) 2 hs đó cùng bị trượt trong 1 môn nào đó (còn môn kia có thể trượt hoặc không)
..Nếu hiểu theo cách 1 thì P = 0,3^2 = 0,09
..Nếu hiểu theo cách 2 thì P = 0,15^2 + 0,05^2 = 0,025
..Nếu hiểu theo cách 3 thì P = 0,25^2 + 0,15^2 - 0,1^2 = 0,075

c) P = 0,7^2 = 0,49

d) Trường hợp này là biến cố đối lập với biến cố c
..P = 1 - 0,7^2 = 0,51

Bài 5.4 (Sách bài tập trang 72)

Kết quả (a, c) của việc gieo con súc sắc cân đối và đồng chất hai lần, trong đó b là số chấm xuất hiện trong lần gieo đầu, c là số chấm xuất hiện ở lần gieo thứ hai, được thay vào phương trình bậc hai :

                           \(x^2+bx+c=0\)

Tính xác suấ để :

a) Phương trình vô nghiệm

b) Phương trình có nghiệm kép

c) Phương trình có nghiệm

Hướng dẫn giải

Bài 5.5 (Sách bài tập trang 72)

Một hộp chứa 10 quả cầu được đánh số từ 1 đến 10, đồng thời các quả từ 1 đến 6 được sơn mầu đỏ. Lấy ngẫu nhiên một quả. Kí hiệu A là biến cố : "Quả lấy ra mầu đỏ", B là biến cố : "Quả lấy ra ghi số chẵn". Hỏi A và B có độc lập không ?

Hướng dẫn giải

Kí hiệu A là biến cố : "Quả lấy ra mầu đỏ"

B là biến cố : "Quả lấy ra ghi số chẵn"

a) Không gian mẫu \(\Omega=\left\{1,2,...,10\right\}\)

\(A=\left\{1,2,3,4,5,6\right\}\)

Từ đó : \(P\left(A\right)=\dfrac{6}{10}=\dfrac{3}{5}\)

Tiếp theo, \(B=\left\{2;4;6;8;10\right\}\) và \(A\cap B=\left\{2;4;6\right\}\)

Do đó : \(P\left(B\right)=\dfrac{5}{10}=\dfrac{1}{2};P\left(AB\right)=\dfrac{3}{10}\)

Ta thấy \(P\left(AB\right)=\dfrac{3}{10}=\dfrac{3}{5}.\dfrac{1}{2}=P\left(A\right)P\left(B\right)\)

Vậy A và B độc lập.

Bài 5.3 (Sách bài tập trang 72)

Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh bàn tròn. Tính xác suất sao cho nam, nữ ngồi xen kẽ nhau ?

Hướng dẫn giải

Số cách xếp quanh bàn tròn là \(n\left(\Omega\right)=9!\)

Kí hiệu A là biến cố : "Nam nữ ngồi xen kẽ nhau"

Ta có :

\(n\left(A\right)=4!5!\) và \(P\left(A\right)=\dfrac{4!5!}{9!}\approx0,008\)

Bài 5.6 (Sách bài tập trang 72)

Một con súc sắc cân đối và đồng chất được gieo hai lần. Tính xác suất sao cho :

a) Tổng số chấm của hai lần gieo là 6

b) Ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm 

Hướng dẫn giải

Rõ ràng \(\Omega=\left\{\left(i;j\right):1\le i,j\le6\right\}\)

Kí hiệu :

\(A_1:\) "Lần đầu xuất hiện mặt 1 chấm"

\(B_1:\) "Lần thứ hai xuất hiện mặt 1 chấm"

\(C:\) " Tổng số chấm là 6"

\(D:\) "Mặt 1 chấm xuất hiện ít nhất một lần"

a) Ta có \(C=\left\{\left(1,5\right),\left(5,1\right),\left(2,4\right),\left(4,2\right)\left(3,3\right)\right\},P\left(C\right)=\dfrac{5}{36}\)

b) Ta có \(A_1,B_1\) độc lập và \(D=A_1\cup B_1\) nên

\(P\left(D\right)=P\left(A_1\right)+P\left(B_1\right)-P\left(A_1B_1\right)\)

\(=\dfrac{1}{6}+\dfrac{1}{6}-\dfrac{1}{6}.\dfrac{1}{6}=\dfrac{11}{36}\)