Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Lý thuyết

Bài 2.28 (Sách bài tập - trang 80)

Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD. O là giao điểm hai đường chéo, AC = a, BD = b, tam giác SBD đều. Gọi I là điểm di động trên đoạn AC với \(AI=x,\left(0< x< a\right)\). Lấy \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng đi qua I và song song với mặt phẳng (SBD)

a) Xác định thiết diện của mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) với hình chóp S.ABCD

b) Tìm diện tích S của thiết diện ở câu a) theo \(a,b,x\). Tìm \(x\) để S lớn nhất ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.27 (Sách bài tập - trang 80)

Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M và N là hai điểm di động tương ứng trên AD và BE sao cho :

                        \(\dfrac{AM}{MD}=\dfrac{BN}{NE}\)

Chứng minh rằng đường thẳng MN luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định. Hãy chỉ ra mặt phẳng cố định đó ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.23 (Sách bài tập - trang 79)

Từ bốn đỉnh của hình bình hành ABCD vẽ bốn nửa đường thẳng song song cùng chiều Ax, By, Xz và Dt sao cho chúng cắt mặt phẳng (ABCD). Một mặt phẳng \(\left(\alpha\right)\) cắt bốn nửa đường thẳng theo thứ tự nói trên tại A', B', C' và D'

a) Chứng minh rằng (Ax, By) // (Cz, Dt) và (Ax, Dt) // (By, Cz)

b) Tứ giác A'B'C'D' là hình gì ?

c) Chứng minh AA' + CC' = BB' + DD'

Hướng dẫn giải

Bài 2.29 (Sách bài tập - trang 80)

Cho ba mặt phẳng \(\left(\alpha\right),\left(\beta\right),\left(\gamma\right)\) song song với nhau. Hai đường thẳng a và a' cắt ba mặt phẳng ấy theo thứ tự nói trên tại A, B, C và A', B', C'. Cho AB = 5. BC = 4, A'C' = 18. Tính độ dài A'B' và B'C' ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.24 (Sách bài tập - trang 80)

Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BFF lần lượt lấy các điểm M và N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD và AF tại M' và N'. Chứng minh

a) (ADF) // (BCE)

b) M'N' //DF

c) (DEF) // (MM'N'N) và MN // (DEF)

Hướng dẫn giải

Bài 2.26 (Sách bài tập - trang 80)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C'. Gọi H là trung điểm củ A'B'

a) Chứng minh rằng CB'//A'I'

b) Tìm giao tuyến d của (AB'C') và (ABC)

Hướng dẫn giải

Bài 2.22 (Sách bài tập - trang 79)

Cho tứ diện ABCD. Gọi \(G_1;G_2;G_3\) lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ABD. Chứng minh rằng  \(\left(G_1G_2G_3\right)\) // (BCD)

Hướng dẫn giải

Gọi I, J và K lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và BD. Theo tính chất trọng tâm của tam giác ta có :

Bài 2.30 (Sách bài tập - trang 81)

Cho tứ diện ABCD. Gọi I và J lần lượt là hai điểm di động tren các cạnh AD và BC sao cho \(\dfrac{IA}{ID}=\dfrac{JB}{JC}\).

Chứng minh IJ luôn luôn song song với một mặt phẳng cố định ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.25 (Sách bài tập - trang 80)

Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các cạnh bên là AA', BB', CC'. Gọi I và I' tương ứng là trung điểm của hai cạnh BC và B'C'

a) Chứng minh rằng AI // AI'

b) Tìm giao điểm của IA' với mặt phẳng (AB'C')

c) Tìm giao tuyến của (AB'C) và (A'BC)

Hướng dẫn giải

Bài 2.31 (Sách bài tập - trang 81)

Cho hai tia Ax, By chéo nhau. Lấy M, N lần lượt là các điểm di động trên Ax, By. Gọi \(\left(\alpha\right)\) là mặt phẳng chứa By và song song với Ax. Đường thẳng qua M và song song với AB cắt \(\left(\alpha\right)\) tại M'

a) Tìm tập hợp điểm M' ?

b) Gọi I là trung điểm của MN. Tìm tập hợp các điểm I khi AM = BN ?

Hướng dẫn giải