Bài 2: Dãy số

Lý thuyết

Bài 2.8 (Sách bài tập trang 112)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) thỏa mãn điều kiện : Với mọi \(n\in N^{\circledast}\) thì

             \(0< u_n< 1\) và \(u_{n+1}< 1-\dfrac{1}{4u_n}\)

Chứng minh dãy số đã cho là dãy giảm

Hướng dẫn giải

Bài 2.7 (Sách bài tập trang 112)

Dãy số \(\left(x_n\right)\) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A :

              \(A=\left\{A_0,A_1,A_2,.....A_n,.....\right\}\)

Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số. Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A

Đặt \(u_n\) là số các tam giác được tạo thành từ B và hai trong số \(n+1\) điểm

             \(A_0,A_1,A_2,......,A_n\)

rồi lập dãy số \(\left(u_n\right)\)

a) Tính \(u_1,u_2,u_3,u_4\)

b) Chứng minh rằng :

              \(u_n=C^2_{n+1}\) và \(u_{n+1}=u_n+n+1\)

Hướng dẫn giải

Bài 2.4 (Sách bài tập trang 112)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) với \(u_n=n^2-4n+3\)

a) Viết công thức truy hồi của dãy số

b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới

c) Tính tổng n \(n\) số hạng đầu của dãy đã cho 

Hướng dẫn giải

Bài 2.1 (Sách bài tập trang 111)

Viết năm số hạng đầu và khảo sát tính năng, giảm của các dãy số \(\left(u_n\right)\), biết :

a) \(u_n=10^{1-2n}\)

b) \(u_n=3^n-7\)

c) \(u_n=\dfrac{2n+1}{n^2}\)

d) \(u_n=\dfrac{3^n\sqrt{n}}{2^n}\)

Hướng dẫn giải

a)
\(u_1=10^{1-2.1}=10^{-1};u_2=10^{1-2.2}=10^{-3}\);
\(u_3=10^{1-2.3}=10^{-5}\); \(u_4=10^{1-2.4}=10^{-7}\);
\(u_5=10^{1-2.5}=10^{-9}\).
Xét \(\dfrac{u_n}{u_{n-1}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{1-2\left(n-1\right)}}=\dfrac{10^{1-2n}}{10^{3-2n}}=10^{-2}=\dfrac{1}{100}\).
Suy ra: \(u_n=\dfrac{1}{100}u_{n-1}\) và dễ thấy \(\left(u_n\right)>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên \(u_n< u_{n-1},\forall n\ge2\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Bài 2.2 (Sách bài tập trang 111)

Trong các dãy số (\(u_n\)) cho dưới đây, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên và bị chặn ?

a) \(u_n=2n-n^2\)

b) \(u_n=n+\dfrac{1}{n}\)

c) \(u_n=\sqrt{n^2-4n+7}\)

d) \(u_n=\dfrac{1}{n^2-6n+11}\)

Hướng dẫn giải

a) Bị chặn trên vì \(u_n\le1,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

b) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge2,\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

c) Bị chặn dưới vì \(u_n\ge\sqrt{3},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

d) Bị chặn vì \(0< u_n\le\dfrac{1}{2},\forall n\in\mathbb{N}^{\circledast}\)

Bài 2.6 (Sách bài tập trang 112)

Các dãy số \(\left(u_n\right),\left(v_n\right)\) được xác định bằng công thức :

a) \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_{n+1}=u_n+n^3,\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

b) \(\left\{{}\begin{matrix}v_1=2\\v_{n+1}=v_n^2,n\ge1\end{matrix}\right.\)

Tìm công thức \(u_n,v_n\)theo \(n\). Tính số hạng thứ 100 của của dãy số \(\left(u_n\right)\)

Hỏi số 4 294 967 296 là số hạng thứ mấy của dãy số \(\left(v_n\right)\) ?

Hướng dẫn giải

Bài 2.5 (Sách bài tập trang 112)

Cho dãy số (\(u_n\)) với \(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\)

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số

b) Tìm công thức truy hồi

c) Chứng minh \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng và bị chặn dưới

Hướng dẫn giải

a)
\(u_1=1+\left(1-1\right).2^1=1\);
\(u_2=1+\left(2-1\right).2^2=1+2^2=5\);
\(u_3=1+\left(3-1\right).2^3=1+2.2^3=17\);
\(u_4=1+\left(4-1\right).2^4=1+3.2^4=49\);
\(u_5=1+\left(5-1\right).2^5=1+4.2^5=129\).
b)
\(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\).
\(u_{n+1}=1+\left(n+1-1\right).2^{n+1}=1+n.2^{n+1}\)
\(=1+\left(n-1\right).2^{n+1}+2^{n+1}\)\(=2\left[1+\left(n-1\right).2^n\right]+2^{n+1}-1\)
\(=2.u_n+2^{n+1}-1\).
Vậy công thức truy hồi của dãy số là: \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=1\\u_n=2u_{n-1}+2^n-1\end{matrix}\right.\).
c) Có \(u_n=1+\left(n-1\right).2^n\ge1+\left(1-1\right).2^n=1\).
Vậy \(u_n\ge1,\forall n\in N^{\circledast}\). Nên dãy \(\left(u_n\right)\) bị chặn dưới bởi 1.
Xét .
\(u_n-u_{n-1}=2u_{n-1}+2^n-1-u_{n-1}=u_{n-1}+2^n-1\)\(\ge1+2^n-1=2^n>0,\forall n\in N^{\circledast}\).
Vậy \(u_n-u_{n-1}>0,\forall n\in N^{\circledast}\) nên dãy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.

Bài 2.3 (Sách bài tập trang 111)

Cho dãy số \(\left(u_n\right)\) xác định bởi :

              \(\left\{{}\begin{matrix}u_1=5\\u_{n+1}=u_n+3n-2,\left(n\ge1\right)\end{matrix}\right.\)

a) Tìm công thức tính \(u_n\) theo \(n\)

b) Chứng minh \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng

Hướng dẫn giải

a)
\(u_1=5\)
\(u_2-u_1=1\)
\(u_3-u_2=4\)
............
\(u_n-u_{n-1}=3\left(n-1\right)-2=3n-5\)
Cộng từng vế của đẳng thức và rút gọn ta được:
\(u_n=5+1+4+7+...+3n-5\)
\(=5+\dfrac{\left(3n-5+1\right)\left(n-1\right)}{2}=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\).
Vậy \(u_n=5+\dfrac{\left(3n-4\right)\left(n-1\right)}{2}\) với \(n\ge1\).
Xét hiệu:
\(u_1=5\)
\(u_n-u_{n-1}=3n-5\) \(\left(n\ge2\right)\)
Với \(n\ge2\) thì \(3n-5>0\) nên \(u_n>u_{n-1}\).
Vậy \(\left(u_n\right)\) là dãy số tăng.