§5. Dấu của tam thức bậc hai

Lý thuyết

Bài 40 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Xét dấu của tam thức bậc hai sau

a) \(2{x^2} + 5x + 2;\)

b) \(4{x^2} - 3x - 1;\)

c) \( - 3{x^2} + 5x + 1;\)

d) \(3{x^2} + x + 5.\)

Hướng dẫn giải

d) Tam thức $\(3{x^2} + x + 5\) có biệt thức \(\Delta  =  - 59 < 0\) và hệ số a = 3 > 0

Vậy \(3{x^2} + x + 5 > 0,\forall x\)

Bài 41 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \({x^2} - 2x + 3 > 0;\)

b) \({x^2} + 9 > 6x.\)

Hướng dẫn giải

a) \({x^2} - 2x + 3 > 0 \Leftrightarrow {(x - 1)^2} + 2 > 0\) (đúng với mọi x);

b) \({x^2} + 9 > 6x \Leftrightarrow {(x - 3)^2} > 0\) (đúng với mọi )

Bài 42 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \(6{x^2} - x - 2 \ge 0;\)

b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0.\)

Hướng dẫn giải

a) \(6{x^2} - x - 2 \ge 0 \Leftrightarrow x \le  - {1 \over 2}\) hoặc \(x \ge {2 \over 3}\)

b) \({1 \over 3}{x^2} + 3x + 6 < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 9x + 18 < 0 \Leftrightarrow  - 6 < x <  - 3\)

Bài 43 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x - 10}} < 0;$\)

b) \({{10 - x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2}.$\)

Hướng dẫn giải

a) \({{{x^2} + 1} \over {{x^2} + 3x - 10}} < 0 \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 10 < 0 \Leftrightarrow  - 5 < x < 2.\)

b) \(\eqalign{
& {{10 - x} \over {5 + {x^2}}} > {1 \over 2} \Leftrightarrow 20 - 20 > 5 + {x^2} \cr 
& \Leftrightarrow {x^2} + 2x - 15 < 0 \Leftrightarrow - 5 < x < 3 \cr} \)

Bài 44 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) $\({{x + 1} \over {x - 1}} + 2 > {{x - 1} \over x};\)

b) \({1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} < {3 \over {x + 2}}.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& {{x + 1} \over {x - 1}} + 2 > {{x - 1} \over x} \Leftrightarrow {{3x - 1} \over {x - 1}} > {{x - 1} \over x} \cr 
& \Leftrightarrow {{3{x^2} - x - {{(x - 1)}^2}} \over {x(x - 1)}} > 0 \Leftrightarrow {{2{x^2} + x - 1} \over {x(x - 1)}} > 0 \cr} \)

\( \Leftrightarrow x <  - 1\) hoặc \(0 < x < {1 \over 2}\) hoặc \(x > 1\)

b) \(\eqalign{
& {1 \over {x + 1}} + {2 \over {x + 3}} + {3 \over {x + 2}} < 0 \cr 
& \Leftrightarrow {{x + 3 + 2x + 2} \over {(x + 1)(x + 3)}} < {3 \over {x + 2}} \cr} \)

\( \Leftrightarrow {{(3x + 5)(x + 2) - 3(x + 1) + (x + 3)} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0.\)

\( \Leftrightarrow {{1 - x} \over {(x + 1)(x + 2)(x + 3)}} < 0\)

\( \Leftrightarrow x <  - 3\) hoặc \( - 2 < x <  - 1\) hoặc \(x > 1\)

Đáp số: x < -3 hoặc -2 < x < -1 hoặc x > 1

Bài 45 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr 
{x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
(x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr 
(x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr 
{x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 0,25 \ge 0 \hfill \cr 
{x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 0,5 \le x \le 1.\)

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
(x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr 
(x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( - \infty ; - {3 \over 2}) \cup (1; + \infty ) \hfill \cr 
x \in {\rm{[ - }}{1 \over 4}{\rm{;4]}} \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow x \in (1;4]. \cr} \)

Bài 46 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{x^2} \ge 0,25 \hfill \cr 
{x^2} - x \le 0 \hfill \cr} \right.;\)

b) \(\left\{ \matrix{
(x - 1)(2x + 3) > 0 \hfill \cr 
(x - 4)(x + {1 \over 4}) \le 0 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x^2} \ge 4x \hfill \cr 
{(2x - 1)^2} < 9 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 4x \ge 0 \hfill \cr 
- 3 < 2x - 1 < 3 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( - \infty ;0] \cup {\rm{[}}4; + \infty ) \hfill \cr 
- 1 < x < 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow - 1 < x \le 0 \cr} \)

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
2x - 3 < (x + 1)(x - 2) \hfill \cr 
{x^2} - x \le 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x + 1 > 0 \hfill \cr 
{x^2} - x - 6 \le 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x \in ( - \infty ;{{3 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3] \hfill \cr 
- 2 \le x \le 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow x \in {\rm{[ - 2;}}{{3 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{3 + \sqrt 5 } \over 2};3{\rm{]}}\)

Bài 47 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \(2{m^2} - m - 5 > 0;\)

b) \( - {m^2} + m + 9 > 0.$\)

Hướng dẫn giải

a) \(2{m^2} - m - 5 > 0 \Leftrightarrow m < {{1 - \sqrt {41} } \over 4};m > {{1 + \sqrt {41} } \over 4}\)

b) \(- {m^2} + m + 9 > 0 \Leftrightarrow {{1 - \sqrt {37} } \over 2} < m < {{1 + \sqrt {37} } \over 2}\)

Bài 48 trang 122 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \({(2m - 1)^2} - 4(m + 1)(m - 2) \ge 0;\)

b) \({m^2} - (2m - 1)(m + 1) < 0.\)

Hướng dẫn giải

\({(2m - 1)^2} - 4(m + 1)(m - 2) \ge 0 \Leftrightarrow 9 \ge 0\). Bất phương trình có tập nghiệm là R.

b) \({m^2} - (2m - 1)(m + 1) < 0 \Leftrightarrow  - {m^2} - m + 1 < 0\)

\( \Leftrightarrow m \in ( - \infty ;{{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}) \cup ({{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2}; + \infty )\)

Bài 49 trang 123 Sách bài tập (SBT) Toán Đại số 10

Giải các bất phương trình, hệ bất phương trình (ẩn m) sau:

a) \(\left\{ \matrix{
{(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m) \ge 0 \hfill \cr 
{1 \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr 
{{2m - 1} \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr} \right.;\)

\(\left\{ \matrix{{(m - 2)^2} - (m + 3)(m - 1) \ge 0 \hfill \cr 
{{m - 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr 
{{m - 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right.\)

Hướng dẫn giải

a) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(2m - 1)^2} - 4({m^2} - m) \ge 0 \hfill \cr 
{1 \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr 
{{2m - 1} \over {{m^2} - m}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
1 \ge 0 \hfill \cr 
{m^2} - m > 0 \Leftrightarrow m > 1 \hfill \cr 
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \) 

b) \(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{(m - 2)^2} - (m + 3)(m - 1) \ge 0 \hfill \cr 
{{m - 2} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr 
{{m - 1} \over {m + 3}} > 0 \hfill \cr} \right. \cr 
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 6m + 7 \ge 0 \hfill \cr 
(m - 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr 
(m - 1)(m + 3) > 0 \hfill \cr} \right. \cr} \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m \le {7 \over 6} \hfill \cr 
- 3 < m < 2 \hfill \cr 
\left[ \matrix{
m > 1 \hfill \cr 
m < - 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 1 < m \le {7 \over 6}\)