Mặt cầu ngoại tiếp nối tiếp khối đa diện

II- BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM KHỐI ĐA DIỆN NGOẠI TIẾP MẶT CẦU Ví dụ 1: Cho điểm I nằm ngoài mặt cầu  O; R  . Đường thẳng  1 qua I cắt mặt cầu tại hai điểm A, B; đường thẳng  2 cắt mặt cầu tại hai điểm C , D. Biết IA  3  cm , IB  8  cm , IC  4  cm . Tính độ dài ID. A. 3  cm  . B. 4  cm  . C. 6  cm  . D. 8  cm  . Lời giải Áp dụng tính chất: Do 4 điểm A, B, C , D cùng thuộc 1 đường IA.IB  IC.ID  ID  tròn B nên A IA.IB  6  cm  . IC O  Chọn đáp án C. I D C Ví dụ 2: Cho hình chóp đều S.ABCD có tam giác SAC đều cạnh a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. B. R  A. R  a. a 3 . 2 C. R  a 2 . 2 D. R  a 3 . 3 Lời giải Ta có: SO  a 3 . Xét hai tam giác SMI và SOC 2 đồng dạng suy ra: S SI SM SM.SC a 3   SI   . SC SO SO 3 M  Chọn đáp án D. Nhận xét: I là trọng tâm I 2 2 a 3 a 3 SAC  R  SI  SO  .  . 3 3 2 3 D A C O B Ví dụ 3: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, SA  2a, ABC   1200 , AB  AC  a. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A, BAC A. R  a 5. Lời giải B. R  a 2. C. R  a 6 . 2 D. R  2a. cân tại   3a2 Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC  BC  a 3. Xét ABC : S BC  2 R  R  a :  sin BAC K bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC. Lúc đó: R  2 SA2   R   a 2. 4 I R C A  Chọn đáp án B. R' O B Ví dụ 4: Tứ diện OABC có OA, OB, OC đôi một vuông góc, OA  OB  OC  1. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. A. 1. B. 1 . 2 C. 3 . 2 D. 2 . 2 Lời giải Gọi M là trung điểm BC , qua M dựng d / /OA. Gọi K là trung điểm  / /OM    d  I : OA, Tâm qua mặt K cầu A dựng và K OA2 3 R  IO   OM 2  . 4 2 I R  Chọn đáp án C. C O M B Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt đáy, ABC vuông cân tại C , AC  2 2 , góc giữa hai mặt phẳng  SBC  và  ABC  bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. Lời giải 112 . 3 B. 224 . 3 C. 160 . D. 40 .  BC  AC  BC  SAC   BC  SC Do   BC  SA   SBC ; ABC  SCA  S   R I   SA Xét SAC vuông tại A : tan SCA AC   2 6. Do SCB vuông tại C  SA  AC.tan SCA nên tâm I mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC là trung điểm C A 60 SB SB  R  . 2 Tính 0 được B AB  4; SB  2 10  R  10. Vậy S  4 R2  40 .  Chọn đáp án D. Ví dụ 6: Cho hai đường tròn  C1  tâm O1 , bán kính bằng 1 ,  C2  tâm O2 , bán kính bằng 2 lần lượt nằm trên hai mặt phẳng  P1  ,  P2  sao cho  P1  / /  P2  và O1O2   P1  ; O1O2  3. Tính diện tích mặt cầu qua hai đường tròn đó, A. 24 . B. 20 . C. 16 . D. 12 . Lời giải Đặt IO1  x  0  x  3  R  x 2  IB2  O1 B2  R2  1  R2  1  x 2  2 2 2 2 2 2  3  x   IA  O2 A  R  4  R  4   3  x   4   3  x   1  x  x  2  R  IO  BO  5. 2 2 2 1 O2 A P1 R P2 2 1 B I O1 Vậy S  4 R2  20 .  Chọn đáp án B. Ví dụ 7: (Đề minh họa Bộ GD và ĐT) Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh bằng 1, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Tính thể tích khối cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABC. A. V  Lời giải 5 15 . 18 B. V  5 15 . 54 C. V  4 3 . 27 D. V  5 . 3 Gọi H là trung điểm cạnh AB, G, G lần lượt là S trọng tâm các tam giác ABC và SAB.  IG  SG ' 2 Ta có: SI  2 2  HG 2  SG '  2 2 1  2  15   HC    SH   . 6 3  3  Vậy thể tích I G' khối cầu là C A 4 4 5 15 V   R3   SI 3  . 3 3 54  Chọn đáp án B. G H B Ví dụ 8: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với đáy, tam giác ABC có AB  2; AC  2 và   1200 . Biết góc giữa SBC và ABC bằng  với tan   2. Tính bán kính mặt cầu ngoại BAC     tiếp hình chóp S.ABC. A. B. 2. 5. C. D. 3. 2. Lời giải Gọi M là trung điểm của cạnh  BC  AM BC    BC  SAM   BC  SM.  BC  SA . Suy ra SBC ; ABC  SMA    Theo giả thiết: tan   S K SA  SA  AM.tan  AM .tan   2.  AB.cos BAM   12 Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC C A α M  BC  a 3. Xét ABC : BC  2 R  R  2 :  sin BAC bán I R kính R' O B đường tròn ngoại tiếp ABC. SA2  5. Vậy bán kính mặt cầu là R   R '   4 2  Chọn đáp án A. Ví dụ 9: (Đề thử nghiệm Bộ GD và ĐT) Cho hình hộp chữ nhật ABCD. A' B' C ' D' có AB  a, AD  2a, AA '  2a . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABB ' C '. A. 3a. B. 3a . 4 C. 3a . 2 D. 2a. Lời giải Ta chứng minh được '  AB  ABC ' C '  900  A, B, B ', C ' cùng thuộc mặt C B A cầu với đường kính AC '. Ta có: IA  D R  AB '   B ' C ' 2 2 I  3a. IA 3a  . 2 2  Chọn đáp án C. D' Suy ra R  C' B' A' Ví dụ 10:Cho hình hộp chữ nhật có các kích thước a, b, c. Gọi T  là một tứ diện có sáu cạnh là sáu đường chéo của sáu mặt bên của hình hộp đã cho. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện đó.     a D. S  A. S  4 a2  b2  c 2 .   C. S  2 a  b  c . 2 2 2  c  . B. S   a2  b2  c 2 . 2  b2 2 2 Lời giải Nhận xét rằng mặt cầu ngoại tiếp tứ diện cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình hộp chữ nhật. Vậy bán kính mặt cầu là R  a2  b2  c 2 suy ra diện tích mặt cầu là S  4 R2   a2  b2  c 2 . 2    Chọn đáp án B. Ví dụ 11:Cho hình lập phương cạnh a. Gọi R1 , R2 , R3 lần lượt là bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình lập phương, bán kính mặt cầu nội tiếp hình lập phương và bán kính mặt cầu tiếp xúc với tất cả các cạnh của hình lập phương. Khẳng định nào sau đây đúng? A. R22  R1 .R3 . Lời giải B. R22  R12  R32 . C. R12  R22  R32 . D. R32  R1 .R2 . Ta có: R1  B' D 3 a AB a  ; R2   ; 2 4 2 2 R3  IO2  OM 2  D M C O B A R3 a2 a2 a 2    R12  R22  R32 . 4 4 2 R2 R1  Chọn đáp án C. D' C' B' A' Ví dụ 12:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h  2. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABCD. A. 9 . 8 B. 9 . 4 C. 3 . 4 D. 3 . 2 Lời giải Xét hai tam giác SHI và SOC đồng dạng: S SH SI SH.SC 9   SI   SO SC SO 8 9  R  SI  . 8  Chọn đáp án A. H I D C O A B Ví dụ 13:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h  mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. A. Lời giải 3. B. 3 . 2 C. 3 . 4 D. 3 . 6 3 . Tính bán kính 2 Ta có SPK cân và có PK  1, SO  3  SPK 2 S đều.  GH   SBC  Gọi G là trọng tâm SPK    GO   ABCD  H G 1 a 3  R  GO  GH  SO  . 3 6  Chọn đáp án D. D C P K O A B Ví dụ 14:Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 1, chiều cao h  2. Tính bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp S.ABCD. A. 17 . 8 B. 17  1 . 8 C. 17  1 . 4 D. 17  2 . 4 Lời giải Đặt GH  x  GO  R  0  x  2  . (Sử dụng hình trên) Xét hai tam giác đồng dạng SHG và SOK : S HG SG x 2x     17 x  2  x 1 OK SK 17 2 2 x 2 1  17  H 1  17 1  17 R . 8 8 G  Chọn đáp án B. P K O   600. Biết hai mặt Ví dụ 15:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh bằng 1, BAD phẳng  SDC  và  SAD  cùng vuông góc với mặt phẳng  ABCD  , góc giữa SC và mặt đáy bằng 450. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp tứ diện S.BCD. A. 7 . Lời giải B. 7 . 2 C. 7 . 4 D. 7 . 3   SDC    ABCD   SD   ABCD  Ta có:  SAD  ABCD       .  SC ; ABCD  SCD  S   Mặt khác: cân tại ABD A   600  ABD đều  BCD đều. BAD R K và I Gọi G là trọng tâm BCD và I là giao điểm 45 D hai đường như hình vẽ. G O 21 R  SI  SK 2  KI 2  . 6 A Vậy mặt cầu có diện tích S  4 R2  0 C M B 7 . 3  Chọn đáp án D.   600 , SA vuông góc với Ví dụ 16:Cho hình chóp S.ABC với ABC có AB  1, AC  2 và BAC đáy. Gọi B1 , C1 lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB, SC. Tính diện tích mặt cầu qua các đỉnh A, B, C , B1 , C1 . B. 12 . A. 16 . C. 8 . D. 4 . Lời giải 3 Ta có: BC 2  AB2  AC 2  2 AB.AC.cos BAC S  BC  3. Lúc đó AB  BC  AC  ABC 2 2 2 vuông tại B. C1  BC  SA  BC   SAB   BC  AB1 Ta có:  BC  AB   AB1  SBC   AB1  B1C . B1   AB   Do ABC C  AC C  900  A, B, C , B1 , C1 1 1 cùng thuộc AC  R  mặt cầu có đường kính A 60 0 R I AC  1. 2 Vậy diện tích mặt cầu là S  4 R2  4 . B  Chọn đáp án D. Ví dụ 17:Ba tia Ox, Oy , Oz đôi một vuông góc, C là một điểm cố định trên Oz , đặt OC  1, A, B thay đổi trên Ox, Oy sao cho OA  OB  OC. Tìm giá trị nhỏ nhất của bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện OABC. C A. 6 . 4 B. Lời giải 6 . 3 C.  6 . 2  Đặt OB  b, OA  a  a  b  1 ; a; b   0;1 . D. 6. z Gọi H , K lần lượt là trung điểm AB, OC C 1 b2  c 2  4 4 2 1 1 1 1 3    a  b    4 8 4 8 8  R  IH 2  OH 2  R2    1 1  .2. b2  c 2 4 8  K 6 6  Rmin  . 4 4  Chọn đáp án A. R I B b O y H a A x Ví dụ 18:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông cân tại A, AB  1 , góc giữa A ' C và  ABC  bằng 600. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '. A. 5 . 2 B. 5 . C. 5 . 4 D. 5 . 6 Lời giải    Ta có: AA '   ABC   A ' C;  ABC   A ' CA. A' C' K Xét A ' CA vuông tại A : AA '   AA '  AC.tan A ' CA  3. AC Nhận xét: Mặt cầu ngoại tiếp hình chóp C '.ABB ' A '  tan A ' CA  B' R cũng là mặt cầu ngoại tiếp hình lăng trụ ABC.A ' B ' C ' . Gọi H , K lần lượt là trung điểm các cạnh BC , B ' C '. Bán kính mặt cầu là R  IC '  IK   KC '  2 2 5  . 2 5  5 . Vậy diện tích mặt cầu là S  4 R  4. 4  Chọn đáp án B. 60 A H 2 B 0 C Ví dụ 19:Cho hình lăng trụ đứng ABC.A ' B ' C ' có đáy ABC là tam giác vuông tại A, AB  3, BC  5 , hình chiếu vuông góc của B ' trên  ABC  là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC. Biết góc giữa hai mặt phẳng  ABC  và  ABB ' A '  bằng 600. Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp B '.ABC. A. 73 3 . 48 B. 73 3 . 24 C. 73 6 . 48 D. 73 3 . 24 Lời giải Gọi là K AB    ABB ' A ' ;  ABC   trung  B ' KH. vuông B ' KH  B ' H  KH.tan B ' KH  2 3. Xét tại Suy ra: B ' A  AH 2  B ' H 2  tam giác điểm 73 . 2 B ' PI A' C' B' H: Xét hai B ' HA : B' I B' P B ' A.B ' P 73 3   IB '   . B' A B' H B' H 48 P và R I 73 3 . 48  Chọn đáp án A. C A  R  IB '  H K B Ví dụ 20: Cho tứ diện ABCD có hai mặt phẳng  ABC  và  BCD  vuông góc với nhau. Biết tam giác ABC đều cạnh a , tam giác BCD vuông cân tại D . Tính bán kính mặt cầu ngoại tiếp tứ diện ABCD. A. Lời giải a 2 . 3 B. a 3 . 2 C. 2a 3 . 3 D. a 3 . 3