CÁC ĐỊNH NGHĨA
1. Khái niệm vectơ
Cho đoạn thẳng AB. Nếu ta chọn điểm A làm điểu đầu, điểm B là điểm cuối thì đoạn thẳng AB có hướng từ A đến B. Khi đó ta nói AB là một đoạn thẳng có hướng.
Định nghĩa. Vectơ là một đoạn thẳng có hướng.
Vectơ có điểm đầu A, điểm cuối B được kí hiệu là
và đọc là “ vectơ AB “. Để vẽ được vectơ
ta vẽ đoạn thẳng AB và đánh dấu mũi tên ở đầu nút B.
Vectơ còn được kí hiệu là
khi không cần chỉ rõ điểm đầu và điểm cuối của nó.
2. Vectơ cùng phương, vectơ cùng hướng
Đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của một vectơ được gọi là giá của vectơ đó.
Định nghĩa. Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi hai vectơ
cùng phương.
3. Hai vectơ bằng nhau
Mỗi vectơ có một độ dài, đó là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Độ dài của
được kí hiệu là |
| , như vậy |
| = AB.
Vectơ có độ dài bằng 1 gọi là vectơ đơn vị.
Hai vectơ
được gọi là bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có cùng độ dài, kí hiệu
Chú ý. Khi cho trước vectơ
và điểm O, thì ta luôn tìm được một điểm A duy nhất sao cho
4. Vectơ – không
Ta biết rằng mỗi vectơ có một điểm đầu và một điểm cuối và hoàn toàn được xác định khi biết điểm đầu và điểm cuối của nó.
Bây giờ với một điểm A bất kì ta quy ước có một vectơ đặc biệt mà điểm đầu và điểm cuối đều là A. Vectơ này được kí hiệu là
và được gọi là vectơ – không.
TỔNG VÀ HIỆU CỦA HAI VECTƠ
1. Tổng của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ
Lấy một điểm A tùy ý, vẽ
Vectơ
được gọi là tổng của hai vectơ
Ta kí hiệu tổng của hai vectơ
Phép toán tìm tổng của hai vectơ còn được gọi là phép cộng vectơ.
2. Quy tắc hình bình hành
Nếu ABCD là hình bình hành thì
3. Tính chất của phép cộng các vectơ
Với ba vectơ
•
•
•
(tính chất của vectơ – không).
4. Hiệu của hai vectơ
a) Vectơ đối
Cho vectơ
Vectơ có cùng độ dài và ngược hướng với
được gọi là vectơ đối của vectơ
, kí hiệu là -
Mỗi vectơ đều có vectơ đối, chẳng hạn vectơ đối của
Đặc biệt, vectơ đối của vectơ
là vectơ
.
b) Định nghĩa hiệu của hai vectơ
Định nghĩa. Cho hai vectơ
Ta gọi hiệu của hai vectơ
là vectơ
Như vậy
Từ định nghĩa hiệu của hai vectơ, suy ra với ba điểm O, A, B tùy ý ta có
Chú ý
1) Phép toán tìm hiệu của hai vectơ còn được gọi là phép trừ vectơ.
2) Với ba điểm tùy ý A, B, C ta luôn có
(quy tắc trừ).
5. Áp dụng
a) Điểm I là trung điểm của đoạn thẳng AB khi và chỉ khi
b) Điểm G là trọng tâm của tam giác ABC khi và chỉ khi
TÍCH CỦA VECTƠ VỚI MỘT SỐ
1. Định nghĩa
Cho số k ≠ 0 và vectơ
Tích của vectơ
với số k là một vectơ, kí hiệu là k
, cùng hướng với
nếu k > 0, ngược hướng với
nếu k < 0 và có độ dài bằng |k|.|
|
2. Tính chất
Với hai vectơ
bất kì, với mọi số h và k, ta có
3. Trung điểm của đoạn thẳng và trọng tâm của tam giác
a) Nếu I là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm M thì ta có
b) Nếu G là trọng tâm của tam giác ABC thì với mọi điểm M thì ta có
4. Điều kiện để hai vectơ cùng phương
Điều kiện cần và đủ để hai vectơ
cùng phương là có một số k để
Nhận xét. Ba điểm phân biệt A, B, C thẳng hàng khi và chỉ khi có số k khác 0 để
5. Phân tích một vectơ theo hai vectơ không cùng phương
Cho hai vectơ
không cùng phương. Khi đó mọi vectơ
đều phân tích được một cách duy nhất theo hai vectơ
nghĩa là có duy nhất cặp số h, k sao cho
HỆ TRỤC TỌA ĐỘ
1. Trục và độ dài đại số trên trục
a) Trục tọa độ (hay gọi tắt là trục) là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm O gọi là điểm gốc và một vectơ đơn vị
Ta kí hiệu trục đó là (O ;
).
b) Cho M là một điểm tùy ý trên trục (O;
). Khi đó có duy nhất một số k sao cho
c) Cho hai điểm A và B trên trục (O;
). Khi đó có duy nhất số a sao cho
Ta gọi số a là độ dài đại số của vectơ
đối với trục đã cho và kí hiệu a =
Nhận xét.
Nếu
cùng hướng với
thì
= AB, còn nếu
ngược hướng với thì
Nếu hai điểm A và B trên trục (O;
) có tọa độ lần lượt là a và b thì
= b – a .
2. Hệ trục tọa độ
a) Định nghĩa. Hệ trục tọa độ (O;
;
) gồm hai trục (O;
) và (O;
) vuông góc với nhau. Điểm gốc O chung của hai trục gọi là gốc tọa độ. Trục (O;
) được gọi là trục hoành và kí hiệu là Ox, trục (O;
) được gọi là trục tung và kí hiệu là Oy. Các vectơ
và
là các vectơ đơn vị trên Ox và Oy và
Hệ trục tọa độ (O;
;
) còn được kí hiệu là Oxy
Mặt phẳng mà trên đó đã cho một hệ trục tọa độ Oxy còn được gọi là mặt phẳng tọa độ Oxy hay gọi tắt là mặt phẳng Oxy.
b) Tọa độ của vectơ
Trong mặt phẳng Oxy cho một vectơ
và gọi A1, A2 lần lượt là hình chiếu của vuông góc của A lên Ox và Oy. Ta có
và cặp số duy nhất (x; y) để
Như vậy
Cặp số (x; y) duy nhất đó được gọi là tọa độ của vectơ
đối với hệ tọa độ Oxy và viết
= (x; y) hoặc
(x; y). Số thứ nhất x gọi là hoành độ, số thứ hai y gọi là tung độ của vectơ
Như vậy
Nhận xét. Từ định nghĩa tọa độ của vectơ, ta thấy hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có hoành độ bằng nhau và tung độ bằng nhau.
c) Tọa độ của một điểm
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho một điểm M tùy ý. Tọa độ của vectơ
Như vậy, cặp số (x; y) là tọa độ của điểm M khi và chỉ khi
Khi đó ta viết M(x; y) hoặc M = (x; y). Số x được gọi là hoành độ, còn số y được gọi là tung độ của điểm M. Hoành độ của điểm M còn được kí hiệu là xM, tung độ của điểm M, còn được kí hiệu là yM.
Chú ý rằng, nếu MM1 ⊥ Ox, MM2 ⊥ Oy thì
d) Liên hệ giữa tọa độ của điểm và tọa độ của vectơ trong mặt phẳng
Cho hai điểm A(xA, yA) và B(xB, yB). Ta có
3. Tọa độ của các vectơ
Ta có các công thức sau:
Nhận xét. Hai vectơ
cùng phương khi và chỉ khi có một số k sao cho u1 = kv1 và u2 = kv2.
4. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng. Tọa độ trọng tâm của tam giác
a) Cho đoạn thẳng AB có A(xA, yA), B(xB, yB). Ta dễ dàng chứng minh được tọa độ trung điểm I(xI, yI) của đoạn thẳng AB là
b) Cho tam giác ABC có A(xA, yA), B(xB, yB), C(xC, yC). Khi đó tọa độ của trọng tâm G(xG, yG) của tam giác ABC được tính theo công thức
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 7:31:44 | Lượt xem: 521
