Đề thi tuyển sinh vào 10 môn Toán tỉnh Bắc Giang năm 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BẮC GIANG ĐỀ THI CHÍNH THỨC

ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN BẮC GIANG NĂM HỌC 2020 – 2021 MÔN THI: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

Câu I. (5,0 điểm)

1. Cho biểu thức

1. Rút gọn biểu thức

2. Tìm tất cả các giá trị của để nhận giá trị là số nguyên

2. Cho parabol và đường thẳng là tham số). Tìm để đường thẳng cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ sao cho biểu thức đạt giá trị nhỏ nhất

Câu II. (5,0 điểm)

1. Giải phương trình:

2. Giải hệ phương trình:

Câu III. (3,0 điểm)

1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương để biểu thứcnhận giá trị là số nguyên

2. Trong mặt phẳng cho điểm phân biệt sao cho từ ba điểm bất kỳ luôn chọn ra được hai điểm có khoảng cách nhỏ hơn 1cm. Chứng minh rằng tồn tại một hình tròn có bán kính bằng chứa không ít hơn điểm trong 2020 điểm đã cho

Câu IV. (6,0 điểm)

Cho tam giác nhọn nội tiếp đường tròn tâm O. Các đường cao của tam giác đồng quy tại Gọi là trung điểm của đoạn thẳng là giao điểm của hai đường thẳng và

1. Chứng minh rằng và là tâm đường tròn nội tiếp

2. Qua điểm kẻ đường thẳng song song với đường thẳng đường thẳng này cắt các đường thẳng lần lượt tại và Chứng minh

3. Chứng minh rằng đường thẳng vuông góc với đường thẳng

Câu V. (1,0 điểm)

Cho là các số thực dương. Chứng minh rằng:

ĐÁP ÁN

Câu I.

1.a)

Vậy với điều kiện

1b) Ta có: Với

Vì nhận giá trị nguyên nên nhận giá trị nguyên

Vậy các giá trị cần tìm là

2) Phương trình hoành độ giao điểm của và là :

Ta có:

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi Suy ra luôn cắt tại hai điểm phân biệt có hoành độ

Nhận xét khác vì đúng với mọi

Theo định lý Vi – et, ta có:

Ta có:

Áp dụng bất đẳng thức Cô – si ta có:

. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Vì

Vậy

Câu II.

1. Điều kiện : . Phương trình đã cho tương đương:

   Vậy

2. Điều kiện: . Ta có:

   

   Thay vào phương trình ta được phương trình :

   Với điều kiện bài toán

   Vì

   nên (4) vô nghiệm

   Vậy hệ phương trình có tập nghiệm

Câu III.

1. Yêu cầu bài toán tương đương chia hết cho

   Nếu

   

   ;

   Nếu

   Ta có: . Thử lại thì

   Nếu (vô lý vì

   Vậy các cặp số thỏa mãn là

2. Gọi là một điểm bất kỳ trong số điểm đã cho

   Xét hình tròn

   Trường hợp 1: Nếu hình tròn chứa tất cả 2019 điểm còn lại ta có điều phải chứng minh.

   Trường hợp 2: Nếu trong 2019 điểm còn lại tồn tại điểm nằm ngoài hình tròn thì vẽ đường tròn Ta chứng minh điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn hoặc thuộc hình tròn

   Thật vậy, giả sử tồn tại điểm C trong 2018 điểm còn lại nằm ngoài cả hai hình tròn như hình vẽ. Khi đó Như vậy với ba điểm thì khoảng cách của hai điểm bất kỳ luôn lớn hơn 1 (mâu thuẫn với đề bài)

   Vậy 2018 điểm còn lại hoặc thuộc hình tròn hoặc thuộc hình tròn

   Theo nguyên lý Dirichlet tồn tại một hình tròn chứa ít nhất điểm đã cho và chứa thêm điểm A hoặc điểm B

   Vậy tồn tại một hình tròn có bán kính bằng chứa không ít hơn điểm đã cho.

Câu IV.

1. Chỉ ra tứ giác nội tiếp và

   Khi đó

Chỉ ra tứ giác nội tiếp , suy ra

Chỉ ra tứ giác nội tiếp, suy ra

Ta có: vì tứ giác nội tiếp

Từ là phân giác của

Chứng minh tương tự, ta được:là phân giác của

Từ (4) và (5) là tâm đường tròn nội tiếp

2. Gọi là giao điểm của

   

   Theo tính chất đường phân giác trong của

   Ta có là phân giác ngoài của tại đỉnh D. Theo tính chất đường phân giác ngoài của

   Từ (6) và(7)

   Vì , theo định lý Ta – let mở rộng ta có:

   và

   Từ (8) và (9)

3. Gọi là giao điểm của với đường tròn khác A) và là điểm đối xứng với qua O. Chứng minh được là hình bình hành

   Suy ra ba điểm thẳng hàng

   Vì tứ giác nội tiếp đường tròn (O)

   Theo ý 1) thì

   Suy ra là tứ giác nội tiếp

   Vì ba điểm thuộc đường tròn đường kính đường tròn đường kính

   Ta có

   Kết hợp với thẳng hàng

   Mặt khác ba điểm thẳng hàng nên 4 điểm thẳng hàng

   Xét có và là trực tâm

   Suy ra

Câu V.

Chứng minh với ba số dương ta có:

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Chứng minh được bất đẳng thức . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Đặt

Áp dụng bất đẳng thức (1) ta có:

Chứng minh tương tự, ta được:

Khi đó ta có:

Suy ra

Ta có :

Áp dụng bất đẳng thức (2) ta được:

Vậy . Đẳng thức xảy ra