PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC

TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU

ĐỀ THI CHỌN HGS LỚP 9 LẦN 3

NĂM HỌC 2020 -2021

MÔN: TOÁN

( Thời gian làm bài 150 phút, không kể thời gian giao đề )

Bài 1: ( 2,0 điểm)

Cho biểu thức

a, Rút gọn biểu thức P.

b, Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức .

Bài 2: ( 1 điểm)

Giải phương trình

Bài 3: ( 1,5 điểm)

Với số tự nhiên n tùy ý cho trước, chứng minh rằng số không thể biểu diễn được dưới dạng tổng của hai số chính phương ( với k nguyên dương, kí hiệu k! là tích 1.2.3…k).

Bài 4 (1.0 điểm). Chứng minh rằng biểu thức là một số chính phương.

Bài 5: ( 1,5 điểm)

Cho đường tròn (O) và một điểm P nằm bên trong đường tròn Gọi Q là một điểm tùy ý trên đường tròn (O). Chứng minh rằng khi điểm Q chuyển động trên đường tròn (O) thì giao điểm M các đường thẳng kẻ qua O vuông góc với PQ và tiếp tuyến kẻ từ Q của đường tròn (O) chạy trên một đường thẳng cố định.

Bài 6 (1.0 điểm). Cho tam giác ABC vuông tại A. Các đường trung tuyến AD và BE vuông góc với nhau tại G. Biết cm, tính cạnh huyền BC.

Bài 7 ( 1,0 điểm)

Cho đa thức P(x) = ax³ + bx² + cx + d với a, b, c, d là các hệ số nguyên. Chứng minh rằng nếu P(x) chia hết cho 5 với mọi giá trị nguyên của x thì các hệ số a, b, c, d đều chia hết cho 5

Bài 8: (1,0 điểm)

Tính giá trị biểu thức: với 0⁰ < x < 90⁰

Bài 9: (1,0 điểm)

Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn .

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

-------------------------------------Hết---------------------------------

(Giám thị không giải thích gì thêm)

PHÒNG GD&ĐT YÊN LẠC TRƯỜNG THCS LIÊN CHÂU	HD CHẤM ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 9 LẦN 3 NĂM HỌC 2020- 2021 MÔN: TOÁN
Bài	Nội dung	Điểm
1 2 đ	a, ĐKXĐ	0,25
	Ta có	0,75
	b, Áp dụng BĐT AM-GM ta có:	0,75
	Vậy GTLN của Q= khi x=2	0,25
2 1 đ	ĐKXĐ	0,2
	Phương trình đã cho tương đương với	0,2
	Do	0,2
		0,2
	Vậy nghiệm của phương trình là (x;y;z)=(3;-2013;2016)	0,2
3 1,5 đ	Giả sử Theo ý a, thì	0,25
	Do đó (1)	0,25
	Từ (1) suy ra a,b đều chẵn. Đặt a=2c, b=2d và rút gọn ta được (2)	0,25
	Từ (2) suy ra c, d đều chẵn. Đặt c=2p, d=2q và rút gọn ta được (3)	0,25
	Vì số chính phương khi chia 4 chỉ có số dư là 0 hoặc 1, nên chia cho 4 dư 0;1 hoặc 2. Mà 8k+315 chia 4 dư 3. Nên (3) không xảy ra.	0,25
	Vậy không thể biểu diễn số dưới dạng tổng của hai số chính phương.	0,25
4 1đ	Ta có	0,25
		0,5
	Do đó D=4 Vậy D là một số chính phương.	0,25
5 1,5 đ
	Qua M kẻ đường thẳng d vuông góc với đường thẳng OP ở S. Gọi N là chân đường vuông góc kẻ từ O đến PQ	0,25
	Ta có (1)	0,25
	Ta có (2)	0,5
	Từ (1) và (2) suy ra không đổi, nên điểm S cố định.	0,25
	Vậy điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OP tại điểm S cố định.	0,25
Bài 6 1đ
	Ta có Suy ra BG=2 cm, EG= 1 cm	0,5
	Mà cm.	0,5
Bài 7 1đ	Ta có: P(0) = d 5	0,25
	P(1) = a + b + c + d 5 => a + b + c 5 (1)	0,25
	P(-1) = -a + b – c + d 5 => -a + b – c 5 (2)	0,25
	Từ (1) và (2) suy ra 2b 5 => b 5 vì (2,5) = 1, suy ra a + c 5	0,25
Bài 9 1,0 đ	Áp dụng BĐT AM-GM ta có	0,25
		0,25
		0,25
	Vậy GTNN của P=1 khi a=b=c=1.	0,25
8 (1đ)		0,25
		0,25
		0,25
		0,25