Đề khảo sát chất lượng Toán 9 trường THCS Trưng Vương

UBND HUYỆN BÁ THƯỚC PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ Đề chính thức ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 Năm học 2014 – 2015 Môn thi: Toán Thời gian làm bài 150 phút Đề thi có 01 trang Bài 1:(4điểm). a) Giải và biện luận bất phương trình: m2x - 3  9x + m ( m là tham số). b) Phân tích đa thức thành nhân tử: (x-1)2(x2-2x+2)-12 Bài 2:(4,5điểm). Cho biểu thức : A = a) Rút gọn biểu thức A. b) Tìm giá trị của x để A = . c) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức A. Bài 3:(4,5điểm). a) Giải phương trình: b) Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình: 2x + 7xy + 6y = 60 c) Cho a; b; c là các số thuộc đoạn   1; 2 thỏa mãn: a2 + b2 + c2 = 6. Chứng minh rằng: a + b + c  0. Bài 4:(6điểm). Cho nửa đường tròn tâm O đường kính AB. Qua điểm M thuộc nửa đường tròn kẻ tiếp tuyến d của nửa đường tròn đó. Gọi D, C theo thứ tự là hình chiếu của A và B xuống d, gọi H là hình chiếu của M xuống AB. Chứng minh rằng: a) b) c) MC = MD. AM là tia phân giác của góc BAD; BM là phân giác của góc ABC. MH2 = AD.BC. Xác định vị trí của M để tích AD.BC đạt giá trị lớn nhất và tìm giá trị đó. Bài 5 : (2,0 điểm). Cho x, y là hai số khác 0. Chứng minh rằng: Họ và tên thí sinh:..............................................................................................Số báo danh....................... PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO BÁ THƯỚC KÌ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 9 THCS CẤP HUYỆN NĂM HỌC 2014 - 2015 HƯỚNG DẪN CHẤM MÔN TOÁN 9 - Hướng dẫn này có 5 trang. - Đây là hướng dẫn chấm, Giám khảo phải căn cứ vào bài làm của học sinh để chấm điểm. Mọi cách giải khác nếu đúng vẫn cho điểm tối đa. - Nếu bài hình vẽ sai cơ bản thì không chấm bài hình. - Điểm của bài thi là tổng các điểm thành phần không làm tròn. Câu Ý I 1 (4,5đ ) (2đ) Đáp án và hướng dẫn chấm Điể m Giải và biện luận bất phương trình: m2x-3 9x+m <=> (m2 - 9)x  m + 3 <=> (m - 3)(m + 3)x  m + 3. 0,25 + Với m = 3 bất phương trình trở thành : 0x  3 . Vô nghiệm. 0,25 + Với m =-3 bất phương trình trở thành: 0x 0. Đúng với mọi x  R. 0,25 + Với m2 - 9 > 0 <=> m > 3 <=> m>3 0,25 m < - 3. Bất phương trình có nghiệm là: x  1 . m 3 0,25 0,25 + Với m2 - 9 < 0 <=> m < 3 <=> -3 < m < 3 . 0,25 1 Bất phương trình có nghiệm là x  . m 3 Vậy : + Với m = 3 bất phương trình vô nghiệm. + Với m = -3 bất phương trình đúng với mọi x R. + Với m > 3 hoặc m < - 3. BPT có nghiệm là: x  1 m 3 + Với -3< m < 3 . Bất phương trình có nghiệm là 0,25 x  1 m 3 (x-1)2(x2-2x+2)-12 2 (2đ) Ta có: (x-1)2(x2-2x+2)-12 = (x-1)2(x2-2x+1+1)-12 = (x-1)2[(x-1)2+1]-12 Đặt (x-1)2 = t. Đa thức đã cho trở thành t(t+1)-12 = t2+t-12 = (t-3)(t+4) = Đkxđ: x = (x-10; x )(x-1+ 9. )(x2-2x+5) 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta có: A = 1 = (1,5đ ) 0,5 0,5 II (4,0đ A= 2 (1,5đ ) 0,5  x = 36. A lớn nhất  (1,5đ ) 1 0,5  3 III 0,5  0,5 nhỏ nhất 0,5  0,5  x = 0. Điều kiện 0,25 2 (4,5đ (1,5đ Áp dụng BĐT (ax + by) ) ) Nên vế trái còn vế phải (a2 + b2)(x2 + y2) x2 - 6x +13 = (x - 3)2 + 4 0,25 0,25 4 0,25 Dấu “=” xảy ra khi x = 3 Để 0,25 thì x2 - 6x +13 = 4 x = 3 . Ta thấy x = 3 thoả mãn điều kiện. Vậy nghiệm của phương trình là x = 3 0,25 Phương trình tương đương với: 2(x + 4xy + 4y ) - (xy + 2y ) = 60 0,5 2(x + 2y) - y(x + 2y) = 60 (x + 2y)(2x + 3y) = 60 Đặt 2 (1,5) . Ta có mn = 60 (I) (1) (I) (2) 0,5 0,5 Do điều kiện x  0 và y  0, từ (1) và (2) ta có: hay Nhân các vế với n > 0 và áp dụng mn = 60 ta có 90 n < 120 mà n nguyên n =10 m=6 x=y=2 Kết luận: Phương trình đã cho có 1 nghiệm nguyên dương: x = y=2 3 Do a; b; c thuộc đoạn   1; 2 nên a + 1  0; a – 2  0 0,5 => (a + 1)(a – 2)  0 hay: a2 – a – 2  0  a2  a + 2 0,25 Tương tự: b2  b + 2; c2  c + 2 0,25 2 2 2 2 2 2 (1,5đ Ta có: a + b + c  a + b + c + 6 theo đầu bài: a + b + c = 6 ) nên: a + b + c  0 IV 1 (6,0đ ) (2đ) 2 (2đ) Ta có: AD// OM// BC ( Vì cùng vuông góc với d) Mà OB = OA => MC = MD Ta có: DAM = AMO ( So le trong) AMO = MAO ( Do AMO cân đỉnh O ) => DAM = MAO => AM là tia phân giác của DAB. Chứng minh tương tự ta củng có BM là tia phân giác của ABC. 0,5 0,75 0,75 0,5 0,5 0,5 0,5 Ta cã: AMD = AMH ( 2 tam gi¸c vu«ng cã c¹nh huyÒn chung vµ gãc nhän b»ng nhau) => AD = AH. d 0,25 C Tương tự: BMC = BMH => BC = BH M => AD.BC = AH.BH Lại có: Trong (1) D Là trung tuyến ứng với cạnh AB và MO = 0,25 AMB có MO AB => A H O B AMB vuông tại M. Theo hệ thức lượng trong tam giác vuông ta có: MH2 = AH.BH (2) 0,25 0,25 Từ (1),(2) => MH2 = AD.BC 3 + Ta có: MH MO (= 0,25 AB) (không đổi) (2đ) 0,25 => MH 2 2 AB => AD.BC Dâú “=” xãy ra khi H AB 2 O <=> M là điểm chính giữa của nữa đường tròn. Vậy tích AD.BC có giá trị lớn nhất là là điểm chính giữa của nữa đường tròn. Sử dụng (a - b)2 0 <=> a2 + b2 Ta có: 2ab 0,25 AB2, khi M 0,25 0,25 (1) 0,25 Tương tự : V Cộng vế với vế (1), (2), (3) ta được 0,25 (2,0đ ) 0,25 Vậy Dấu “=” xãy ra khi x = y. với x, y khác 0. 0,25 0,25