Đề 59-ÔN TẬP FULL LỚP 12

ĐỀ SỐ 59 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: FULL KIẾN THỨC TOÁN 12+ Câu 1. Cho hàm số y = f ( x ) liên tục trên và có bảng biến thiên sau Khẳng định nào sau đây là đúng? A. Hàm số đạt cực đại tại x = 3 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 2 . C. Hàm số đạt cực đại tại x = −2 . D. Hàm số đạt cực đại tại x = 4 . Câu 2. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau. Tổng các giá trị nguyên của m để đường thẳng y = m −1 cắt đồ thị hàm số y = f ( x ) tại ba điểm phân biệt bằng A. 6 . B. 1 . C. 0 . D. 3 . Câu 3. Tìm phương trình mặt cầu có tâm là điểm I (1; 2;3) và tiếp xúc với trục Oz . A. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 5 . B. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 13 . C. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 14 . D. ( x − 1) + ( y − 2 ) + ( z − 3) = 10 . 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Câu 4. Cho hàm số y = f ( x) có bảng biến thiên như sau: Tổng số đường tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị hàm số đã cho là A. 2 . B. 3 . C. 4 . D. 1 . Câu 5. Trong không gian Oxyz , gọi  là góc giữa hai vectơ a và b , với a và b khác 0 , khi đó cos  bằng HOÀNG XUÂN NHÀN 623 A. a.b . B. a.b a.b a.b . C. a.b a+b . D. a.b . a.b Câu 6. Rút gọn biểu thức P = 3 x 5 4 x với x  0 . 20 7 20 12 A. P = x 21 . B. P = x 4 . C. P = x 7 . Câu 7. Hình bên là đồ thị của hàm số nào trong các hàm số được liệt kê ở bốn phương án A, B, C, D dưới đây? A. y = − x3 + 3x −1 . D. P = x 5 . B. y = − x3 − 3x + 1 . C. y = x3 − 3x + 1 . D. y = x3 + 3x + 1 . Câu 8. Số tiệm cận của đồ thị hàm số y = Câu 9. Câu 10. Câu 11. Câu 12. Câu 13. Câu 14. 4 − x2 là x+3 A. 0 . B. 1 . 2 C. . D. 3 . Tìm tất cả các giá trị của m để phương trình 2025x = m có nghiệm thực. A. m  1 . B. m  0 . C. m  0 . D. m  0 . Có bao nhiêu cách chọn hai học sinh từ nhóm 41 học sinh? A. 412 . B. A412 . C. 2 41 . D. C 412 . Trong không gian Oxyz , cho các điểm A(4; −3;2) , B(6;1; −7) , C (2;8; −1) . Viết phương trình đường thẳng đi qua gốc tọa độ O và trọng tâm G của tam giác ABC . x y z x y z x y z x y z A. = . B. = = . C. = = . D. = = . = 2 −1 −1 2 1 −1 2 3 −1 4 1 −3 Tính thể tích khối chóp tứ giác đều cạnh đáy bằng a , chiều cao bằng 3a . a3 3 a3 3 a3 A. . B. . C. . D. a 3 . 12 4 3 1 Tìm họ nguyên hàm của hàm số y = . sin 2 x.cos 2 x A. 2cot 2x + C . B. − cot 2x + C . C. cot 2x + C . D. −2cot 2x + C . Trong không gian Oxyz , điểm nào dưới đây nằm trên mặt phẳng ( P ) : 2 x − y + z − 2 = 0 . A. Q (1; −2; 2 ) . B. N (1; −1; −1) . 1  Câu 15. Cho biết   2 f ( x ) −  dx = 2a với a  x 2022  C. P ( 2; −1; −1) . 4044 4044 , khi đó  D. M (1;1; −1) . f ( x ) dx bằng: 2022 1 1 C. a + ln 2 . D. a + ln 2 . 2 4 2 3 10 Câu 16. Cho tập hợp A = 10;10 ;10 ;...10  . Gọi S là tập các số nguyên có dạng log100 m với m  A . Tính A. a + ln 2 . B. a − ln 2 . tích các phần tử của tập S . A. 60 B. 24 Câu 17. Tính đạo hàm của hàm số y = ln ( sin x ) . A. y ' = 1 . sin x B. y ' = −1 . sin 2 x C. 120 D. 720 . C. y ' = tan x . D. y ' = cot x . HOÀNG XUÂN NHÀN 624 Câu 18. Cho đồ thị hàm số y = f ( x ) . Diện tích S của hình phẳng (phần tô đậm trong hình vẽ) là 1 3 A. S = −  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . 0 1 1 3 0 3 1 B. S =  f ( x ) dx −  f ( x ) dx . C. S =  f ( x ) dx . 0 1 3 0 1 D. S =  f ( x ) dx +  f ( x ) dx . Câu 19. Cho cấp số cộng ( un ) , biết u2 = 3 và u4 = 7 . Giá trị của u15 bằng A. 27 . B. 31 . C. 35 . D. 29 . Câu 20. Thể tích của khối nón có chiều cao bằng 4 và đường sinh bằng 5 bằng A. 16 . B. 48 . C. 12 . D. 36 . 2 2 Câu 21. Tích phân  dx bằng. 2x +1 0 1 A. 2ln 5 . B. ln 5 . C. ln 5 . D. 4ln 5 . 2 Câu 22. Tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x3 − 3x2 + 1 có hệ số góc nhỏ nhất là đường thẳng A. y = 0 . B. y = −3x − 2 . C. y = x . D. y = −3x + 2 . Câu 23. Số giao điểm của đồ thị hàm số y = − x4 + x2 + 2024 và trục hoành là A. 2. B. 4. C. 3. D. 1. 1 2 Câu 24. Hàm số y = ( x + 1) xác định khi A. x  −1 . B. x  . C. x  1 . D. x  −1. m Câu 25. Nếu  ( 2 x − 1) dx = 2 thì m có giá trị bằng 0 m = 1  m = −1 m = 1  m = −1 A.  . B.  . C.  . D.  . m = 2 m = 2  m = −2  m = −2 Câu 26. Cho hình nón có bán kính đáy R , đường cao h . Diện tích xung quanh của hình nón này là A.  Rh . B. 2 Rh . C.  R R 2 + h 2 . Câu 27. Tập nghiệm của bất phương trình log 22 x − 3log 2 x + 2  0 là A. ( 2; 4 ) . B. (1; 4 ) . C. (1; 2 ) . D. 2 R R 2 + h 2 . D. ( 0; 2 ) .  sin 2 x + sin x dx . Thực hiện phép biến đổi t = 1 + 3cos x , ta có thể đưa I về dạng 1 + 3cos x 0 2 Câu 28. Cho tích phân I =  nào sau đây? 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 A. I =  ( 2t + 1) dt . B. I =  ( t + 2 ) dt . C. I =  ( 2t + 1) dt . D. I =  ( t 2 + 2 ) dt . 9 9 9 9 2 2 1 1 Câu 29. Xét hình trụ T có thiết diện qua trục của hình trụ là hình vuông cạnh bằng a . Tính diện tích toàn phần S của hình trụ. HOÀNG XUÂN NHÀN 625  a2 3 a 2 . 2 2 Câu 30. Cho a là một số thực dương khác 1 . Có bao nhiêu mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau? 1. Hàm số y = loga x có tập xác định là D = ( 0; +  ) . A. S = 4 a 2 . B. S =  a2 . C. S = . D. S = 2. Hàm số y = loga x đơn điệu trên khoảng ( 0; +  ) . 3. Đồ thị hàm số y = loga x và đồ thị hàm số y = a x đối xứng nhau qua đường thẳng y = x . 4. Đồ thị hàm số y = loga x nhận trục Ox là một tiệm cận. A. 3 . B. 1 . C. 4 . D. 2 . 4 2 Câu 31. Điều kiện cần và đủ để hàm số y = ax + bx + c có hai điểm cực đại và một điểm cực tiểu là A. a  0 , b  0 . B. a  0 , b  0 . C. a  0 , b  0 . D. a  0 , b  0 . Câu 32. Trong không gian Oxyz , cho mặt phẳng ( ) : 3x − 2 y + z + 6 = 0 . Hình chiếu vuông góc của điểm A ( 2; −1;0 ) lên mặt phẳng ( ) có tọa độ là A. (1; 0;3) . B. ( 2; −2;3 ) . C. (1;1; −1) . D. ( −1;1; −1) . Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ, cho điểm M như hình vẽ bên là điểm 2 biểu diễn của số phức z . Tính (1 + z ) A. (1 + z ) = −2i . 2 B. (1 + z ) = −8i . 2 C. (1 + z ) = −1 + i . 2 D. (1 + z ) = −2 + 2i . 2 Câu 34. Cho hình chóp S.ABC có SA = a 3 , SA vuông góc với mặt phẳng ( ABC ) , tam giác ABC vuông tại B, AB = a , tam giác SBC cân. Thể tích khối chóp S.ABC bằng A. 2a 3 3 . 3 B. a3 3 . C. a3 3 . 3 D. a3 3 . 6 1 = 2 log 7 a − 6 log 49 b . Khi đó giá trị của x là x b3 a2 A. x = 2a − 3b . B. x = 2 . C. x = 3 . D. x = a 2b3 . a b Câu 36. Cho tứ diện ABCD có AB, AC, AD đôi một vuông góc với nhau và AB = AC = AD . Góc giữa CD và ( ABC ) bằng Câu 35. Cho x, a, b là các số thực dương thỏa mãn log 7 A. 450. B. 300. Câu 37. Cho số phức z = a + bi với a, b C. 600. D. 900. thỏa mãn (1 + i ) z + ( 2 − i ) z = 13 + 2i . Tính tổng a + b A. a + b = 1 . B. a + b = −2 . C. a + b = 2 . D. a + b = 0 . Câu 38. Tính diện tích mặt cầu ngoại tiếp một hình lăng trụ tam giác đều có các cạnh đều bằng a . 7 a 2 7 a 2 7 a 2 3 a 2 A. . B. . C. . D. . 3 6 5 7 Câu 39. Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn: z + 2 − i = 4 là đường tròn có tâm I và bán kính R lần lượt là: A. I ( −2; −1) ; R = 4 . B. I ( −2; −1) ; R = 2 . C. I ( 2; −1) ; R = 4 . D. I ( 2; −1) ; I ( 2; −1) . HOÀNG XUÂN NHÀN 626 Câu 40. Cho khối lăng trụ ABCD. ABCD có thể tích bằng 12 , đáy ABCD là hình vuông tâm O . Thể tích của khối chóp A.BCO bằng A. 1 . B. 4 . C. 3 . D. 2 .  ln ( sin x + 15cos x ) dx = a + b ln 2 + c ln 3 + d ln 5 , trong đó a, b, c, d  2 cos x 0 4 Câu 41. Biết rằng tích phân I =  Tính T = a + b + c + d . 133 A. T = . 4 135 195 . D. . 4 4 x −1 y + 2 z Câu 42. Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : và cắt hai đường thẳng = = 1 1 −1 x +1 y +1 z − 2 x −1 y − 2 z − 3 d1 : = = = = ; d2 : là: 2 1 −1 −1 1 3 x +1 y +1 z − 2 x −1 y z −1 A. . B. . = = = = −1 −1 1 1 1 −1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y z −1 C. . D. . = = = = 1 1 −1 1 −1 1 Câu 43. Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 (cm) . Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 (cm) . Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? A. 373 (m) . B. 187 (m) . C. 384 (m) . D. 192 (m) . B. T = 313 . 4 . C. T = Câu 44. Cho hàm số y = x4 + 2mx2 + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = −3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1 , là khoảng ( a; b ) (với a, b ; a , b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. −63 . B. 63 . C. 95 . D. −95 . HOÀNG XUÂN NHÀN 627 Câu 45. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng ( C ) đi qua điểm A ( −1;0 ) . Biết tiếp tuyến d tại A của ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 ; đồng thời diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường 28 thẳng d , đồ thị ( C ) và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 có bằng (phần 5 tô màu trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, ( C ) và hai đường thẳng x = −1 , x = 0 bằng 2 1 A. . B. . 5 4 2 1 C. . D. . 9 5 Câu 46. Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC = 3BM 3 , BD = BN , AC = 2 AP . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích là 2 V V1 , V2 với V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số 1 . V2 V V V V 15 26 26 3 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 13 V2 19 V2 19 V2 19 Câu 47. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f ( x ) + f  ( x )  1 , x  và f ( 0 ) = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của f (1) . 2e − 1 e −1 . B. . C. e − 1 . D. 2e − 1 . e e Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( 2;3; 4 ) . Một mặt cầu ( S ) bán kính R luôn tiếp A. xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng AB luôn nằm trong ( S ) (mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong ( S ) ). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là: A. 4. B. 6. C. 5. D. 3. Câu 49. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 10 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức m m với m, n nguyên dương và tối giản. Tổng F = 5log a.log b + 2log b.log c + log c.log a bằng n n m + n bằng A. 7 . B. 10 . C. 13 . D. 16 . Câu 50. Cho hàm số đa thức f ( x ) có đạo hàm trên . Biết f ( −2 ) = 0 và đồ thị của hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = 4 f ( x ) − x 2 + 4 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. __________________HẾT__________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 628 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 59 1 B 11 B 21 C 31 A 41 A 2 C 12 D 22 D 32 D 42 B 3 A 13 D 23 A 33 A 43 A 4 C 14 B 24 A 34 C 44 C 5 A 15 D 25 C 35 B 45 D 6 B 16 C 26 C 36 A 46 B 7 C 17 D 27 A 37 A 47 B 8 A 18 B 28 C 38 A 48 A 9 C 19 D 29 D 39 A 49 A 10 D 20 C 30 A 40 A 50 B Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 59  ln ( sin x + 15cos x ) dx = a + b ln 2 + c ln 3 + d ln 5 , trong đó a, b, c, d  2 cos x 0 4 Câu 41. Biết rằng tích phân I =  Tính T = a + b + c + d . 133 A. T = . 4 B. T = 313 135 . C. T = . 4 4 Hướng dẫn giải: D. . 195 . 4 cos x − 15sin x  dx u = ln ( sin x + 15cos x ) du = sin x + 15cos x   Đặt  .  1 dx dv = v = tan x + 15 = sin x + 15cos x 2 cos x  cos x  C =15   cos x − 15sin x dx cos x 0 4 Khi đó: I = ( tan x + 15) ln ( sin x + 15cos x ) 04 −    4 4  4 d ( cos x ) sin x  dx = 16 ln 8 2 − 15ln15 − − 15  cos x 4 cos x 0 0 = 16 ln 8 2 − 15ln15 −  dx + 15  0 = 16 ln 8 2 − 15ln15 − 7 2  4 − 15ln cos x  4 0 = 16 ln 8 2 − 15ln15 −  4 − 15ln 1 2 1 − 2 1 = −  + 16 ln 2 − 15ln 5 − 15ln 3 − 15ln 2 4 1 127 =−  + ln 2 − 15ln 3 − 15ln 5. 4 2 1 127 133 Choïn → , c = −15, d = −15 . Vậy T = a + b + c + d = Suy ra a = − , b = . ⎯⎯⎯ 4 2 4 A HOÀNG XUÂN NHÀN 629 Câu 42. Phương trình đường thẳng song song với đường thẳng d : x −1 y + 2 z và cắt hai đường thẳng = = 1 1 −1 x +1 y +1 z − 2 x −1 y − 2 z − 3 ; d2 : là: = = = = 2 1 −1 −1 1 3 x +1 y +1 z − 2 x −1 y z −1 A. . B. . = = = = −1 −1 1 1 1 −1 x −1 y − 2 z − 3 x −1 y z −1 C. . D. . = = = = 1 1 −1 1 −1 1 Hướng dẫn giải: d1 : Vectơ chỉ phương của d là ud = (1;1; −1) . Gọi  là đường thẳng cần tìm. Gọi A ( −1 + 2a; −1 + a; 2 − a ) = d1  , B (1 − b; 2 + b;3 + 3b ) = d 2   . Suy ra: AB = ( −b − 2a + 2; b − a + 3;3b + a + 1) . Vì  song song với d nên AB cùng phương với ud , −b − 2a + 2 b − a + 3 3b + a + 1 suy ra: = = 1 1 −1  −b − 2a + 2 = b − a + 3 a = 1  A (1;0;1)    . B 2;1;0 ( ) b − a + 3 = −3b − a − 1 b = −1   Phương trình chính tắc của Δ qua A và có vectơ chỉ x − 1 y z − 1 Choïn →B = = . ⎯⎯⎯ 1 1 −1 Câu 43. Một tấm đề can hình chữ nhật được cuộn tròn lại theo chiều dài tạo thành một khối trụ có đường kính 50 (cm) . Người ta trải ra 250 vòng để cắt chữ và in tranh cổ động, phần còn lại là một khối trụ có đường kính 45 (cm) . Hỏi phần đã trải ra dài bao nhiêu mét (làm tròn đến hàng đơn vị)? phương u = (1;1; −1) là  : A. 373 (m) . B. 187 (m) . C. 384 (m) . Hướng dẫn giải: D. 192 (m) . ☺ Cách giải 1: Gọi a là bề dày của tấm đề can, sau mỗi vòng được quấn thì đường kính của vòng 50 − 45 = 0, 01 (cm) . mới sẽ được tăng lên 2a. Vì vậy: 2a  250 = 50 − 45  a = 2  250 Gọi l là chiều dài đã trải ra và h là chiều rộng của tấm đề can (tức chiều cao hình trụ). 2 2  ( 502 − 452 ) Choïn  50   45  →A Khi đó ta có: lha =    h −    h  l =  37306 (cm)  373 (m) . ⎯⎯⎯ 4a  2  2  HOÀNG XUÂN NHÀN 630 ☺ Cách giải 2: Gọi a là bề dày của tấm đề can, sau mỗi vòng được quấn thì đường kính của vòng 50 − 45 mới sẽ được tăng lên 2a. Vì vậy: 2a  250 = 50 − 45  a = = 0, 01 (cm) . 2  250 Chiều dài của phần trải ra là tổng chu vi của 250 đường tròn có bán kính là một cấp số cộng có số hạng đầu bằng r1 = 25 , công sai là d = −0,01 (do khi trải ra thì bán kính các vòng tròn ngày càng giảm với độ giảm bằng bề dày của tấm đề can). Do đó chiều dài của phần đề can đã trải ra là:   (2r + 249d ).250 250 l = 2  r1 + r2 + ... + r250  = 2 . 1 = 2 (2.25 − 249.0, 01)  37314 (cm)  373 (m) .   2 2 S250   4 Câu 44. Cho hàm số y = x + 2mx2 + m (với m là tham số thực). Tập tất cả các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số đã cho cắt đường thẳng y = −3 tại bốn điểm phân biệt, trong đó có một điểm có hoành độ lớn hơn 2 còn ba điểm kia có hoành độ nhỏ hơn 1 , là khoảng ( a; b ) (với a, b ; a , b là phân số tối giản). Khi đó, 15ab nhận giá trị nào sau đây? A. −63 . B. 63 . C. 95 . Hướng dẫn giải: D. −95 . Xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: x4 + 2mx2 + m = −3 (1) . Đặt t = x2 , t  0 . Khi đó phương trình trở thành t 2 + 2mt + m + 3 = 0 ( 2 ) . f (t ) Phương trình (1) có bốn nghiệm phân biệt  Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm thỏa mãn  (1) = m 2 − m − 3  0  1 − 13 0  t1  t2   S(1) = −2m  0  −3  m  (*). 2  P = m + 3  0 Khi đó, bốn nghiệm của phương trình (1) là: − t2  − t1  t1  t2 . x1 x2 x3 x4  t2  2  f (1)  0 3m + 4  0 19  Từ giả thiết, ta có  hay t1  1  4  t2 . Suy ra:   m− (**) . 9 9m + 19  0  f ( 4 )  0  t1  1 19 19 Choïn →C Từ (*) và (**) suy ra: −3  m  − . Do đó: a = −3 , b = − nên 15ab = 95 . ⎯⎯⎯ 9 9 Câu 45. Cho hàm số y = ax4 + bx2 + c có đồ thị ( C ) , biết rằng ( C ) đi qua điểm A ( −1;0 ) . Biết tiếp tuyến d tại A của ( C ) cắt ( C ) tại hai điểm có hoành độ lần lượt là 0 và 2 ; đồng thời diện tích hình phẳng 28 giới hạn bởi đường thẳng d , đồ thị ( C ) và hai đường thẳng x = 0 , x = 2 có bằng (phần tô màu 5 trong hình vẽ). Diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, ( C ) và hai đường thẳng x = −1 , x = 0 bằng HOÀNG XUÂN NHÀN 631 A. 2 . 5 B. 1 . 4 C. 2 . 9 D. 1 . 5 Hướng dẫn giải: Ta có: y = 4ax3 + 2bx ; tiếp tuyến của (C) tại A là d : y = ( −4a − 2b )( x + 1) . Phương trình hoành độ giao điểm của d và ( C ) là: ( −4a − 2b )( x + 1) = ax 4 + bx 2 + c (1) . Theo giả thiết, ta có: Phương trình (1) nhận x = 0 , x = 2 làm nghiệm (ngoài một nghiệm là x = −1 )  −4a − 2b = c  −4a − 2b − c = 0 ( 2 )  .  −12a − 6b = 16a + 4b + c  28 a + 10 b + c = 0 3 ( )  2 Mặt khác, diện tích phần tô màu là: 28 = ( −4a − 2b )( x + 1) − ax 4 − bx 2 − c  dx 5 0  2  ax5 bx3  28 28 32 8 2 2 = 4 ( −4a − 2b ) − a − b − 2c = ( −2a − b )( x + 1) −  + + cx   0 5 5 3 5 3  5 0  112 32 28 a + b + 2c = − 5 3 5 ( 4) . Từ (2), (3), (4) suy ra a = 1 , b = −3 , c = 2 . Khi đó ta xác định được ( C ) : y = x 4 − 3 x 2 + 2 và d : y = 2 ( x + 1) . 0 0  (x − 3x 2 − 2 x ) dx = 1 Choïn →D . ⎯⎯⎯ 5 −1 −1 Câu 46. Cho tứ diện ABCD , trên các cạnh BC , BD , AC lần lượt lấy các điểm M , N , P sao cho BC = 3BM 3 , BD = BN , AC = 2 AP . Mặt phẳng ( MNP ) chia khối tứ diện ABCD thành hai phần có thể tích là 2 V V1 , V2 với V1 là thể tích khối đa diện chứa đỉnh B. Tính tỉ số 1 . V2 V V V V 15 26 26 3 A. 1 = . B. 1 = . C. 1 = . D. 1 = . V2 13 V2 19 V2 19 V2 19 Diện tích cần tìm là S =   x 4 − 3x 2 + 2 − 2 ( x + 1)  dx = 4 HOÀNG XUÂN NHÀN 632 Hướng dẫn giải: Đặt V = VABCD ; trong (BCD), gọi I = MN  CD ; trong (ACD), gọi Q = IP  AD , suy ra Q = AD  ( MNP ) . Mặt phẳng ( MNP ) cắt tứ diện ABCD theo thiết diện là tứ giác MNQP . Áp dụng định lí Menelaus trong các tam giác BCD và NB ID MC ID ID 1 . . = 1  2. .2 = 1  ACD ta có: = ; ND IC MB IC IC 4 ID PC QA 1 QA QA . . = 1  .1. =1  =4 . IC PA QD 4 QD QD Ta có tỉ số thể tích: VANPQ VANCD = V AP AQ 1 4 2 DN 1 2 . = . =  VANPQ = VANCD mà ANCD = = AC AD 2 5 5 V DB 3 5 1 2 1 2 1  VANCD = V ; do vậy VANPQ = V . Suy ra VN .PQDC = V − V = V . 15 3 15 5 3 Bên cạnh đó: VCMNP CM CP 2 1 1 1 2 1 = . = . =  VCMNP = VCBNA mà VCBNA = V − VANCD = V − V = V . VCBNA CB CA 3 2 3 3 3 3 1 2 19 2 Vì vậy VCMNP = V . Ta có: V2 = VN .PQDC + VCMNP = V + V = V . 5 9 45 9 V 26 26 Choïn →B Do đó V1 = V − V2 = V . Vậy 1 = . ⎯⎯⎯ V2 19 45 Câu 47. Cho hàm số f ( x ) có đạo hàm liên tục trên thỏa mãn f ( x ) + f  ( x )  1 , x  và f ( 0 ) = 0 . Tìm giá trị lớn nhất của f (1) . A. 2e − 1 . e B. e −1 . e C. e − 1 . D. 2e − 1 . Hướng dẫn giải: , f ( x ) + f  ( x )  1  e x f ( x ) + e x f  ( x )  e x   e x f ( x )   ( e x ) 1 1 1 1 e −1  x   .   e f ( x )  dx   ( e x ) dx  e x f ( x )   e x 0  e. f (1)  e − 1  f (1)  0 e 0 0 Ta có: x  e −1 Choïn →B . ⎯⎯⎯ e Câu 48. Trong không gian Oxyz , cho hai điểm A (1; 2;3) , B ( 2;3; 4 ) . Một mặt cầu ( S ) bán kính R luôn tiếp Do đó giá trị lớn nhất của f (1) là xúc với ba mặt phẳng tọa độ và đoạn thẳng AB luôn nằm trong ( S ) (mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong ( S ) ). Giá trị nguyên lớn nhất của R đạt được là: A. 4. B. 6. C. 5. Hướng dẫn giải: D. 3. Do mặt cầu luôn tiếp xúc với ba mặt phẳng tọa độ nên tọa độ tâm mặt cầu là I ( a, a, a ) , suy ra bán kính mặt cầu R = a . HOÀNG XUÂN NHÀN 633 Mặt khác, mọi điểm thuộc đoạn thẳng AB đều nằm trong mặt cầu ( S ) nên ta có: 2 2 2 2 2 2  2a 2 − 12a + 14  0   IA  R  IA  a (1 − a ) + ( 2 − a ) + ( 3 − a )  a  2  2   2 2 2 2 2 2a − 18a + 29  0  IB  a  IB  R 2 − a + 3 − a + 4 − a  a ( ) ( ) ( )    3 − 2  a  3 + 2 9 − 23    9 − 23   a  3+ 2 . 9 + 23 2  a   4,414   2 2  2,102 Choïn →A Giá trị nguyên lớn nhất của R là R = 4 . ⎯⎯⎯ Câu 49. Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn abc = 10 . Biết giá trị lớn nhất của biểu thức m m với m, n nguyên dương và tối giản. Tổng F = 5log a.log b + 2log b.log c + log c.log a bằng n n m + n bằng A. 7 . B. 10 . C. 13 . D. 16 . Hướng dẫn giải: Đặt x = log a, y = log b, z = log c . Suy ra x + y + z = log ( abc ) = log10 = 1 . Khi đó: F = 5 xy + 2 yz + zx = 5 xy + 2 y (1 − x − y ) + x (1 − x − y ) = −2 y 2 − x 2 + 2 xy + 2 y + x 2 ??? x 1 1 5 5 2  = −2 y 2 − x 2 + 2 xy + 2 y + x = −2 ( y 2 − xy − y ) − x 2 + x =− 2  y − −  − ( x − 2 ) +  2 2 2 2 2  3 5 Dấu “=” xảy ra  x = 2, y = , z = − . 2 2 m 5 Choïn →A Do đó: Fmax = =  m = 5, n = 2  m + n = 7 . ⎯⎯⎯ n 2  Lưu ý: Bằng cách nào ta có thể phân tích được các hằng đẳng thức như trên? ▪ Trước hết ta cần dự đoán được điểm rơi trong biểu thức F, mà biểu thức này vốn là hàm hai biến x, y; vì vậy ta sử dụng cách thức tìm cực trị của hàm hai biến:  Fx = −2 x + 2 y + 1 = 0 3 (*). Giải hệ (*), ta được: x = 2, y = .   2  Fy = −4 y + 2 x + 2 = 0 ▪ Từ đây, ta xây dựng được các hằng đẳng thức phù hợp cho đánh giá của mình. Câu 50. Cho hàm số đa thức f ( x ) có đạo hàm trên . Biết f ( −2 ) = 0 và đồ thị của hàm số y = f  ( x ) như hình vẽ. Hàm số y = 4 f ( x ) − x 2 + 4 có bao nhiêu điểm cực trị? A. 3. B. 5. C. 4. D. 2. HOÀNG XUÂN NHÀN 634 Hướng dẫn giải:  Ghi nhớ: Số điểm cực trị của hàm số y = f ( x ) bằng số cực trị của hàm số y = f ( x ) cộng  y = f ( x ) với số giao điểm (không kể tiếp điểm) hai đồ thị hàm số  .  y = 0 (Oy ) Đặt g ( x ) = 4 f ( x ) − x 2 + 4 , suy ra g( x) = 4 f ( x) − 2x ;  x = −2 x g( x) = 0  f ( x) =  x = 0 .  2  x = 4 Do vậy, hàm số g ( x ) có ba cực trị (*). Ta có: g ( −2 ) = 4 f ( −2 ) − ( −2 ) + 4 = 0 . 2 Từ đồ thị ta so sánh các phần diện tích và thấy S2  S1 . x x x  x    0  f  ( x ) − 2  dx  −2  2 − f  ( x ) dx  0  f  ( x ) − 2  dx + −2  f  ( x ) − 2  dx  0 4 Suy ra: 0 4 0 4 x     f  ( x ) −  dx  0   ( 4 f  ( x ) − 2 x ) dx  0  g ( 4 ) − g ( −2 )  0  g ( 4 )  g ( −2 ) = 0 . 2 −2 −2  Bảng biến thiên hàm g ( x ) và g ( x ) : 4 Theo bảng biến thiên, ta thấy đồ thị hàm số y = g ( x ) có hai giao điểm với trục Oy (không tính tiếp xúc) (**). Choïn →B Từ (*) và (**) suy ra số cực trị của hàm số y = g ( x ) là: 3 + 2 = 5. ⎯⎯⎯ HOÀNG XUÂN NHÀN 635