ĐỀ 12-TỔNG HỢP HÀM SỐ-KHỐI ĐA DIỆN

ĐỀ SỐ 12 ĐỀ RÈN LUYỆN MÔN TOÁN 12 HƯỚNG ĐẾN KÌ THI THPT QUỐC GIA Trắc nghiệm: 50 câu Thời gian: 90 phút Nội dung: TỔNG HỢP HÀM SỐ - KHỐI ĐA DIỆN Câu 1. Cho hàm số có bảng biến thiên như sau Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây? A. (1; + ) . B. ( −3; + ) . C. ( −1;1) . D. ( −;1) . 2x − 3 là: x −1 A. y = 2 . B. y = 1. C. x = 1 . Câu 3. Thể tích của khối lăng trụ có chiều cao bằng h và diện tích đáy bằng B là 1 1 A. V = Bh . B. V = 2Bh . C. V = Bh . 6 3 Câu 4. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau Câu 2. Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = D. x = 2 . D. V = Bh . Số nghiệm của phương trình 2 f ( x ) − 11 = 0 bằng A. 3 . B. 2 . C. 0 . 4 2 Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = x − 2 x − 3 trên đoạn  −1; 2  bằng D. 4 . A. −4 . B. 0 . C. 5 . Câu 6. Đồ thị của hàm số nào trong các hàm số dưới đây có tiệm cận đứng? 1 1 2 . A. y = 2 . B. y = C. y = 2 . x +1 x −x+2 x Câu 7. Trong các hàm số sau, hàm số nào nghịch biến trên ( −; + ) ? D. −3 . A. y = − x4 + 3x2 − 2x + 1 . B. y = D. y = 3 . x +1 4 x +1 . 2x − 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 123 Câu 8. Câu 9. Câu 10. Câu 11. Câu 12. Câu 13. C. y = − x3 + x2 − 2x + 1 . D. y = x3 + 3 . Cho khối chóp có diện tích đáy bằng a 2 và chiều cao bằng 2a . Thể tích của khối chóp đã cho bằng 2a 3 A. . B. 2a3 . C. 4a3 . D. a 3 . 3 2x +1 Cho hàm số y = . Tích giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số đã cho trên đoạn  −1; 0  x −1 bằng 3 −1 A. . B. 2 . C. . D. 0 . 2 2 Cho khối lăng trụ có đáy là hình vuông cạnh a và chiều cao bằng 3a . Thể tích của khối lăng trụ đã cho bằng 4 A. a 3 . B. 4a3 . C. a 3 . D. 3a3 . 3 Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây? x−2 A. y = . x +1 x+2 B. y = . x +1 x+2 C. y = . x −1 2x − 4 D. y = . x +1 2x Đồ thị hàm số y = có số đường tiệm cận là x2 −1 A. 2 . B. 1 . C. 3 . D. 4 . Cho hình chóp S.ABC có SA, AB, BC đôi một vuông góc với nhau. Tính thể tích khối chóp S.ABC , biết SA = a 3, AB = BC = a . 3a 3 3a 3 3a 3 . B. V = . C. V = . 9 2 6 Câu 14. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Số giá trị nguyên của A. V = D. V = 3a 3 . 3 tham số m để đường thẳng y = m cắt đồ thị hàm số đã cho tại ba điểm phân biệt là A.Vô số. B. 3 . C. 0. D. 5 . 2 Câu 15. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm f  ( x ) = x ( x + 3)( x − 1) . Số điểm cực trị của hàm số bằng A. 0 . B. 2 . C. 3 . D. 1 . Câu 16. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình cos2 x = m −1 có nghiệm. A. 1  m  2 . B. m  2 . C. 1  m  2 . D. m  1 . Câu 17. Mỗi đỉnh của hình đa diện là đỉnh chung của ít nhất bao nhiêu mặt? HOÀNG XUÂN NHÀN 124 A. Năm mặt. B. Bốn mặt. C. Ba mặt. ax + b Câu 18. Đường cong ở hình dưới đây là đồ thị của hàm số y = , với cx + d a, b, c, d là các số thực. Mệnh đề nào dưới đây đúng? A. y  0, x  . B. y  0, x  1. C. y  0, x  . D. y  0, x  1. D. Hai mặt Câu 19. Số điểm cực trị của đồ thị hàm số y = − x4 −1 là A. 2 . B. 0 . C. 1 . D. 3 . Câu 20. Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC có BB = a , đáy ABC là tam giác vuông cân tại B và AB = a . Tính thể tích V của khối lăng trụ đã cho. a3 a3 a3 A. V = . B. V = . C. V = . D. V = a3 . 2 6 3  x2 −1 khi x  1  Câu 21. Cho bốn hàm số f1 ( x ) = x − 1 ; f 2 ( x ) = x ; f3 ( x ) = tan x ; f 4 ( x ) =  x − 1 . Hỏi trong bốn 2 khi x = 1  hàm số trên có bao nhiêu hàm số liên tục trên ? A. 1 . B. 2 . C. 3 . D. 4 . 3 Câu 22. Nếu khối hộp chữ nhật có thể tích và chiều cao lần lượt bằng 9a và a thì chu vi đáy nhỏ nhất bằng bao nhiêu? A. 4a 3 . B. 12a . C. 6a . D. a 3 . Câu 23. Cho khối lăng trụ đứng ABC. ABC có đáy là tam giác vuông tại B , AB = a , AC = a 5 , AA = 2a 3 (tham khảo hình vẽ). Thể tích khối lăng trụ đã cho bằng A. 2 3a3 . B. 4 3a3 . 2 3a 3 . 3 3a 3 D. . 3 Câu 24. Cho hàm số y = f ( x ) có đồ thị như hình bên. Mệnh đề nào dưới đây C. đúng? A. Hàm số có giá trị cực tiểu bằng 2 . B. Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và đạt cực tiểu tại x = 2 . C. Hàm số có giá trị lớn nhất bằng 2 và giá trị nhỏ nhất bằng −2 . D. Hàm số có ba điểm cực trị. x+2−m Câu 25. Tìm tất cả giá trị thực của tham số m để hàm số y = nghịch biến x +1 trên các khoảng mà nó xác định? A. m  1 . B. m  −3 . C. m  −3 . D. m  1 . HOÀNG XUÂN NHÀN 125 Câu 26. Cho khối chóp tứ giác đều có cạnh đáy bằng a , cạnh bên bằng 2a . Tính thể tích V của khối chóp đã cho. 2a 3 11a 3 14a 3 14a 3 . A. V = . B. V = . C. V = . D. V = 6 12 2 6 Câu 27. Tìm số tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = 4x3 − 6x2 + 1 , biết tiếp tuyến đó đi qua điểm M ( −1; −9 ) . A. 3 . B. 0 . C. 1 . D. 2 . 3 2 Câu 28. Một chuyển động thẳng xác định bởi phương trình s = t − 3t + 5t + 2 , trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Gia tốc của chuyển động khi t = 3 là A. 24 m/s2 . B. 12 m/s2 . C. 17 m/s2 . D. 14 m/s2 . 1 3  Câu 29. Tìm giá trị lớn nhất (max) và giá trị nhỏ nhất (min) của hàm số y = x + trên đoạn  ;3 . x 2  10 13 10 A. max y = , min y = . B. max y = , min y = 2 . 3  3  3  3 ;3 6 3  3 ;3  ;3  ;3 2  2  16 C. max y = , min y = 2 . 3  3  3 ;3  ;3 2  2  Câu 30. Cho hàm số y = f ( x ) có bảng biến thiên như sau. 2  2  10 5 D. max y = , min y = . 3  3  3 ;3 2  ;3 2  2  Tổng số đường tiệm cận (bao gồm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số là A. 0. B. 3. C. 2. D. 1. 2x + 4 Câu 31. Gọi M , N là giao điểm của đường thẳng y = x + 1 và đường cong y = . Khi đó hoành độ x −1 trung điểm I của đoạn thẳng MN bằng: A. 2 . B. −1. C. −2 . D. 1 . 1 4 Câu 32. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình S ( t ) = − t + 3t 2 − 2t − 4 , trong đó t tính bằng 4 giây ( s ) và S tính bằng mét ( m ) . Tại thời điểm nào vận tốc của chuyển động đạt giá trị lớn nhất? A. t = 1 . B. t = 2 . C. t = 2 . D. t = 3 . Câu 33. Cho hình hộp chữ nhật có ABCD. ABCD AB = 1, AD = 2, AA = 3 . Thể tích của khối chóp D. ABCD là A. V = 2 . B. V = 1 . C. V = 6 . D. V = 3 . D C B A D' A' C' B' HOÀNG XUÂN NHÀN 126 Câu 34. Tìm m để hàm số y = mx3 − ( m 2 + 1) x 2 + 2 x − 3 đạt cực tiểu tại x = 1 . 3 3 . B. m = − . C. m = 0 . 2 2 Câu 35. Cho bảng biến thiên của hàm số y = f ( x ) . Mệnh đề nào sau đây sai? A. m = A. Giá trị lớn nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập bằng 0 . B. Giá trị nhỏ nhất của hàm số y = f ( x ) trên tập bằng −1. D. m = −1 . C. Hàm số y = f ( x ) nghịch biến trên ( −1; 0 ) và (1; +  ) . D. Đồ thị hàm số y = f ( x ) không có đường tiệm cận. Câu 36. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. M là trung điểm SB và G là trọng tâm của tam giác SBC . Gọi V , V  lần lượt là thể tích của các khối chóp M . ABC và G. ABD , tính tỉ số V . V V 3 V 4 V 5 V 2 = . = . = . = . A. B. C. D. V 2 V 3 V 3 V 3 Câu 37. Cho hàm số y = f ( x ) có đạo hàm liên tục trên và có bảng xét dấu đạo hàm như sau. Tổng giá trị tất cả các điểm cực trị của hàm số y = f ( x − 2022 ) + 2023 là A. 4046 . B. 4045 . C. 2 . D. 4044 . 4 Câu 38. Giá trị lớn nhất của hàm số y = 2 cos x − cos3 x trên  0;   . 3 2 2 2 10 A. max y = . B. max y = . C. max y = . D. max y = 0 . 0;  0;  0;  0;  3 3 3 3 2 Câu 39. Cho hàm số y = x + ( m − 2 ) x + ( m − 2 ) x + 1 . Số giá trị nguyên của tham số m để hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ( −; + ) là A. 3 . B. 0 . C. 4 . D. 2 . 500 3 m . 3 Đáy hồ là hình chữ nhật có chiều dài gấp đôi chiều rộng. Giá thuê nhân công để xây hồ là 500.000 đồng/m2. Hãy xác định kích thước của hồ nước sao cho chi phí thuê nhân công thấp nhất và chi phí đó là A. 74 triệu đồng. B. 75 triệu đồng. C. 76 triệu đồng. D. 77 triệu đồng. Câu 40. Người ta cần xây một hồ chứa nước với dạng khối hộp chữ nhật không nắp có thể tích bằng HOÀNG XUÂN NHÀN 127 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) . a 3 a 3 a 3 2a . B. h = . C. h = . D. h = . 2 7 7 7 Câu 42. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 1 đồng biến trên khoảng ( 3; + ) . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. h = A. 9 . B. 45 . C. 55 . D. 36 . Câu 43. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 2a A. a 2. B. C. 2a. D. a. . 5 Câu 44. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đạo hàm trên . Đồ thị hàm số f  ( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2;3) . B. ( −3; −2 ) . C. ( −1;1) . D. ( −1; 0 ) . Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx − m −1 cắt đồ thị của hàm số y = x3 − 3x2 + x tại ba điểm phân biệt A , B , C phân biệt sao cho AB = BC .  5  B. m  ( −2; + ) . A. m   − ; +  .  4  C. m  . D. m  ( −;0   4; + ) . Câu 46. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho a AI = . Tính khoảng cách từ điểm C đến ( BDI ) . 3 a a 3a 2a A. . B. . D. . C. . 3 14 14 3 Câu 47. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 sin x ) = f ( m 2 + 6m + 10 ) có nghiệm? A. B. C. D. 2. 3. 4. 5. HOÀNG XUÂN NHÀN 128 Câu 48. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và ASB = BSC = CSA = 30 Mặt phẳng ( ) qua A và V cắt hai cạnh SB , SC tại B  , C sao cho chu vi tam giác ABC  nhỏ nhất. Tính k = S . ABC  . VS . ABC 1 A. k = 2 − 2 . B. k = 4 − 2 3 . C. k = . D. k = 2 2 − 2 . 4 Câu 49. Cho đồ thị hàm số f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , ( x3 . Tính giá trị biểu thức P = ) 1 1 1 + + . f  ( x1 ) f  ( x2 ) f  ( x3 ) 1 1 + . B. P = 0 . C. P = b + c + d . D. P = 3 + 2b + c . 2b c Câu 50. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  −4; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới A. P = ( ) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m   −4; 4 để hàm số g ( x ) = f x3 + 2 x + 3 f ( m ) có giá trị lớn nhất trên đoạn  −1;1 bằng 8? A. 11. B. 9. C. 10. D. 12. _______________HẾT________________ HOÀNG XUÂN NHÀN 129 ÑAÙP AÙN ÑEÀ SOÁ 12 1 A 11 A 21 B 31 D 41 A 2 C 12 D 22 B 32 B 42 B 3 D 13 C 23 A 33 A 43 A 4 B 14 B 24 B 34 A 44 B 5 A 15 B 25 D 35 B 45 B 6 B 16 C 26 D 36 A 46 C 7 C 17 C 27 D 37 A 47 B 8 A 18 D 28 B 38 C 48 B 9 C 19 C 29 A 39 C 49 B 10 D 20 A 30 C 40 B 50 A Lôøi giaûi caâu hoûi vaän duïng cao ñeà soá 12 Câu 41. Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ ( ABC ) , ABC là tam giác đều cạnh a và tam giác SAB cân. Tính khoảng cách h từ điểm A đến mặt phẳng ( SBC ) . a 3 . 7 a 3 a 3 2a . C. h = . D. h = . 2 7 7 Hướng dẫn giải: Gọi D là trung điểm BC . Do tam giác ABC đều nên AD ⊥ BC . Trong tam giác SAD , kẻ AH ⊥ SD tại H (1) . A. h = B. h =  SA ⊥ BC  BC ⊥ ( SAD )  BC ⊥ AH (2) . Do   AD ⊥ BC Từ (1) và ( 2 ) , suy ra AH ⊥ ( SBC ) . Do đó khoảng cách cần tìm : d ( A, ( SBC ) ) = AH . Ta có tam giác SAB vuông tại A, theo giả thiết : SA = AB = a . a 3 Tam giác ABC đều có đường cao AD = . 2 Xét tam giác SAD vuông tại A có đường cao: HOÀNG XUÂN NHÀN 130 a 3 a 3 Choïn 2 →A . ⎯⎯⎯ AH = = = 2 7 SA2 + AD 2 3 a a2 + 4 Câu 42. Gọi T là tập hợp tất cả các giá trị nguyên dương của tham số m để hàm số y = x4 − 2mx2 + 1 đồng biến trên khoảng ( 3; + ) . Tổng giá trị các phần tử của T bằng A. 9 . B. 45 . C. 55 . D. 36 . Hướng dẫn giải: Ta có: y = 4 x 3 − 4mx  0 , x  ( 3; + )  x 2  m , x  ( 3; + )  m  9 . SA. AD a. Vì m nguyên dương nên m  1; 2;...;9 . Tổng giá trị tất cả phần tử của T là: Choïn →B 1 + 2 +. + 9 = 45. ⎯⎯⎯ Câu 43. Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, AD = 2a . Cạnh bên SA vuông góc với đáy, SA = 2a . Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD bằng 2a A. a 2. B. C. 2a. D. a. . 5 Hướng dẫn giải: Ta có: AB //CD  ( SCD )  AB // ( SCD ) mà SD  ( SCD ) nên d ( AB, SD ) = d ( AB, ( SCD ) ) = d ( A, ( SCD ) ) . Trong tam giác SAD, dựng đường cao AH CD ⊥ AD  CD ⊥ ( SAD )  CD ⊥ AH (2) .  CD ⊥ SA Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ ( SCD ) . (1). Ta có: Do vậy d ( AB, SD ) = d ( A, ( SCD ) ) = AH . AS . AD Xét tam giác SAD vuông tại A có đường cao: AH = Choïn → Vậy d ( AB, SD ) = AH = a 2. ⎯⎯⎯ 2 = 2a.2a ( 2a ) + ( 2a ) 2 2 = a 2. A Câu 44. Cho hàm số bậc bốn y = f ( x ) có đạo hàm trên Đồ thị hàm số AS + AD 2 . f  ( x ) như hình vẽ. Hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên khoảng nào dưới đây? A. ( 2;3) . B. ( −3; −2 ) . C. ( −1;1) . D. ( −1; 0 ) . Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN 131 x = 0 x = 0  2 x + 2 = −2   2 2 2  Ta có: g  ( x ) = ( x + 2 ) . f  ( x + 2 ) = 2 x. f  ( x + 2 ) ; g  ( x ) = 0  2  x = 3 . x + 2 = 2 x = − 3   2  x + 2 = 5 Bảng xét dấu g  ( x ) : ( ) Choïn →B Ta thấy, hàm số g ( x ) = f ( x 2 + 2 ) nghịch biến trên ( −3; −2 )  −; − 3 . ⎯⎯⎯  Lưu ý: Khi xét dấu biểu thức đạo hàm của hàm số hợp, ta nên chọn từng giá trị cụ thể của biến x trong khoảng đang xét rồi thay vào biểu thức đạo hàm, dấu của giá trị thu được cũng là dấu của đạo hàm trên khoảng đang xét. ▪ Chẳng hạn trong bài trên, khi xét dấu g  ( x ) trên khoảng 3; + , ta chọn x = 2 thay ( ) vào g  ( x ) = 2 xf  ( x 2 + 2 ) , ta có: g  ( 2 ) = 2.2. f  ( 6 ) ; quan sát đồ thị y = f  ( x ) , ta thấy ??? f  ( 6 )  0  g  ( 2 ) = 2.2. f  ( 6 )  0  g  ( x )  0 khi x  ( ) ( ) 3; + . ( ) ▪ Khi xét dấu g  ( x ) trên khoảng 0; 3 , ta chọn x = 1 thay vào g  ( x ) = 2 xf  x 2 + 2 , ta được g  (1) = 2.1. f  ( 3) ; ??? quan sát đồ thị y = f ( x) , ( ) ta thấy f  ( 3)  0  g  ( 2 ) = 2.1. f  ( 3)  0  g  ( x )  0 khi x  0; 3 . ▪ Học sinh làm tương tự để xét dấu các khoảng còn lại của g  ( x ) . Câu 45. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để đường thẳng y = mx − m −1 cắt đồ thị của hàm số y = x3 − 3x2 + x tại ba điểm phân biệt A , B , C phân biệt sao cho AB = BC .  5  B. m  ( −2; +  ) . A. m   − ; +   .  4  C. m  . D. m  ( −; 0   4; +  ) . Hướng dẫn giải: Phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị hàm số: x3 − 3x2 + x = mx − m −1 (1) x = 1  ( x − 1)  x 2 − 2 x − ( m + 1)  = 0   2 .  x − 2 x − ( m + 1) = 0 ( 2 ) Đường thẳng ( d ) cắt đồ thị ( C ) tại ba điểm phân biệt A, B, C  Phương trình (1) có ba nghiệm    = 1 + m + 1  0 phân biệt  Phương trình ( 2 ) có hai nghiệm phân biệt khác 1    m  −2 . 1 − 2 − m + 1  0 ( )   Theo giả thiết AB = BC mà A, B, C cùng thuộc một đường thẳng nên B là trung điểm của AC. HOÀNG XUÂN NHÀN 132 Gọi các điểm A ( x1 ; mx1 − m − 1) , B (1; −1) , C ( x2 ; mx2 − m − 1) trong đó x1 , x2 là các nghiệm của   x1 + x2 = 2 phương trình ( 2 ) . Theo định lí Vi-ét ta có:  hay xA + xC = 2 xB . Vậy chỉ cần điều x . x = − m + 1 ( )  1 2  kiện m  −2 thì B luôn là trung điểm của đoán AC. Choïn →B Tóm lại m  −2 thỏa mãn đề bài. ⎯⎯⎯  Lưu ý: x A + xB   xI = 2 (*) ; tuy nhiên khi A, B, I ▪ Điều kiện đầy đủ để I là trung điểm đoạn AB:  y + y A B y =  I 2 đã cùng nằm trên một đường thẳng thì ta chỉ cần một trong hai điều kiện của (*) là đủ để khẳng định I là trung điểm đoạn AB. ▪ Khi gặp phương trình bậc ba, ta thường nhẩm nghiệm và chia Hoocne để tách biểu thức bậc ba làm tích của hai thừa số (bậc một nhân với bậc hai). Trong trường hợp này ta có thể nhờ sự trợ giúp của máy tính bỏ túi để thao tác này diễn ra nhanh hơn mà cũng rất chính xác. Dưới đây là thao tác trên VINACAL 680EX PLUS để tách bậc ba x3 − 3x2 + x = mx − m − 1  x3 − 3x2 + (1 − m ) x + m + 1 = 0 . Ta bắt đầu với lệnh: next next next MENU ⎯⎯→ 9 ⎯⎯→ 2 ⎯⎯→ 3 (chọn chức năng giải phương trình bậc ba). next 1 ⎯⎯→ −3 ⎯⎯→ 1 − 100 ⎯⎯→ 100 + 1 ⎯⎯→ = (nhập các hệ số với m = 100 ). next Ta thấy next máy next tính hiển thị: X 1 = 1 + 102 = 1 + m + 2; X 2 = 1; X 3 = 1 − 102 = 1 − m + 2 . ( Vì vậy, ta tạm thời tách được: x3 − 3x 2 + (1 − m ) x + m + 1 = ( x − 1) x 2 − Sx + P ) trong đó S = X 1 + X 3 = 2, P = X 1. X 3 = 12 − ( m + 2 ) = −m − 1 . ( ) Do đó, ta thu được x3 − 3x 2 + (1 − m ) x + m + 1 = ( x − 1) x 2 − 2 x − m − 1 . Câu 46. Cho hình lập phương ABCD. ABCD có cạnh bằng a . Gọi I là điểm thuộc cạnh AB sao cho a AI = . Tính khoảng cách từ điểm C đến ( BDI ) . 3 a a 3a 2a A. . B. . D. . C. . 3 14 14 3 HOÀNG XUÂN NHÀN 133 Hướng dẫn giải: Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = BC  DI . d ( C , ( BDI ) ) CO CD 3 Ta có: = = = d ( B, ( BDI ) ) BO BI 2 3  d ( C , ( BDI ) ) = d ( B, ( BDI ) ) 2 d ( B, ( BDI ) ) BI = =2 d ( A, ( BDI ) ) AI  d ( B, ( BDI ) ) = 2d ( A, ( BDI ) ) Xét riêng hình chóp DAIB với DA ⊥ ( AIB ) (I). (II). và góc AIB tù. Trong ( AIB  ) , kẻ AK ⊥ IB tại K; trong tam giác ADK, kẻ đương cao AH (1).  IB ⊥ DA  IB ⊥ ( ADK )  IB ⊥ AH (2) . Ta có:   IB ⊥ AK  Từ (1) và (2) suy ra AH ⊥ ( DIB )  ( DKB ) , do vậy d ( A, ( BDI ) ) = AH Vì AI = SAIB 1 2S = AK .IB , suy ra: AK = AIB = 2 IB (III). 1 1 1 a2 AB nên SAIB = SABB = S ABBA = ; ta lại có 3 3 6 6 1 2. a 2 a 13 6 . = 2 13 4a + a2 9 a 13 a 14 13 Xét tam giác vuông ADK có đường cao AH = . = = 2 14 AD 2 + AK 2 13 a a2 + 169 3 3a 14 Choïn →C Từ (I), (II), (III), ta suy ra: d ( C , ( BDI ) ) = .2d ( A, ( BDI ) ) = 3 AH = . ⎯⎯⎯ 2 14 Câu 47. Cho hàm số bậc ba y = f ( x ) có đồ thị như hình vẽ. Có tất cả bao AD. AK a. nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình f ( 2 sin x ) = f ( m 2 + 6m + 10 ) có nghiệm? A. B. C. D. 2. 3. 4. 5. Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN 134 Ta có: 2 sin x  0, x  ; m2 + 6m + 10 = ( m + 3) + 1  0, m  2 . Xét hàm số y = f ( t ) , quan sát đồ thị ta thấy với t  ( 0; + ) thì hàm số luôn đồng biến. Do vậy f ( 2 sin x ) = f ( m2 + 6m + 10 )  2 sin x = m 2 + 6m + 10 (*). Miền giá trị của hàm số y = 2 sin x là  0; 2  nên phương trình (*) có nghiệm m2 + 6m + 10  0   2  −4  m  −2 .  m + 6m + 10  2 Choïn →B Vì m nguyên nên m  −4; −3; −2 . Vậy có ba giá trị nguyên của m thỏa mãn. ⎯⎯⎯ Câu 48. Cho khối chóp S.ABC có SA = SB = SC = a và ASB = BSC = CSA = 30 Mặt phẳng ( ) qua A và V cắt hai cạnh SB , SC tại B  , C sao cho chu vi tam giác ABC  nhỏ nhất. Tính k = S . ABC  . VS . ABC 1 A. k = 2 − 2 . B. k = 4 − 2 3 . C. k = . D. k = 2 2 − 2 . 4 Hướng dẫn giải: ( ) Cắt hình chóp theo cạnh SA rồi trải các mặt bên ra cùng một mặt phẳng, ta được hình như hình vẽ ( A là điểm sao cho khi gấp lại thành hình chóp thì trùng với A ). Khi đó chu vi tam giác ABC  bằng AB + BC + CA ; chu vi này nhỏ nhất khi A , B  , C , A thẳng hàng hay AB + BC + CA = AA . Xét SAA có ASA = ASB + BSC  + C SA = 90 và SA = SA = a nên SAA vuông cân tại S . Xét SAB có ASB = 300 , SAB = 450 , SBA = 1050 , SA = a nên: SA SB SB sin 45 SB SC  =  = = 3 −1 = = . sin105 sin 45 SA sin105 SB SC V SB SC  Choïn →B . = 3 − 1 3 − 1 = 4 − 2 3 . ⎯⎯⎯ Do đó k = S . ABC  = VS . ABC SB SC ( )( ) Câu 49. Cho đồ thị hàm số f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 . Tính giá trị biểu thức P = A. P = 1 1 + . 2b c 1 1 1 + + . f  ( x1 ) f  ( x2 ) f  ( x3 ) B. P = 0 . C. P = b + c + d . D. P = 3 + 2b + c . Hướng dẫn giải: HOÀNG XUÂN NHÀN 135 Do đồ thị hàm số f ( x ) = x3 + bx 2 + cx + d cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x1 , x2 , x3 nên f ( x ) = ( x − x1 )( x − x2 )( x − x3 ) .  f  ( x ) = ( x − x2 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x3 ) + ( x − x1 )( x − x2 ) . Ta có P = = 1 1 1 1 1 1 + + = + + f  ( x1 ) f  ( x2 ) f  ( x3 ) ( x1 − x2 )( x1 − x3 ) ( x2 − x1 )( x2 − x3 ) ( x3 − x1 )( x3 − x2 ) − ( x2 − x3 ) − ( x3 − x1 ) − ( x1 − x2 ) Choïn →B = 0 . Vậy P = 0 . ⎯⎯⎯ ( x1 − x2 )( x2 − x3 )( x3 − x1 ) Câu 50. Cho hàm số f ( x ) liên tục trên đoạn  −4; 4 và có bảng biến thiên như hình vẽ bên dưới ( ) Có tất cả bao nhiêu giá trị thực của m   −4; 4 để hàm số g ( x ) = f x3 + 2 x + 3 f ( m ) có giá trị lớn nhất trên đoạn  −1;1 bằng 8? A. 11. B. 9. C. 10. Hướng dẫn giải: D. 12.  Lưu ý: ▪ Trong bài này, ta cần đến một công thức quan trọng về giá trị lớn nhất hàm chứa giá trị a +b + a −b tuyệt đối, đó là: max  a , b  = (*). 2 ▪ Ta chứng minh công thức (*) như sau: max  a , b  = b = b . Xét khi đó Vế phải (*) là: 0  a  b, a +b + a −b a +b +b −a = = b ; tức là (*) đúng (1). 2 2 max  a , b  = a = −a . Xét khi đó a  b  0, Vế phải (*) là: a + b + a − b −a − b + b − a = = −a ; ta thấy (*) đúng (2). 2 2 Xét a  0  b và a  b , khi đó max  a , b  = b = b . Vế phải (*) là: + a +b + a −b 2 = a+b+b−a = b , do vậy (*) đúng (3). 2 HOÀNG XUÂN NHÀN 136 Xét a  b , khi đó a  0  b và max  a , b  = a = −a . Vế phải (*) là: − a +b + a −b −a − b + b − a = −a , ta thấy (*) cũng đúng (4). 2 2 Từ (1), (2), (3), (4), ta đã chứng minh được công thức (*). = Đặt t = x3 + 2 x  t  = x 2 + 2  0, x  t ( x ) đồng biến trên  −1;1. Vì vậy: x   −1;1 , t ( −1)  t  t (1)  −3  t  3 . Từ bảng biến thiên, suy ra: −6  f ( t )  5 . Khi đó, hàm số g ( x ) trở thành y = f ( t ) + 3 f ( m ) .   Max g ( x ) = Max 5 + 3 f ( m ) ; −6 + 3 f ( m ) =  −1;1 = 6 f ( m ) − 1 + 11 2 Theo giả thiết: = 5 + 3 f ( m) − 6 + 3 f ( m) + 5 + 3 f ( m) + 6 − 3( m) 2 . 6 f ( m ) − 1 + 11 2  f ( m) = 1 = 8  6 f ( m) −1 = 5   .  f ( m) = − 2  3 2 cho 3 ra 6 giá trị m thỏa mãn và khác những giá trị m tìm được trước đó. Vậy có tất cả 11 giá trị m thỏa mãn Choïn →A đề bài. ⎯⎯⎯ Theo bảng biến thiên, ta thấy f ( m ) = 1 cho ra 5 giá trị m thuộc  −4; 4 thỏa mãn; f ( m ) = − HOÀNG XUÂN NHÀN 137