Chuyên đề Tích phân Toán 12.

CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 CHUYÊN ĐỀ: TÍCH PHÂN A. HỆ THỐNG KIẾN THỨC 1. Khái niệm tích phân Cho hàm số f liên tục trên K và a, b là hai số bất kì thuộc K . Nếu F là một nguyên hàm của f trên K thì hiệu số F b  F a được gọi là tích phân của f từ a đến b và kí hiệu là b  f  x  dx . a Người ta còn dùng kí hiệu b F x  a để chỉ hiệu số F b   F a . Như vậy nếu F là một nguyên b hàm của f trên K thì  f  x  dx  F  x  a . b a 2. Tính chất của tích phân Giả sử các hàm số f , g liên tục trên K và a, b, c a là ba số bất kì thuộc b 1)  f  x  dx  0; 2)  f  x  dx   f  x  dx ; a a b c c b b b b b b a a a 4)   f  x   g  x  dx   f  x  dx   g  x  dx ; 3)  f  x  dx   f  x  dx   f  x  dx ; a Khi đó ta có K. a a b 5)  kf  x  dx  k  f  x  dx với a k  . a 3. Phương pháp đổi biến số a) Phương pháp đổi biến số loại 1 b Giả sử cần tính tích phân I   f  x  dx ta thực hiện các bước sau: a Bước 1. Đặt x  u t  (với u t  là hàm có đạo hàm liên tục trên ;  , ;  và u   a, u    b ) và xác định ,  .  Bước 2. Thay vào, ta có f u t  xác định trên  I   f u t  .u  t  dt   g t  dt  G t      G    G  .  Một số dạng thường dùng phương pháp đổi biến số loại 1 Dấu hiệu a2  x 2 x 2  a2 x 2  a2 Cách chọn      x  a sin t t   ;    2 2    x  a cos t t  0;     a    x  t   ;  \ 0   2 2  sin t      x  a t  0;   \     2  cos t        x  a tan t t   ;   2 2  b) Phương pháp đổi biến số loại 2 Page 1 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 Tương tự như nguyên hàm, ta có thể tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số (ta gọi là b loại 2) như sau Để tính tích phân I   f  x  dx nếu f  x   g u  x  .u   x  , ta có thể thực hiện a phép đổi biến như sau: Bước 1. Đặt t  u  x   dt  u   x  dx. Đổi cận: u (b ) Bước 2. Thay vào, ta có  I g  t  dt  G  t  u(a )    x  a  t  u a .     x  b  t  u b  u b  . u a  4. Phương pháp tích phân từng phần Cho hai hàm số u và v liên tục trên a; b  và có đạo hàm liên tục trên a; b . Khi đó: b b  udv  uv   vdu. b a a a Một số tích phân các hàm số dễ phát hiện u và dv   Dạng 1   Dạng 2   f  x  ln  g  x dx  sin ax    f  x   cos ax dx  ax   e   Dạng 3 e  Đặt ax Đặt  sin ax   dx  cos ax  Đặt u  ln  g  x        d v  f x d x        u  f x     sin ax        dv  cos ax  dx     ax   e     sin ax     u   cos ax       ax  d v  e d x   B. BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM 1) Nhận biết. 2 Câu 1: Tích phân 2  2 x  1 dx bằng: A. 2ln5 B. 0 1 ln 5 2 C. ln5 9 Câu 2: Biết f  x  là hàm liên tục trên R và 4  f  x  dx  9. Khi đó giá trị của 0 A. 27  2 f  x  dx  5 và 0  B. 10 C. 24 D. 0  f  x  dx bằng 0 C. 7 D. 1 3x Câu 4: Tính I   e dx. A. I  e  1 0 là 2 f  x  dx  2 thì 1 A. 3  f  3x  3 dx 1 B. 3 1 Câu 3: Nếu D. 4ln5 3 B. I  e  1 5 2 e3  1 C. I  3 D. I  e3  1 2 Câu 5: Cho hai hàm số f , g liên tục trên đoạn [a;b] và số thực k  0 tùy ý. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai? Page 2 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 b b b A.  kf  x  dx  k  f  x  dx a b C. a a a b  f  x  dx    f  x  dx a b B.  xf  x  dx  x  f  x  dx a b b D.   f  x   g  x   dx   f  x  dx   g  x  dx b a a a b Câu 6: Cho hàm số f  x  lirn tục trên khoảng  a; c  , a  b  c và b  f  x  dx  5,  f  x  dx  1. Tính tích a c c phân I   f  x  dx. A. I = 4 B. I = 5 C. I = 6 D. I = -5 B. 1 C. ln2 a 2 Câu 7: Tích phân I   1 dx bằng:A. 0 x  Câu 8: Tính tích phân  sin 3xdx A.  0  2   1 3 1 3 B.   Câu 9: Tính tích phân I   sin   x  dx. A. I = -1 4 0 1 Câu 10: Tích phân dx  x  1 bằng A. log 2 C.  B. I = 1 B. 1 D. ln 2 3 D. C. I = 0 D. I  C. ln2 3 2 2 3  4 D. –ln 2 0 2) Thông hiểu. 4 Câu 11: Cho hàm số f  x  có đạo hàm trên [1;4] và f 1  2, f  4   10. Giá trị của I   f '  x  dx là 1 A. I = 12 B. I =48 C. I = 8 D. I = 3 1  Câu 12: Cho hàm số f  x  liên tục và có đạo hàm trên  ;1 thỏa mãn f '  x   2  1 . Biết x  x  1 1 1 f 1  1, f    ln 3  b,  a, b    . Tổng a+b bằng 2 a A. 2 B. 3 C. -2 D. -3 1 Câu 13: Tích phân I   e x 1dx bằngA. e2  1 B. e2  e C. e2  e D. e  e2 0 1 Câu 14: Biết I   0 A.T = -10 x 3x  1  2 x  1 dx  B. T = -4 ab 3 , với a, b là các số thực. Tính tổng T = a+b. 9 C. T = 15 2 D. T = 8 4   dx  2, hãy tính I   f  x  dx. Câu 15: Cho hàm số y  f  x  liên tục trên R. Biết  xf x 2 0 A. I = 2 B. I = 1 1 C. I  2 0 D. I = 4 Page 3 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 1 Câu 16: Cho hàm số f  x   x 4 4 x 3  3x 2  x  1, x  . Tính I   f 2  x  . f '  x  dx 0 A. 2 B. -2 1  C.  7 3  Câu 17: Tích phân  x x 2 3 dx bằng A. 2 D. 7 3 B. 1 C. 0 2 Câu 18: Tính tích phân dx A. log  x 1. 1 1 Câu 19: Biết dx  x 1  x 0  A. T = 7 2 3  3 2 B. 5 2 C. ln 4 7 D. 3 2 7 4 D. ln 6  a  b với a, b là các số nguyên dương. Tính T = a + b. B. T = 10 C. T = 6 D. T = 8 B. e3  e C. e  e3 3 Câu 20: Tích phân  e x dx bằng: A. e 2 D. e2 1 3) Vận dụng thấp  4 1 Câu 21: Cho  f  x  dx  2018. Tích phân 1  bằng 0 0 A. 2018 Câu 22: Biết  f  sin 2 x  cos 2 xdx B. -1009 2 x 2  3x  3 0 2 C. -2018 D. 1009 dx  a  ln b với a, b là các số nguyên dương. Tính P  a 2  b2 . x  2x 1 A. P = 13 B. P = 1 Câu 23: Cho tích phân I   x  5 7 0 1  x2 3 2  2 1  t  1 A. I   5 dt 2 t B. I   1 1 5 C. P = 4 D. P = 10 dx, giả sử đặt t  1  x 2 . Tìm mệnh đề đúng?  t  13 dt t5 2 3 3 2 1  t  1 3  t  1 C. I   4 dt D. I   4 dt 2 2 t t 1 1 4 Câu 24: Cho hàm số y  f  x  thỏa mãn điều kiện f 1  2, f '  x  liên tục trên R và  f '  x  dx  17. Khi 1 đó f  4  bằng? A. 9 B. 5 2 Câu 25: Cho  C. 19 7 7 f  x  dx  2;  f  t  dt  9. Giá trị của 1 1 A. 7   C. 11 Câu 26: Biết  x ln x 2  16 dx  1ln 5  b ln 2  0 thức T  a  b  c. A. T = 2  f  z  dz là: 2 B. 3 3 D. 29 D. 5 c trong đó a, b, c là các số nguyên. Tính giá trị của biểu 2 B. T = -16 C. T = -2 D. T = 16 Page 4 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19   1 x2  x ex Câu 27: Cho  0 x  e x A. P = -1 dx  a.e  b ln  e  c  với a, b, c  . Tính a  2 b  c. B. P = 1 C. P = -2 D. P = 0 5 Câu 28: Cho hàm số y  f  x  có đạo hàm liên tục trên đoạn [0;5] và f  5  10. x. f '  x  dx  30. Tính 0 5  f  x  dx A. -20 B. 70 C. 20 D. -30 0 Câu 29: Cho hàm số f  x   x 4  4 x 3  2 x 2  x  1,  x  . Tính 1 2  f  x  . f '  x  dx. 0 A. 2 3 B. 2 C.  2 3 D. -2 1 Câu 30: Cho hàm số f  x  liên tục trên đoạn [0;1] và f 1  f  0   2. Tính tích phân I   f '  x  dx 0 A. I = -1 B. I = 1 C. I = 2 D. I = 0 4) Cận dụng cao e Câu 31: Biết rằng I   ln2 x  ln x 1  ln x  x 1 A. 3 dx  3 ae2  be 12 8 e  2 2 B. 4 với a , b là các số nguyên dương. Hiệu b  a là C. 5 D. 6  3 Câu 32. Biết x2dx   x sin x  cos x 2  0 A. 9 a  d 3, với a, b, c, d    . Tính P  a  b  c  d b  c 3 B. 10 C. 8 D. 7 1 Câu 33. Cho hàm số f  x  có đạo hàm liên tục trên [0;1] và thỏa mãn f 1  1,   f   x  2 dx  9 và 0 1 1 0 x f  x  dx  2 . Tính tích phân 3 Câu 34. Cho hàm số 1  f  x  dx bằngA. 0 f  x 3 f  x   f   x   1  3e2 x biết f  0   có f  x 5 2 B. 7 4 C. 2 3 liên tục trên nửa khoảng D. 0;   6 5 thỏa mãn 11 1  . Giá trị f  ln 6  bằng 3 2  5 6 5 6 C. 1 D. 18 9 Câu 35. Giả sử hàm số y  f  x  đồng biến trên  0;   , y  f  x  liên tục nhận giá trị dương trên A. 1 2 B. 2 2  0;   và thỏa mãn f  3  ,  f   x     x  1 f  x  . Mệnh đề nào dưới đây đúng? 3 A. 2613  f  8  2614 B. 2614  f 2 8   2615 C. 2618  f 2  8   2619 2 D. 2616  f 2 8   2617 Page 5 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 C. ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN CHI TIẾT 1) Đáp án 1-C 10-C 19-B 28-C 2-B 11-C 20-B 29-C 3-C 12-B 21-D 30-C 4-C 13-B 22-A 31-A 5-B 14-D 23-A 32-A 6-A 15-D 24-C 33-A 7-C 16-D 25-B 34-B 8-D 17-D 26-B 35-A 9-C 18-C 27-C 2) Hướng dẫn chi tiết các câu vận dụng từ 21 đến 35 Câu 21:  x  0  t  0 1 4 1 1  Đặt t  sin 2 x  dt  2 cos 2 xdx, đổi cận    f  sin 2 x  cos 2 xdx   f  t  dt  .2018  1009.  2 2  x  4  t  1 0 0 1 Câu 22: Ta có  2 x 2  3x  3 2 0 x  2x 1   1 2 x2  2x  1  x  1  2 dx     x2  2 x  1 0 1 1 2  dx    2   dx  x  1  x  12  0  x  3 2 1    2 x  ln x  1    2  ln 2  1  2  3  ln 2   . Vậy P  a2  b2  13  x 1 0  b  2 b 1 x7 Câu 23: I   2 5 0 1  x  dx   x6 .x  0 1 x 2  5 dx 3 2 x  0  t  1 1  t  1 dt I  Đặt t  1  x  dt  2 xdx và x  t  1. Đổi cận  2 t5 x  1  t  2 1 2 2 4 Câu 24:.Ta có:  f '  x  dx  17  f  x  1 7 1 7 Câu 25:.  f  z  dz   f  x  dx  2 4  17  f  4   f 1  17  f  4   2  14  f  4   19 1 2  2 7 f  x  dx   2 7 f  x  dx    f  x  dx  1 1 3   1 2  f  t  dt  2  9  7 1 25 Câu 26:.Đặt t  x 2  16  dt  2 xdx suy ra I   x ln x 2  16 dx  .  ln tdt 0 16 dt  u  ln t du  Đặt   2 suy ra dv  dt v  t 25  16 25 25 1 25  25. ln 25  25  16. ln16  16  50. ln 5  64. ln 2  9 ln tdt  t. ln t   t. dt   t. ln t  t  16 t 16 16  I  25. ln 5  32. ln 2  9 Vậy a  25; b  32; c  9  T  a  b  c  16 2 Page 6 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19   1 x2  x ex Câu 27: Ta có I   0 xe 1 dx   x  x  1 e x xe x dx. Đặt t  xe x  1  dt  1  x  e x dx x xe  1 0 e 1 Đổi cận: x  0  t  1; x  1  t  e  1. Khi đó I   1 t 1 dt  t e 1 e 1  1  e  ln  e  1  1   dt   t  ln t  t 1  1  Suy ra a  1, b  1, c  1. Vậy P  a  2 b  c  2. 5 u  x  du  dx 5 5 Câu 28: Đặt  suy ra  x. f '  x  dx   x. f  x     f  x  dx 0 dv  f '  x  dx  v  f  x  0 0 5 5  30  5 f  5   f  x  dx   f  x  dx  5 f  5  30  20. 0 1 Câu 29: Ta có  0 1 f 2 2  x  . f '  x  dx   f  x  .d  f  x   0 f  x 1  3 0 1 3 0 f 3 1  f 3 3 0   2 3 1 Câu 30:. I   f '  x  dx  f  x   f 1  f  0  = 2 0 0 Câu 31. ln x ln x  1 x  1  t  1 . 2 ln x  1 ln x  x x dx   dx. Đặt t  Ta có: I    dt   2 dx và  2 3 3 x x xet   1  ln x  x  1 1  ln x  1   1 e    x  e e ln 2 x  ln x 2 e 2 e  1 t 1  2t  1 dt    dt  Khi đó I     3 2 3 2  2  t  1   t  1  t  1  1 1  t  1   3 Câu 32..  0  2 e  1 e 2  4e  12 8  e  2 2  3 x x cos xdx x d  x sin x  cos x   2  cos x  x sin x  cos x  cos x  x sin x  cos x 2 0 0 2 3 x dx  x sin x  cos x  2    3  3 3 x 1 x 1 1    x  d   .  d    cos x  x sin x  cos x  cos x x sin x  cos x 0 0 x sin x  cos x  cos x  0     3 x 1  dx cos x  x sin x  cos x  0 0 cos 2 x 3    3  x 4 3   tan x 03    3  3 cos x  x sin x  cos x  0  3 3 1 3 1    . 2 3 2 2 a   d 3  a, b, c, d      a  4, b  3, c  1, d  1  a  b  c  d  9 b  c 3 Câu 33. Page 7 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN CHUYÊN ĐỀ ÔN TẬP TRONG THỜI GIAN NGHỈ PHÒNG DỊCH COVID-19 1 1 f 1 1 1 4  x4  x4 . f  x  1 Ta có:  x f  x  dx   f  x  d      x 4 f   x  dx    x f   x  dx 4 4 4 4 40   0 0 0 0 1 1 3 1 1 1 1 1 1 1 Mà f 1  1,  x f  x  dx      x 4 f   x  dx   x 4 f   x  dx  1 2 2 4 40 0 0 3 1 1 2 1 2 1 Xét   f   x   kx 4  dx    f   x   dx  2k  x 4 f   x  dx  k 2  x8 dx  9  2k  0 0 1 0 0 k2  0  k  9. 9 2 Khi đó:   f   x   9 x 4  dx  0  f   x   9 x 4  0  f   x   9 x 4  f  x    f   x  dx   0 9 x5 C 5 1 9 5 Mặt khác: f 1  1  C   1  C  14 9 x 5 14 5 Vậy f  x       f  x  dx  5 5 5 2 0 Câu 34. 3 f  x   f   x   1  3e2 x  3e3x f  x   e3x f   x   e3x 1  3e2 x  e3x f  x   e3x 1  3e2 x 1 ln 6 2  1 ln 6 2 e3 x f  x   dx   0 e3 x 1  3e2 x dx  0 1 ln 6 2 Ta có:  0 1 e3 x f  x   dx   e3 x f  x   2 0 1 ln 6 2 I  ln 6 e 1 ln 6 2 e3 x 1  3e2 x dx   0 e 2 x e 2 x 3dx  0 1  e 3  . 3 2 2 2x 3 1 ln 6 2  e 2x 3 e  3 2x 1 ln 6 2 3 3ln 6 2 1 2 1  f  ln 6   f  0   eln 2  1 ln 6 2  63 1  11 1  11 f  ln 6    6 6. f  ln 6   2  3 2  3 e 2 x 3d  e 2 x 3 0 8 19 5 6 1  11 19 1  10 9   6 6 f  ln 6     f  ln 6    3 3 3 18 2  3 2  6 6 0 0 Câu 35. 2  f   x     x  1 f  x   f   x   x  1 f  x x   0;   8 8 f  x f  x x 1 x 1 19    dx   dx  2 2 3 2 f  x f  x 3 2 3 8  f  x  3 19  3 f 8  f  3  19  3 f 8  2 19  3 3 4  2 19   f  8        2013; 2014   3 3 2 Page 8 CHUYÊN ĐỀ TÍCH PHÂN