Chuyên đề nguyên hàm, tích phân và ứng dụng – Lê Văn Đoàn

N¨m häc 2017 2018 Biªn so¹n Gi¶ng d¹y: Ths. Lª V¨n §oµn 0933.755.607 Taøi lieäu luyeän thi Thpt Quoác GiaTaøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang Chuyeân ñeà 1. NGUYEÂN HAØM VAØ PHÖÔNG PHAÙP TÌM NGUYEÂN HAØM  Khái niệm nguyên hàm và tính chất 1. Khái niệm nguyên hàm Cho hàm số )f xác định trên .K Hàm số )F được gọi là nguyên hàm của hàm số )f trên nếu: ), .F K Nếu )F là một nguyên hàm của )f trên thì họ nguyên hàm của hàm số )f trên là: )d .f const C  2. Tính chất: Nếu ), )f là hai hàm số liên tục trên và 0k thì ta luôn có: )d ,f C  )d ,f C   )d ....f C   )d )d ,kf x với là số thực khác 0. )d )d .f x     )F x (định nghĩa). Bảng nguyên hàm của một số hàm thường gặp (với là hằng số tùy ý) 0d .x C d .k kx C  1d .1nnxx Cn   11 )( .1nnax bax Ca n  1d ln .x Cx   1d ln .x ax Cax a  21 1d .x Cxx   21 1d .( )x Ca ax bax b  sin cos .x C   1sin( )d cos( .ax ax Ca  cos sin .x C   1cos( )d sin( .ax ax Ca  21d cot .sinx Cx   2d 1cot( .sin )xax Caax b  21d tan .cosx Cx   2d 1tan( .cos )xax Caax b  .x xe C   1d .ax ax be Ca   .lnxxaa Ca   1d .lnxxaa Ca    Nhận xét. Khi thay bằng )ax b thì khi lấy nguyên hàm nhân kết quả thêm 1a NGUYEÂN HAØM TÍCH PHAÂN VAØ ÖÙNG DUÏNG 3Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang Daïng toaùn 1. Tính nguyeân haøm baèng baûng nguyeân haøm  1. Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn. 2. Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ. 3. Chứa căn PP  chuyển về lũy thừa. 4. Tích lượng giác bậc một của sin và cosin PP  Sử dụng công thức tích thành tổng. 1sin cos sin( sin( )2a b    1sin sin cos( cos( )2a b    1cos cos cos( cos( )2a b    5. Bậc chẵn của sin và cosin Hạ bậc: 21 1sin cos cos cos .2 2a a 6. Nguyên hàm của hàm số hữu tỷ )d ,( )P xI xQ x với ),P )Q là các đa thức. Nếu bậc của tử số )P x bậc của mẫu số )Q PP  Chia đa thức. Nếu bậc của tử số )P x bậc của mẫu số )Q PP  phân tích mẫu )Q thành tích số, rồi sử dụng đồng nhất thức để đưa về dạng tổng của các phân số (pp che). 21 ,( )( )A Bx Cx mx ax bx ax bx c   với 24 0.b ac 21 )A Dx bx b    Lưu ý. Nếu mẫu không phân tích được thành tích sẽ tìm hiểu phần đổi biến. Baøi taäp vaän duïng BT 1. Tìm nguyên hàm )F của hàm số )f (giả sử điều kiện được xác định): a) 21 1( d3 3f x    ................................................................. b) 2( )df x  ............................................................. c) 2( 12 )df x  ............................................................ d) 2( )( 1) )( 1)df x  ............................................. ........................................................................................................................................ e) 2( 1)( 2) 1)( 2)df x  .................................................. ........................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang f) 2( 1) 1) df x  .................................................................. ....................................................................................................................................... g) 3( (3 (3 df x  ......................................................................... h) 5( (2 1) (2 1) df x  ...................................................................... i) 2018 2018( (2 10) (2 10) df x  .......................................................... j) 2019( (3 )df x  .......................................................................... k) 2( (2 1) (2 1) df x  .................................................................. l) 3( 1) 1) df x  ....................................................................... BT 2. Tìm một nguyên hàm )F của hàm số )f thỏa mãn điều kiện .F k a) Tìm một nguyên hàm )F của hàm số 3( 5f x thỏa mãn (1) 3.F Lời giải tham khảo Ta có: 2( )d (4 5)d .F C  Vì (1) 3F nên 1.C C Suy ra 2( 1.F x Lưu ý. Nếu đề bài yêu cầu tìm )F ta chỉ cần thế a vào )F sẽ tìm được ).F b) Tìm một nguyên hàm )F của hàm số 2( 2f x thỏa mãn (1) 0.F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ c) Tìm nguyên hàm )F của hàm số 2( 1f x thỏa mãn 2) 3.F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ d) Gọi )F là một nguyên hàm của hàm số 2( 6f x thỏa mãn (3) 1.F Hãy tính 3).F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ .................................................................................................................................................. e) Hàm số 3( 2f x có một nguyên hàm )F thỏa (2) 14.F Tính 2).F ................................................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................... f) Tìm một nguyên hàm )F của hàm số 9( (1 )f x thỏa 10 (2) 9.F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ g) Hàm số 3( (2 1)f x có một nguyên hàm là )F thỏa 14.2F  Tính 32F  ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ h) Hàm số 5( (1 )f x có một nguyên hàm là )F thỏa 22 3F   Tính (1).F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ i) Gọi )F là một nguyên hàm của hàm số 2( (2 3)f x thỏa mãn 1(0)3F Tính giá trị của biểu thức 2log (1) (2) .P F    ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ j) Gọi 1( )F là một nguyên hàm của hàm số 21( 2)f x thỏa 1(0) 1F và 2( )F là một nguyên hàm của hàm số 22( 5f x thỏa 2(0) 2.F Tìm nghiệm của phương trình 2( ).F x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang k) Gọi 1( )F là nguyên hàm của hàm số 1( 1)( 2)f x thỏa 1(0) 0F và 2( )F là một nguyên hàm của hàm số 22( 2f x thỏa 2(0) 0.F Biết rằng phương trình 2( )F x có hai nghiệm là 2, .x Tính 22 .x x ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ BT 3. Tìm nguyên hàm )F của hàm số )f (giả sử điều kiện được xác định): a) 21( )df xx  ....................................................................... b) 21( )df xx  ....................................................................... c) 222 1( )df xxx  .................................................................... d) 23 1( dx xf xx x   ......................................................... ............................................................................................................................................. e) 22 22 3( dx xf xx x   ................................................ ............................................................................................................................................. f) 1( d2 1f xx x   ............................................................................ g) 1( )d3 4f xx  ................................................................................ h) 5( )d3 1f xx  ................................................................................ i) 3( )d2 4f xx  ................................................................................ j) 22 3( )d5 2f xx xx  ............................................................... k) 24 2( )d2 1f xx xx  ............................................................... ..................................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang l) 212 2( )d2 3( 1)f xxx  .............................................................. m) 26 9( )d3 1(3 1)f xxx  ............................................................ n) 21 1( )d(2 )f xxx  .............................................................. o) 41 4( df xx x    ................................................. ................................................................................................................................................... p) 32 2d( )(2 1) (2 1)xf xx x   ......................................................................... BT 4. Tìm một nguyên hàm )F của hàm số )f thỏa mãn điều kiện .F k a) Tìm một nguyên hàm )F của hàm số 1( )2 5f xx thỏa mãn (1) ln 3.F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ b) Tìm một nguyên hàm )F của hàm số 5( )2 10f xx thỏa mãn (2) ln 2.F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ c) Biết )F là một nguyên hàm của 1( )1f xx và (2) 1.F Tính (3).F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ d) Biết )F là một nguyên hàm của hàm số 1( )2 1f xx thỏa (0) 2.F Tính ).F ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ e) Cho hàm số )y x thỏa mãn 1( )2 1f xx và (1) 1.f Tính (5).f ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang f) (Đề tham khảo Bộ GD ĐT câu 37 năm 2018) Cho hàm số )f xác định trên 1\\2        thỏa 2( ;2 1f xx (0) 1f và (1) 2.f Tính 1) (3).P f Lời giải tham khảo Có 121ln(2 1) khi 22( )d ln 112 1ln(1 khi 2x xf Cxx x    Để 21(0) 1(1) 2f Cf C          Suy ra: 1ln(2 1) khi 2( )1ln(1 khi 2x xf xx x    Do đó 1) (3) ln ln ln 15.P f Nhận xét: Sử dụng tính chất )d )d .....f C    và vận dụng định nghĩa trị tuyệt đối khi khi 0A AAA A   g) Cho hàm số )f xác định trên \\ {1} thỏa 2( ;1f xx (0) 3f và (2) 4.f Tính giá trị của biểu thức 2) (5).P f ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ h) Cho hàm số )f xác định trên 1\\3        thỏa 6( ;3 1f xx 2) 2f và (1) 1.f Tính giá trị của biểu thức 1) (4).P f ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang i) Cho hàm số )f xác định trên * thỏa mãn 21( ,f xx 1) 1,f (1) 0f và (2) 0.f Giá trị của biểu thức 2)f bằng A. ln 2. B. ln 2. C. ln 2. D. ln 2. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ j) Cho hàm số )f xác định trên \\ {2} thỏa ,f x (1) 1f và (3) 2.f Giá trị của biểu thức 1) (4)f f bằng bao nhiêu A. 6. B. 2. C. 14. D. 0. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ k) Cho hàm số )f xác định trên \\ 1;1} thỏa 21( ;1f xx 3) (3) 0f f và 10.2 2f f           Tính giá trị của biểu thức 2) (0) (4).P f A. ln ln ln 5. B. ln ln ln 5. C. ln ln 5. D. ln ln 6. Taøi lieäu oân thi thpt Quoác Gia moân Toaùn T.T Hoaøng Gia 56, Phoá Chôï, P. Taân Thaønh, Q. Taân Phuù, Tp.HCM Bieân soaïn Giaûng daïy: Ths. Leâ Vaên Ñoaøn 0933.755. 607 0929. 031.789 Trang Lời giải tham khảo 22 1( )d ln ln 11 11f Cx xx     Hay 12231ln khi 111( ln ln(1 )+ khi 1.11ln khi 11xC xxxf xxxC xx       Theo đề ta có: 32( 3) (3) 02 ln 21 12 ln ln 222 2f fC CCf f                   Do đó 11 3( 2) (0) (4) ln ln3 5f C 2) (0) (4) ln ln ln ln ln ln ln 5.f f Chọn đáp án B. l) Cho hàm số )f xác định trên 1\\ 1;2        và thỏa mãn 24 1( ,2 1xf xx x (1) 2) 0f f và (0) (1) 0.f f Tính 1( 3) (3)2f f   A. ln 280. B. ln 10. C. ln 70. D. ln 28. ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................ ................................................................................................................................................................