Chương 7: Đồ Thị - Cô Võ Thị Hường

Chương 7: Đồ thị 1. BIỂU DIỄN ĐỒ THỊ 1.1 Danh sách liền kề 1.2 Ma trận kề 1.3 Ma trận trọng số 1.4 Ma trận liên thuộc 2. BÀI TOÁN ĐƯỜNG ĐI NGẮN NHẤT 2.1 Giới thiệu bài toán 2.2 Thuật toán Dijkstra 2.3 Thuật toán Floyd 3. CÁC THUẬT TOÁN TÌM KIẾM 3.1 Giới thiệu 3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu 3.3 Duyệt đồ thị theo chiều rộng 1. Biểu diễn đồ thị 1.1 Danh sách liền kề - Danh sách liền kề là một cách biểu diễn đồ thị không có cạnh bội bằng cách liệt kê tất cả các đỉnh nối với mỗi đỉnh của đồ thị 1. Biểu diễn đồ thị 1.1 Danh sách liền kề Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị vô hướng G Đỉnh Đỉnh liền kề 1 3,2 2 1,3,5 3 1,2,4 4 3,5,6 5 2,4,6 6 4,5 1. Biểu diễn đồ thị 1.1 Danh sách liền kề Ví dụ: Danh sách liền kề của đồ thị có hướng G1 Đỉnh đầu Đỉnh cuối 1 2,3 2 3 2 4 3 5 4,6 6 5 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận liền kề Xét đơn đồ thị vô hướng G=(V,E), với tập đỉnh V={v1, v2, ...,vn } và tập cạnh E={e1, e2, ..., em }. Ma trận liền kề AG của đồ thị G là ma trận 0-1 vuông cấp nxn. AG= (aij), trong đó: 1, nếu (vi,vj) là một cạnh của G aij = 0,nếu không có cạnh nối đỉnh vi với vj 1. Biểu diễn đồ thị 3 1.2 Ma trận liền kề Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G 5 1 6 2 4 1- Ma trận liền kề của đơn đồ thị vô hướng G có dòng, cột đối xứng qua đường chéo 2- Tổng giá trị trên một dòng (hoặc cột) bằng số bậc của đỉnh i. 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận liền kề Ví dụ: Ma trận liền kề của đa đồ thị vô hướng G 3 5 1 6 2 4 aij = k - tổng số cạnh nối hai đỉnh 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận liền kề Ví dụ: Ma trận liền kề của đa đồ thị vô hướng G 3 1 2 3 4 5 6 5 1 6 2 4 1 0 1 1 0 0 0 2 1 0 2 2 0 0 3 1 2 0 0 1 0 4 0 2 0 0 1 1 5 0 0 1 1 0 3 6 0 0 0 1 3 0 aij = k - tổng số cạnh nối hai đỉnh 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận liền kề Ví dụ: Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G* 1 2 3 4 5 2 1 3 4 5 1 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 1 3 0 0 0 1 0 4 0 0 0 0 0 5 1 0 0 0 0 Ma trận liền kề của đơn đồ thị có hướng G không có dòng, cột đối xứng 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số - Trong thực tế chúng ta thường giải quyết những tình huống như sau: từ địa điểm A đến địa điểm B trong thành phố, chúng ta chọn đường đi ngắn nhất (xét đến độ dài), có lúc lại cần chọn đường đi nhanh nhất (xét đến thời gian) và có lúc phải cân nhắc để chọn đường đi có chi phí thấp nhất, v.v... - Khi chúng ta gán một giá trị số thực dương cho mỗi cạnh của đồ thị G thì chúng ta có đồ thị có trọng số. - Chúng ta có thể xem đồ thị G bất kz là đồ thị có trọng số mà tất cả các cạnh có trọng số bằng 1. 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số - Đồ thị G = (V,E) gọi là đồ thị có trọng số nếu mỗi cạnh (hay cung) e được gán với một số thực w(e), gọi là trọng số của e (hay chiều dài, trọng lượng của cạnh e). v2 6 v4 5 3 v1 6 v6 8 7 9 v3 3 v5 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số - Mỗi đường đi m(u,v) từ đỉnh u đến đỉnh v, có trọng số bằng tổng trọng số các cạnh mà nó đi qua. - Khoảng cách d(u,v) giữa hai đỉnh u và v là đường đi có trọng số nhỏ nhất trong các đường đi từ u đến v. d(u,v)=min(m(u,v)) 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số Ma trận trọng số D= d(ij) , xác định như sau: 0, khi đỉnh trùng dij = w(i,j), trọng số của cạnh nối giữa hai đỉnh , nếu không có cạnh nối giữa hai đỉnh 1. Biểu diễn đồ thị 1.3 Ma trận trọng số Ví dụ: Vẽ ma trận trọng số biểu diễn đồ thị vô hướng G v2 6 v4 5 3 v1 6 v6 8 7 9 v3 3 v5 1. Biểu diễn đồ thị 1.3 Ma trận trọng số Ví dụ: Vẽ ma trận trọng số biểu diễn đồ thị vô hướng G v2 6 v1 v2 v3 v4 v5 v6 v4 5 3 v1 6 v6 8 7 9 v3 3 v5 v1 0 3 7    v2 3 0 6 6   v3 7 6 0  3  v4  6  0 8 5 v5   3 8 0 9 v6    5 9 0 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số Ví dụ: Lập ma trận trọng số biểu diễn đồ thị có hướng G 1. Biểu diễn đồ thị 1.2 Ma trận trọng số Ví dụ: 0     D        5 31 40      0 27  73    26 0 8 49 25 38     0  16   70   0  9      23 0 12     10  0  1. Biểu diễn đồ thị 1.3 Ma trận liên thuộc Ma trận liên thuộc biểu diễn quan hệ giữa cạnh liên thuộc và đỉnh kề. Ma trận M= mij = (mij), xác định như sau: 1 nếu cạnh ej nối với đỉnh vi 0 nếu cạnh ej không nối với đỉnh vi 1. Biểu diễn đồ thị 1.3 Ma trận liên thuộc Ví dụ: Xây dựng ma trận liên thuộc cho đồ thị G dưới đây e1 e2 e3 e4 e5 e6 v1 v2 v3 v4 v5 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.1 Giới thiệu bài toán Cho đơn đồ thị liên thông, có trọng số dương G=(V,E). Bài toán 1: Tìm đường đi ngắn nhất từ một đỉnh u đến mỗi đỉnh v của đồ thị G. Bài toán 2: Tìm đường đi ngắn nhất giữa mỗi cặp đỉnh của đồ thị G. B 5 D 6 1 A Z 2 8 1 2 3 C E 10 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Thuật toán tìm đường đi ngắn nhất từ đỉnh u đến mỗi đỉnh v của đồ thị G, được nhà toán học người Hà Lan E. Dijkstra đề xuất vào năm 1959. Thuật toán thực hiện theo cách gán nhãn tại mỗi đỉnh. Thuật ngữ: w(x,y) : trọng số dương của cạnh (x,y); w(x,y) là ∞ (vô cùng lớn) nếu hai đỉnh không kề nhau. d(v) : độ dài đường đi từ đỉnh xuất phát tới đỉnh v. p(v) : đỉnh đứng ngay trước đỉnh v trên đường đi từ đỉnh xuất phát đến đỉnh v. Nhãn của đỉnh v : gồm cặp (d(v), p(v)) T : Tập các nút mà đường đi ngắn nhất đã được xác định. 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Gán T = ø; p(v) = NULL với mọi đỉnh v d(a)=0; /* a là đỉnh xuất phát Với mỗi đỉnh v còn lại thì d(v) = ∞; Repeat u =(uT | d(u) là bé nhất); T = T ∪ {u}; for ((v là đỉnh kề của u) và vT) if d(v) > d(u) + w(u,v) then d(v) = d(u) + w(u,v) p(v) = u Until (T=V) 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh khác của đồ thị G dưới đây B 1 A D 5 Z 2 8 1 6 2 3 C E 10 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: d(D) =∞ = d(A)+w(A,D)=0+∞=∞ d(E) =∞ = d(A)+w(A,E)=0+∞=∞ d(Z) =∞ = d(A)+w(A,Z)=0+∞=∞ d(B) =∞ > d(A)+w(A,B)=0+1=1 d(C) =∞ > d(A)+w(A,C)=0+2=2 (∞,-) (∞,-) B 1 A (0,-) 5 D 8 1 B 6 Z 3 C 1 (∞,-) 2 2 (∞,-) (1,a) (∞,-) A (0,-)* E 10 (∞,-) (∞,-) 5 8 1 6 (∞,-) Z 2 2 3 C (∞,-) D (2,a) E 10 (∞,-) 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: (∞,-) (1,a)* (6,b) B 1 A (0,-)* 5 D 8 1 (1,a)* 6 (∞,-) 2 3 C (2,a) E 10 (∞,-) d(C) =2 = d(B)+w(B,C)=1+1=2 d(D) =∞ > d(B)+w(B,D)=1+5=6 d(E) =∞ = d(B)+w(B,E)=0+∞=∞ d(Z) =∞ = d(B)+w(B,Z)=0+∞=∞ 1 Z 2 B A (0,-)* (6,b) 5 D 8 1 6 (∞,-) Z 2 2 3 E C (2,a)* 10 (12,c) d(D) =6 < d(C)+w(C,D)=2+8=10 d(E) =∞ > d(C)+w(C,E)=2+10=12 d(Z) =∞ = d(C)+w(C,Z)=0+∞=∞ (∞,-) 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: (1,a)* B 1 A (0,-)* D 5 8 1 (1,a)* (6,b)* 6 (12,d) 2 3 E C (2,a)* 10 (8,d) d(E) =12 > d(D)+w(D,E)=6+2=8 d(Z) =∞ >d(D)+w(D,Z)=6+6=12 1 Z 2 B A (0,-)* (6,b)* 5 (11,e) 6 Z 2 2 3 E C (12,c) D 8 1 (12,d) (2,a)* 10 (8,d)* d(Z) =12 >d(E)+w(E,Z)=8+3=11 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: (1,a)* B 1 A (0,-)* (6,b)* 8 1 D 5 (11,e)* 6 Z 2 2 3 E C (2,a)* 10 (8,d)* (1,a)* (6,b)* B 1 A D 5 6 8 1 3 E C 10 (2,a)* Tập T Z 2 2 (0,-)* Bước (11,e)* a (8,d)* b d c e z 0 ø (0,-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) 1 a (0,-)* (1,a) (,-) (2,a) (,-) (,-) 2 ba - (1,a)* (6,b) (2,a) (,-) (,-) 3 cba - - (6,b) (2,a) * (12,c) (,-) 4 dcba - - (6,b)* - (8,d) (12,d) 5 edcba - - - - (8,d)* (11,e) 6 zedcba - - - - - (11,e)* 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 1: Nhận xét bảng kết quả đã thu được. 1/. Độ dài đường đi ngắn nhất từ A đến các đỉnh là ->B: 1 ->C: 2 ->D: 6 ->E: 8 ->Z: 11 2/. Để vẽ đường đi ngắn nhất từ A đến đỉnh Z, chúng ta sử dụng cách đi ngược từ Z về A. Cụ thể là Z <- E <- D <- B <- A. 3/. Đường đi ngắn nhất từ A đến Z không đi qua C. Vậy đường đi ngắn nhất không đi qua tất cả các đỉnh của đồ thị. Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh khác của đồ thị G dưới đây A 2 E 20 2 10 6 B 4 1 D 10 C Bước Tập T a b 0 ø 1 a (0,-)* (0,-) c d e (,-) (,-) (,-) (,-) (10,a) (6,a) (20,a) (2,a) 2 ea - (,-) (,-) (4,e) (2,a)* 3 dea - (8,d) (14,d) (4,e)* - 4 bdea - (8,d)* (9,b) - - 5 cbdea - - (9,b)* - - Độ dài đường đi ngắn nhất từ A đến các đỉnh là ->B: 8 ->C: 6 ->D: 4 ->E: 2 3 A C 1 9 7 E 6 B 9 8 2 F 5 3 D Tìm đường đi ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh khác của đồ thị G dưới đây • Đường đi ngắn nhất của a đến h là gì? 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 2: Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G dưới đây 5 3 v w 5 2 a 2 3 1 x y 1 z 1 2 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 2: Do bài toán chỉ cần tìm đường đi ngắn nhất từ A đến W trong đồ thị G nên chúng ta đổi điều kiện kết thúc thuật toán Dijkstra như sau: ... Repeat u =(uT | d(u) là bé nhất); T = T ∪ {u}; for ((v là đỉnh kề của u) và vT) if d(v) > d(u) + w(u,v) then d(v) = d(u) + w(u,v) p(v) = u Until ( đỉnh đích chứa trong tập T) 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 2: Tìm đường đi ngắn nhất giữa A và W trong đồ thị G Bước Tập T a v x y w z 0 ø (0.-) (,-) (,-) (,-) (,-) (,-) 1 a (0,-)* (2,a) (1,a) (,-) (5,a) (,-) 2 xa - (2,a) (1,a)* (2,x) (4,x) (,-) 3 yxa - (2,a) - (2,x)* (3,y) (4,y) 4 vyxa - (2,a)* - - (3,y) (4,y) 5 wvyxa - - - - (3,y)* (4,y) 6 Kết thúc vì đỉnh đến w chứa trong tập T 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 3: Cho đồ thị có trọng số G. Tìm đường đi B ngắn nhất từ A đến mỗi đỉnh 6 4 của đồ thị. A 3 H G 2 E 8 2 K 9 9 10 F 12 9 9 1 5 9 D 4 8 9 C 4 3 Z 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 4: Cho đồ thị có trọng số G = (V, E), tìm đường đi ngắn nhất giữa A và H. 4 B E 4 3 4 2 A b C H 2 2 3 4 4 D K 3 6 5 G 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.2 Thuật toán Dijkstra Ví dụ 5: Tìm đường đi ngắn nhất từ v1 đến các đỉnh khác của đồ thị có trọng số được biểu diễn trong ma trận M hình bên. v1 v2 v3 v4 v5 v6 v7 0  5 0 30 27 40       v7 50 26 0   70   22   8 0    40  v6     25 16 20 12  38 20 12   v1 v2 v3 v4 v5 73 0 22 10 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.3 Thuật toán Floyd Giới thiệu Để tìm đường đi ngắn nhất giữa tất cả các cặp đỉnh của đồ thị G=(V,E), chúng ta sử dụng thuật toán Floyd được công bố năm 1962. Việc tìm đường đi ngắn nhất dựa trên nguyên tắc sau: " Nếu k là đỉnh nằm trên đường đi ngắn nhất từ i đến j thì đoạn đường từ i đến k và từ k đến j cũng ngắn nhất" Ak[i,j]=min(Ak-1[i,j], Ak-1[i,k]+Ak-1[k,j]) 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.3 Thuật toán Floyd BEGIN for i := 1 to n do for j := 1 to n do begin D[i,j] := C[i,j] ; P[i,j] := 0 end ; for k := 1 to n do for i := 1 to n do for j := 1 to n do if D[i,k] + D[k,j] < D[i,j] then begin D[i,j] := D[i,k] + D[k,j] ; P[i,j] := k end END. 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 2.3 Thuật toán Floyd Ví dụ: 1 W= 5 1 4 D0 = 2 3 1 0 4 5 2 2 0  3  3 0 2 3 3 1 2 2 3 P= 1 0 0 0 2 0 0 0 3 0 0 0 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 1 1 4 5 3 2 2 D0 = D1 = 4 5 2 2 0  3  3 0 2 3 0 4 5 2 2 0 7 3  3 0 2 3 0 0 1 P= 0 1 1 0 3 1 3 1 2 2 0 0 1 3 0 0 0 k=1 D1[2,3] = min( D0[2,3], D0[2,1]+D0[1,3] ) = min (, 7) =7 P[2,3]=1 D1[3,2] = min( D0[3,2], D0[3,1]+D0[1,2] ) = min (3,) =3 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 1 1 4 3 2 2 D1 = 5 3 1 D2 = P= 3 1 0 4 5 2 2 0 7 3  3 0 2 3 1 0 4 5 2 2 0 7 3 5 3 0 2 3 1 2 1 0 0 0 2 0 0 1 3 2 0 0 k=2 D2[1,3] = min( D1[1,3], D1[1,2]+D1[2,3] ) = min (5, 4+7) =5 D2[3,1] = min( D1[3,1], D1[3,2]+D1[2,1] ) = min (, 3+2) =5 P[3,1] = 2 2. Bài toán đường đi ngắn nhất 1 4 3 2 2 3 1 D3 = 1 0 2 3 0 4 5 2 2 0 7 3 5 3 0 2 3 4 5 2 2 0 7 3 5 3 0 2 3 0 0 0 2 0 0 1 3 2 0 0 1 1 P= 1 D2 = 1 5 k=3 D3[1,2] = min(D2[1,2], D2[1,3]+D2[3,2] ) = min (4, 5+3)) =4 D3[2,1] = min(D2[2,1], D2[2,3]+D2[3,1] ) = min (2, 7+ 5) =2 3. Duyệt đồ thị 3.1 Giới thiệu Với một đồ thị có nhiều nút, việc kiểm tra tính liên thông của đồ thị là bài toán lớn, cần có cách thức để thực hiện nhanh, chính xác. Hai cách duyệt đồ thị phổ biến được áp dụng: 1. Duyệt đồ thị theo chiều sâu (Depth First Search - DFS) 2. Duyệt đồ thị theo chiều rộng (Breadth First Search - BFS) DFS BFS 3. Duyệt đồ thị 3.2 Duyệt đồ thị theo chiều sâu Xuất từ một đỉnh v bất kz của đồ thị G, chúng ta thực hiện như sau: Bước 1: đánh dấu v đã được duyệt. Bước 2: thực hiện đánh dấu đã duyệt với mỗi đỉnh w chưa duyệt kề với v, Bước 3: làm lại bước 2 cho đến khi tất cả các đỉnh được duyệt. DFS