Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chủ đề 7: Xác định hệ số, số hạng trong khai triển nhị thức Niu-tơn

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 16 tháng 3 2020 lúc 13:37:49


Mục lục
* * * * *

A. Phương pháp giải & Ví dụ

Số hạng chứa xm ứng với giá trị k thỏa mãn: np – pk + qk = m.

Vậy hệ số của số hạng chứa xm là: 

 với giá trị k đã tìm được ở trên.

Nếu k không nguyên hoặc k > n thì trong khai triển không chứa xm , hệ số phải tìm bằng 0.

Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa xm trong khai triển P(x) = (a + bxp + cxq)n

P(x) = (a + bxp + cxq)n được viết dưới dạng a0 + a1x + ...+ a2nx2n

Ta làm như sau:

* Viết P(x) = (a + bxp + cxq)n

* Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng (bxp+cxq)k thành một đa thức theo luỹ thừa của x.

* Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của xm.

Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn

Ta làm như sau:

* Tính hệ số ak theo k và n;

* Giải bất phương trình ak-1 ≤ ak với ẩn số k;

* Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên.

Ví dụ minh họa

Bài 1: Tìm hệ số của x5 trong khai triển đa thức của: x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Đáp án và hướng dẫn giải

Đặt f(x)=x(1-2x)5+x2 (1+3x)10

Ta có :

Vậy hệ số của x5 trong khai triển đa thức của f(x) ứng với k = 4 và i = 3 là:

Bài 2: Đa thức P(x) =(1+3x+2x2)10=a0 + a1 x + ⋯ + a20 x20. Tìm a15

Đáp án và hướng dẫn giải

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k + i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Tìm hệ số không chứa x trong các khai triển sau (x3 - (2/x))n, biết rằng 

Đáp án và hướng dẫn giải

B. Bài tập vận dụng

Bài 1: Tìm hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức f(x)=[1+x2 (1-x)]8

Lời giải:

Trong khai triển trên ta thấy bậc của x trong 3 số hạng đầu nhỏ hơn 8, bậc của x trong 4 số hạng cuối lớn hơn 8. Do đó x8 chỉ có trong số hạng thứ tư, thứ năm với hệ số tương ứng là:

Vậy hệ số cuả x8 trong khai triển đa thức [1+x2 (1-x)]8 là:

a8 = 

 = 238.

Bài 2: Đa thức P(x) = (1 + 3x + 2x2)10 = a0 + a1 x+⋯+a20 x20.. Tìm a15

Lời giải:

Ta có:

với 0 ≤ i ≤ k ≤ 10. Do đó k+i = 15 với các trường hợp

k=10, i=5 hoặc k=9, i=6 hoặc k=8, i=7

Bài 3: Trong khai triển (2a-b)5, hệ số của số hạng thứ bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Bài 4: Trong khai triển nhị thức (a+2)n+6,(n ϵ Z). Có tất cả số hạng. Vậy n bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (a+2)(n+6),(n ϵ N) có tất cả n+7 số hạng.

Do đó n+7 =17 ⇔ n=10.

Bài 5: Trong khai triển (3x2-y)10, hệ số của số hạng chính giữa là bao nhiêu?

Lời giải:

Trong khai triển (3x2-y)10 có tất cả 11 số hạng nên số hạng chính giữa là số hạng thứ 6.

Vậy hệ số của số hạng chính giữa là 

.


Được cập nhật: 21 tháng 3 lúc 18:51:36 | Lượt xem: 741