Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Chủ đề 5: Nghiệm của phương trình bậc hai

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 19 tháng 3 2020 lúc 9:41:36


Lý thuyết & Phương pháp giải

a. Định lí Vi-ét.

Hai số x1 và x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 khi và chỉ khi chúng thỏa mãn hệ thức x1 + x2 = -b/a và x1.x2 = c/a

b. Ứng dụng.

- Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai.

- Phân tích thành nhân tử: Nếu đa thức f(x) = ax2 + bx + c có hai nghiệm x1 và x2 thì nó có thể phân tích thành nhân tử f(x) = a(x - x1)(x - x2)

- Tìm hai số khi biết tổng và tích của chúng: Nếu hai số có tổng là S và tích là P thì chúng là nghiệm của phương trình x2 - Sx + P = 0.

- Xét dấu của các nghiệm phương trình bậc hai:

- Cho phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (*), kí hiệu S = -b/a, P = c/a. khi đó

   + Phương trình (*) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0

   + Phương trình (*) có hai nghiệm dương khi và chỉ khi

   + Phương trình (*) có hai nghiệm âm khi và chỉ khi

Ví dụ minh họa

Bài 1: Cho phương trình x2 - 3x - 5 = 0. Khi đó tổng các lập phương hai nghiệm của phương trình bằng bao nhiêu?

Hướng dẫn:

Phương trình x2 - 3x - 5 = 0 (*), có Δ = (-3)2 - 4.(-5) = 29 > 0 → (*) có hai nghiệm phân biệt x1, x2

Theo hệ thức Viet, ta có

Bài 2: Giả sử phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số) có hai nghiệm là x1, x2. Tính giá trị biểu thức P = 3x1x2 - 5(x1 + x2) theo m

Hướng dẫn:

Theo định lý Viet, ta có

Thay vào P, ta được P = 3(m2 + 2) - 5(2m + 1) = 3m2 - 10m + 1

Bài 3: Giả sử phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0 có hai nghiệm x1, x2. Tính giá trị của biểu thức T = |x1 - x2|

Hướng dẫn:

Vì x1, x2 là hai nghiệm của phương trình 2x2 - 4ax - 1 = 0

Theo hệ thức Viet, ta có x1 + x2 = -(-4a/2) = 2a và x1.x2 = -1/2     (1)

Ta có T = |x1 - x2| ⇔ T2 = (x1 - x2)2 = (x1 + x2)2 - 4x1x2    (2)

Từ (1) và (2) suy ra T2 = (2a)2 -4.(-1/2) = 4a2 + 2 ⇒ T = √(4a2 + 2) > 0

Bài 4: Cho hai phương trình x2 - mx + 2 = 0 và x2 + 2x - m = 0. Có bao nhiêu giá trị của m để một nghiệm của phương trình này và một nghiệm của phương trình kia có tổng là 3?

Hướng dẫn:

Gọi x0 là một nghiệm của phương trình x2 - mx + 2 = 0

Suy ra 3-x0 là một nghiệm của phương trình x2 + 2x - m = 0

Khi đó, ta có hệ

Thay (2) vào (1), ta được x02 - (x02 - 8x0 + 15)x0 + 2 = 0

cho ta 3 giá trị của m cần tìm

Bài 5: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - 2(m+1)x + m2 + 2 = 0 (m là tham số). Tìm m để biểu thức P = x1x2 - 2(x1 + x2) - 6 đạt giá trị nhỏ nhất

Hướng dẫn:

Ta có Δ' = (m+1)2 - (m2 + 2) = 2m - 1

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ' ≥ 0 ⇔ m ≥ 1/2.    (*)

Theo định lý Viet, ta có 

Khi đó 1

Dấu " = " xảy ra khi và chỉ khi m = 2

Bài 6: Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phương trình x2 - (2m+1)x + m2 + 1 = 0 (m là tham số). Tìm giá trị nguyên của m sao cho biểu thức 

có giá trị nguyên

Hướng dẫn:

Ta có Δ = (2m + 1)2 - 4(m2 + 1) = 4m - 3

Để phương trình có hai nghiệm ⇔ Δ ≥ 0 ⇔ m ≥ 3/4

Theo định lý Viet, ta có 

Khi đó

Do m ≥ 3/4 nên 2m + 1 ≥ 5/2

Để P ∈ Z thì ta phải có (2m + 1) là ước của 5 , suy ra 2m + 1 = 5 ⇔ m = 2

Thử lại với m = 2, ta được P = 1 (thỏa mãn)


Được cập nhật: hôm kia lúc 23:58:46 | Lượt xem: 617