Ta sử dụng điều kiện để hàm số liên tục và điều kiện để phương trình có nghiệm để làm các bài toán dạng này.
- Điệu kiện để hàm số liên tục tại x0:
- Điều kiện để hàm số liên tục trên một tập D là f(x) liên tục tại mọi điểm thuộc D.
- Phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và có hai số a, b thuộc D sao cho f(a).f(b) < 0.
Phương trình f(x) = 0 có k nghiệm trên D nếu hàm số y = f(x) liên tục trên D và tồn tại k khoảng rời nhau (ai ; ai+1) (i = 1,2,…,k) nằm trong D sao cho f(ai).f(ai+1) < 0.
Ví dụ minh họa
Bài 1: Xác định a để hàm số
liên tục trên R.
Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 2
Vậy a = -1, a = 0.5 là những giá trị cần tìm.
Bài 2: Cho hàm số f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 . phương trình f(x) = 0 có nghiệm thuộc khoảng nào trong các khoảng sau đây ?
I. (–1; 0) II. (0; 1) III. (1; 2)
Hướng dẫn:
Ta có hàm số y = f(x) = x3 – 1000x2 + 0,01 là hàm liên tục trên R
f(0) = 0.01 và f(-1) = - 1001 + 0.01 < 0. Nên f(0).(-1) < 0.
Vậy hàm số có nghiệm trong khoảng I
Bài 3: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Với x < 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 0 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 0 ta có
Hàm số liên tục trên R ⇔ hàm số liên tục tại x = 0
Bài 4: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
x7 + 3x5 - 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có hàm số f(x) = x7 + 3x5 - 1 liên tục trên R và f(0).f(1) = - 3 < 0
Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0,1).
Bài 5: Chứng minh rằng phương trình sau có ít nhất một nghiệm :
x2sinx + xcosx + 1 = 0
Hướng dẫn:
Ta có hàm số f(x) = x2sinx + xcosx + 1 liên tục trên R và f(0).f(π) = -π < 0. Suy ra phương trinh f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0 ; π).
Bài 6: Xác định a, b để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Ta có hàm số đã cho liên tục trên R\{π/2} do các hàm y = sinx và y = ax + b lên tục trên R.
Ta chỉ cần xét tính liên tục của hàm số tại x = π/2.
Vậy a, b là số thực thỏa mãn phương trình
thì hàm số đã cho liên tục trên R.
Bài 7: Tìm m để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Hàm số xác định trên R
Với x < 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x > 2 ⇒ hàm số liên tục
Với x = 2 ta có
⇔ m = 3
Vậy m = 3 là giá trị cần tìm
Bài 8: Xác định a,b để các hàm số sau liên tục trên R
Hướng dẫn:
Với x ≠ 2 và x ≠ 0 hàm số liên tục.
Để hàm số đã cho liên tục trên R thì hàm số phải liên tục tại x = 2 và x = 0
Vậy a = 1 và b = -1 thì hàm số liên tục trên R
Được cập nhật: hôm kia lúc 23:57:27 | Lượt xem: 1768