Bài 1: Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Vẽ các tia tiếp tuyến Ax, By với nửa đường tròn. Lấy điểm M di động trên tía Ax, điểm N di động trên tia Oy sao cho AM.BN = R2. Chứng minh rằng
a) MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định.
Bài 2: Từ một điểm A ở bên ngoài đường tròn (O) ta vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn (B, C là các tiếp điểm). Trên AO lấy điểm M sao cho AM = AB. Các tia BM và CM lần lượt cắt đường tròn tại một điểm thứ hai là D và E. Chứng minh rằng:
a) M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC
b) DE là đường kính của đường tròn (O)
Bài 3: Cho đường tròn (O) đường kính AB = 2R; bán kính OC vuông góc với AB. Lấy điểm F thuộc đoạn OB. Kẻ CF cắt đường tròn (O) tại D. Vẽ tiếp tuyến tại D của (O) cắt AB tại E. Chứng minh rằng EF = ED
Bài 4: Cho ba điểm thẳng hàng theo thứ tự A, B, C. Vẽ hai nửa đường tròn đường kính AB và BC (vẽ cùng phía so với AC). Trên đường thẳng vuông góc với AC tại B lấy điểm D sao cho góc ADC bằng 900. Giao điểm của DA và DC với hai nửa đường tròn là E, F. Chứng minh rằng:
a) EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn.
b) EF2 = AB.BC
Bài 5: Cho đường tròn (O; R) và một đường thẳng d cắt (O) tại C và D. Một điểm M di động trên d sao cho MC > MD và ở ngoài (O). Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB tới (O). Gọi H là trung điểm cuả CD và giao của AB với MO, OH lần lượt là E, F. Chứng minh rằng:
a) OE.OM = R2
b) Bốn điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn
c) Đường thẳng AB đi qua một điểm cố định
Bài 6: Cho đường tròn (O) đường kính AB. Một điểm M thay đổi trên đường tròn (M ≠ A; B). Vẽ đường tròn (M tiếp xúc với AB tại H. Từ A và B kẻ hai tiếp tuyến AC, BD đến đường tròn (M)
a) Chứng minh CD là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Chứng minh tổng AC + BD không đổi. Từ đó tính giá trị lớn nhất của AC.BD
c) Lấy điểm N cố định trên (O). Gọi I là trung điểm của MN, P là hình chiếu của I trên MB. Tìm tập hợp các điểm P.
Bài 7: Cho M là một điểm di động trên nửa đường tròn (O) đường kính AB. Gọi H là điểm chính giữa của cung AM. Tia BH cắt AM tại I và cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tại K. Các tia AH và BM cắt nhau tại S. Chứng minh rằng:
a) ΔABS cân. Từ đó suy ra S nằm trên một đường tròn cố định
b) KS là tiếp tuyến của đường tròn (B; BA)
Bài 8: Cho hai đường tròn cùng tâm O, có các bán kính lần lượt là R và 2R. Từ một điểm A cách O là 4R vẽ hai tiếp tuyến AB, AC với đường tròn lớn và hai tiếp tuyến AD, AE với đường tròn nhỏ (AB, AD cùng thuộc một nửa mặt phẳng bờ AO).
a) Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đường tròn nhỏ
b) Chứng minh rằng tứ giác BCED là hình thang cân
c) Tính diện tích của hình thang cân BCED.
Đáp án và hướng dẫn giải
Bài 1:
a) Vẽ OH ⊥ MN, H ∈ MN ta phải chứng minh OH = R
Vì AM.BN = R2 = AO.BO nên
Xét ΔAOM và ΔBNO có:
⇒ ΔAOM ~ ΔBNO (c.g.c)
Do đó góc MON bằng 900
Ta có:
Do đó ΔAOM ~ ΔONM (c.g.c)
ΔAOM = ΔHOM (cạnh huyền, góc nhọn)
⇒ AO = OH ⇒ OH = R, do đó MN là tiếp tuyến của đường tròn (O)
b) Gọi K là trung điểm của MN
Tam giác MON vuông tại O có OK là tiếp tuyến
⇒ KM = KN = KO
⇒ Đường tròn (K; KO) là đường tròn ngoại tiếp tam giác OMN.
Ta có OK là đường trung bình của hình thang AMNB nên OK // AM
⇒ OK ⊥ AB
Suy ra OK là tiếp tuyến của đường tròn (K). Vậy đường tròn (K) ngoại tiếp tam giác OMN luôn tiếp xúc với một đường thẳng cố định là đường thẳng AB.
Bài 2:
Tam giác ABM có AB = AM nên ΔABM cân tại A
Ta có: OA ⊥ BC; OB ⊥ AB nên:
Từ (1) và (2)
Tương tự
Điểm M là giao điểm hai đường phân giác của tam giác OBC nên M là tâm đường tròn nội tiếp tam giác OBC.
b) Tam giác BOD cân tại O
Hai góc này ở vị trí so le trong nên OD // BC
Chứng minh tương tự, ta có OE // BC
⇒ D, O, E thẳng hàng
Vậy DE là đường kính của đường tròn (O)
Bài 3:
Do tam giác OCD cân tại O nên
Lại có
Mà
⇒
Mặt khác:
Tam giác EFD có
⇒ ΔEFD cân tại E ⇒ EF = ED
Bài 4:
E ∈ (O); F ∈ (O') nên
Tứ giác BEDF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật nên
Mặt khác, ΔOEB cân tại O nên
⇒ OE ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O)
Chứng minh tương tự, ta có: O'F ⊥ EF nên EF là tiếp tuyến của (O’)
Vậy EF là tiếp tuyến chung của hai nửa đường tròn
b) Tam giác ADC vuông tại D có DB là đường cao nên BD2 = AB.BC
Mà DB = EF (hai đường chéo của hình chữ nhật)
⇒ EF2 = AB.BC
Bài 5:
a) MA và MB là hai tiếp tuyến của (O) nên MO là đường trung trực của AB
⇒ OM ⊥ AB hay OM ⊥ AE
MA là tiếp tuyến của (O) nên ΔOAM vuông tại A có AE là đường cao nên:
OE.OM = OA2 = R2
b) OM ⊥ AB nên E luôn nhìn FM dưới một góc vuông
⇒ E thuộc đường tròn đường kính FM (1)
Mặt khác: H là trung điểm của dây CD
⇒ OH ⊥ CD
⇒ H luôn nhìn FM dưới một góc vuông
⇒ H thuộc đường tròn đường kính FM (2)
Từ (1) và (2) ⇒ 4 điểm M, E, H, F cùng thuộc một đường tròn đường kính FM
c) Xét tam giác OHM và tam giác OEF có:
⇒ ΔMHO ~ ΔFEO (g.g)
Theo câu a, ta có:
Do C, D cố định nên khoảng cách từ O đến CD là không đổi
⇒ OF không đổi hay F là điểm cố định
Vậy AB đi qua điểm F cố định.
Bài 6:
a) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
⇒ C, M, D thẳng hàng.
Tứ giác ABDC là hình thang vuông do có AC ⊥ CD; BD ⊥ CD
Mà OM là đường trung bình nên OM ⊥ CD
⇒ CD là tiếp tuyến của (O) tại M.
b) Theo tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau, ta có:
AH = AC và BD = HB
⇒ AC + BD = AH + HB = AB không đổi.
Theo bất đẳng thức Cosi:
Dấu bằng xảy ra khi AC = BD ⇔ H ≡ O
Khi đó M nằm chính giữa cung AB
Vậy giá trị lớn nhất của AC.BD là AB2/4 đạt được khi M nằm chính giữa cung AB
c) Kéo dài PI cắt AN tại K ⇒ PK // AM (cùng vuông góc với MB)
Trong ΔMAN có I là trung điểm của MN, mà IK // AM
⇒ K là trung điểm của AN ⇒ K là trung điểm cố định
Vậy P luôn chạy trên đường tròn đường kính KB.
Bài 7:
a) H ∈ (O) góc AHB = 900 hay BH ⊥ AS
Mà
(do H là điểm chính giữa của cung AM)
⇒ BH vừa là đường phân giác vừa là đường cao của tam giác ABS
⇒ ΔABS cân tại B
⇒ BA = BS
Vậy S ∈ (B;BA)
b) Ta có:
BS = BA ; HS = HA
⇒ BH là đường trung trực của AS
K thuộc đường trung trực của AS nên KA = KS
⇒ ΔAKB = ΔSKB (c.c.c)
⇒
nên KS ⊥ SB tại S ∈ (B;BA)
Vậy KS là tiếp tuyến của (B; BA)
Bài 8:
Ta có: AB và AC là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của AB
⇒ OA ⊥ AB tại H
Xét ΔAOB vuông tại B có BH là đường cao:
OB2 = OH.OA
Do đó H ∈ (O;R)
Suy ra BC là tiếp tuyến của đường tròn (O; R)
b) AD và AE là hai tiếp tuyến của (O) nên OA là đường trung trực của DE
⇒ OA ⊥ DE tại K
Ta có: OA ⊥ AB; OA ⊥ DE ⇒ BC // DE
Dễ chứng minh được
⇒ Tứ giác BDEC là hình thang cân
c) Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao: OD2 = OA.OK
Xét tam giác ABO vuông tại B có BH là đường cao:
BH2 = HA.HO = 3R.R = 3R2
⇒ BH = R√3; BC = 2BH = 2R√3
Xét tam giác ADO vuông tại D có DK là đường cao:
Diện tích của hình thang BCED là:
Được cập nhật: 14 tháng 4 lúc 6:53:59 | Lượt xem: 1394
