Bài 65 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình và bất phương trình sau:
LG a
|x2 – 5x + 4| = x2 + 6x + 5
Phương pháp giải:
Sử dụng biến đổi tương đương
\(\left| f \right| = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
\left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Hoặc phá dấu GTTĐ dựa vào điều kiện của f.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện:
x2+ 6x + 5 ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x \le - 5 \hfill \cr
x \ge - 1 \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& |{x^2} - 5x + 4| = {x^2} + 6x + 5 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} - 5x + 4 = {x^2} + 6x + 5 \hfill \cr
{x^2} - 5x + 4 = - {x^2} - 6x - 5 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- 11x = 1 \hfill \cr
2{x^2} + x + 9 = 0(VN) \hfill \cr} \right.\cr & \Leftrightarrow x = - {1 \over {11}} \cr} \)
Ta thấy giá trị x vừa tìm được thỏa mãn điều kiện của đề bài.
Vậy \(S = {\rm{\{ - }}{1 \over {11}}{\rm{\} }}\)
Cách khác:
a) Ta có:
+) TH1: Nếu \({x^2} - 5x + 4 \ge 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x \ge 4\\x \le 1\end{array} \right.\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = {x^2} - 5x + 4\).
Khi đó pt tương đương:
x2-5x + 4=x2 + 6x + 5
⇒11x=-1 ⇒x=-1/11 (thỏa mãn)
Trường hợp 1: nếu x∈(-∞;1]∪[4; + ∞) thì phương trình đã cho tương đương với phương trình:
+) TH2: Nếu \({x^2} - 5x + 4 < 0 \Leftrightarrow 1 < x < 4\) thì \(\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| = - {x^2} + 5x - 4\)
Khi đó phương trình đã cho tương đương
-x2 + 5x-4=x2 + 6x + 5
⇒2x2 + x + 9=0 (vô nghiệm)
Vậy tập nghiệm của phương trình đã cho T={-1/11}
LG b
|x – 1| = 2x – 1
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(2x - 1 \ge 0 \Leftrightarrow x \ge \frac{1}{2}\)
Ta có:
\(|x - 1| = 2x - 1\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x - 1 = 2x - 1 \hfill \cr
x - 1 = 1 - 2x \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\, (KTM)\hfill \cr
x = {2 \over 3} \,\,(TM)\hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{2 \over 3}{\rm{\} }}\).
Cách khác:
LG c
|-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5
Phương pháp giải:
Phá dấu GTTĐ và giải bpt.
Lời giải chi tiết:
Vì -x2 + x – 1 < 0 với ∀x ∈ R (do a= -1 < 0 và \(\Delta = 1 - 4 = - 3 < 0\)) nên \(\left| { - {x^2} + x - 1} \right| = {x^2} - x + 1\).
Khi đó:
|-x2 + x – 1| ≤ 2x + 5
⇔ x2 – x + 1 ≤ 2x + 5
⇔ x2 – 3x + 4 ≤ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 4
Vậy S = [-1, 4]
LG d
|x2 – x| ≤ |x2 – 1|
Phương pháp giải:
Bình phương hai vế \(\left| f \right| \le \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} \le {g^2} \) \(\Leftrightarrow \left( {f - g} \right)\left( {f + g} \right) \le 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
|x2 – x| ≤ |x2 – 1| \( \Leftrightarrow {\left( {{x^2} - x} \right)^2} \le {\left( {{x^2} - 1} \right)^2}\)
⇔ (x2 – x)2 – (x2 – 1)2 ≤ 0
\( \Leftrightarrow \left( {{x^2} - x - {x^2} + 1} \right)\left( {{x^2} - x + {x^2} - 1} \right) \le 0\)
⇔ (1 – x)(2x2 – x – 1) ≤ 0
\( \Leftrightarrow - \left( {x - 1} \right)\left( {x - 1} \right)\left( {2x + 1} \right) \le 0\)
⇔ (x – 1)2(2x + 1) ≥ 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
2x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge - {1 \over 2}\)
Vậy \(S = {\rm{[}} - {1 \over 2}; + \infty )\)
Bài 66 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình sau:
LG a
\(\sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\)
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương
\(\sqrt f = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f = {g^2}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} + 4x - 1} = x + 1\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + 1 \ge 0\\
2{x^2} + 4x - 1 = {\left( {x + 1} \right)^2}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
2{x^2} + 4x - 1 = {x^2} + 2x + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
{x^2} + 2x - 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = - 1 + \sqrt 3 \left( {TM} \right)\\
x = - 1 - \sqrt 3 \left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = - 1 + \sqrt 3
\end{array}\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 + \sqrt 3 {\rm{\} }}\)
LG b
\(\sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} + 101x + 64} = 2(x + 10)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x +10\ge 0 \hfill \cr
4{x^2} + 101x + 64 = 4{(x + 10)^2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
4{x^2} + 101x + 64 = 4{x^2} + 80x + 400
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
21x = 336
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge - 10\\
x = 16
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 16
\end{array}\)
Vậy S = {16}
LG c
\(\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\)
Phương pháp giải:
Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình: y = -2y2 + 3
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\begin{array}{l}
\sqrt {{x^2} + 2x} = - 2{x^2} - 4x + 3\\
\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = - 2\left( {{x^2} + 2x} \right) + 3
\end{array}\)
Đặt \(y = \sqrt {{x^2} + 2x} ;\,y \ge 0\) \( \Rightarrow {y^2} = {x^2} + 2x\), ta có phương trình:
\(\eqalign{
& y = - 2{y^2} + 3 \Leftrightarrow 2{y^2} + y - 3 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 1\,\,(TM)\hfill \cr
y = - {3 \over 2} \,\,(loai)\hfill \cr} \right. \cr} \)
Với \(y = 1 \Rightarrow \sqrt {{x^2} + 2x} = 1 \) \(\Leftrightarrow {x^2} + 2x - 1 = 0\)
\(\Leftrightarrow x = - 1 \pm \sqrt 2 \)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1 - \sqrt 2 , - 1 + \sqrt 2 {\rm{\} }}\)
LG d
\(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = {x^2} + 3x - 4\)
Phương pháp giải:
Vì (x + 1)(x + 2) = x2 + 3x + 2 nên ta đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) ,
ta được phương trình y = y2 - 6
Lời giải chi tiết:
Đặt \(\sqrt {(x + 1)(x + 2)} = y;\,\,y \ge 0\) \(\Rightarrow {y^2} = \left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right) \) \(= {x^2} + 3x + 2 \)
\(\Rightarrow {x^2} + 3x = {y^2} - 2\)
Ta có phương trình:
\(y = {y^2} - 2-4 \Leftrightarrow {y^2} - y - 6 = 0 \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
y = 3(TM) \hfill \cr
y = - 2 (loai)\hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& y = 3 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 2} = 3\cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 2 = 9\cr &\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 7 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{ - 3 \pm \sqrt {37} } \over 2} \cr} \)
Vậy: \(S = {\rm{\{ }}{{ - 3 - \sqrt {37} } \over 2};\,{{ - 3 + \sqrt {37} } \over 2}{\rm{\} }}\)
Bài 67 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình:
LG a
\(\sqrt {{x^2} + x - 6} < x - 1\)
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương
\(\sqrt f < g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g > 0\\
0 \le f < {g^2}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + x - 6} < x - 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + x - 6 \ge 0 \hfill \cr
x - 1 > 0 \hfill \cr
{x^2} + x - 6 < {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}\left[ \begin{array}{l}x \le - 3\\x \ge 2\end{array} \right.\\x > 1\\{x^2} + x - 6 < {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x \le -3 \hfill \cr x \ge 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x > 1 \hfill \cr 3x < 7 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 2 \le x < {7 \over 3} \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}2,{7 \over 3})\)
LG b
\(\sqrt {2x - 1} \le 2x - 3\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2x - 1} \le 2x - 3 \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2x - 1 \ge 0 \hfill \cr
2x - 3 \ge 0 \hfill \cr
2x - 1 \le {(2x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}2x \ge 1\\2x \ge 3\\2x - 1 \le 4{x^2} - 12x + 9\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge {1 \over 2} \hfill \cr x \ge {3 \over 2} \hfill \cr 4{x^2} - 14x + 10 \ge 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{x \le 1 \hfill \cr x \ge {5 \over 2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {5 \over 2} \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}{5 \over 2}; + \infty )\)
LG c
\(\sqrt {2{x^2} - 1} > 1 - x\)
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương
\(\sqrt f > g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f > {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {2{x^2} - 1} > 1 - x \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
1 - x < 0 \hfill \cr
2{x^2} - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
1 - x \ge 0 \hfill \cr
2{x^2} - 1 > {(1 - x)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr
&\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left\{ \begin{array}{l}x > 1\\{x^2} > \frac{1}{2}\left( {dung\,khi\,x > 1} \right)\end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\2{x^2} - 1 > {x^2} - 2x + 1\end{array} \right.\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{x > 1 \hfill \cr \left\{ \matrix{x \le 1 \hfill \cr {x^2} + 2x - 2 > 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{x > 1 \hfill \cr \left\{ \matrix{x \le 1 \hfill \cr \left[ \matrix{x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr&\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x < - 1 - \sqrt 3 \end{array} \right.\\\left\{ \begin{array}{l}x \le 1\\x > - 1 + \sqrt 3 \end{array} \right.\end{array} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x > 1\\x < - 1 - \sqrt 3 \\- 1 + \sqrt 3 < x \le 1\end{array} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x < - 1 - \sqrt 3 \\\left[ \begin{array}{l}x > 1\\- 1 + \sqrt 3 < x \le 1\end{array} \right.\end{array} \right. \cr &\Leftrightarrow \left[ \matrix{x < - 1 - \sqrt 3 \hfill \cr x > - 1 + \sqrt 3 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = ( - \infty , - 1 - \sqrt 3 ) \cup ( - 1 + \sqrt 3 , + \infty )\)
LG d
\(\sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge 2x - 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge 2x - 1 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x - 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x - 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(2x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x < {1 \over 2} \hfill \cr
\left[ \matrix{
x \le - 2 \hfill \cr
x \ge 7 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x \ge {1 \over 2} \hfill \cr
3{x^2} + x + 15 \le 0(VN) \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}x < \frac{1}{2}\\\left[ \begin{array}{l}x \le - 2\\x \ge 7\end{array} \right.\end{array} \right.\cr} \) \(\Leftrightarrow x\le -2\).
Vậy \(S = (-∞, -2]\)
Bài 68 trang 151 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm tập xác định của mỗi hàm số sau:
LG a
\(y = \sqrt {|{x^2} + 3x - 4| - x + 8} \)
Phương pháp giải:
Biến đổi tương đương
\(\left| f \right| \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f \ge g\\
f \le - g
\end{array} \right.\)
Cách khác: Phá dấu GTTĐ và giải các bpt thu được.
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& |{x^2} + 3x - 4| - x + 8 \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow \,|{x^2} + 3x - 4|\,\, \ge x - 8 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 3x - 4 \ge x - 8 \hfill \cr
{x^2} + 3x - 4 \le 8 - x \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{x^2} + 2x + 4 \ge 0(1) \hfill \cr
{x^2} + 4x - 12 \le 0(2) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Xét (1) ta có:
\({x^2} + 2x + 4 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {x^2} + 2x + 1 + 3 \ge 0\) \( \Leftrightarrow {\left( {x + 1} \right)^2} + 3 \ge 0\) (luôn đúng)
Nên tập nghiệm của (1) là R.
Xét (2) ta có:
\({x^2} + 4x - 12 \le 0 \Leftrightarrow - 6 \le x \le 2\) nên tập nghiệm của (2) là [-6;2].
Hợp hai tập nghiệm của (1) và (2) ta được S=R.
Vậy \(S =\mathbb R\).
Cách khác:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
|x2 + 3x - 4| - x + 8 ≥ 0 (*)
+ Nếu -4 < x < 1 thì x2 + 3x – 4 < 0, khi đó (*) trở thành:
- ( x2 + 3x – 4) – x + 8 ≥ 0
⇔ - x2 – 4x + 12 ≥ 0
⇔ -6 ≤ x ≤ 2
Kết hợp điều kiện: - 4 < x < 1 ta được: - 4 < x < 1.
* Trường hợp 2. Nếu x ≤ 4 hoặc x ≥ 1 thì x2 + 3x – 4 ≥ 0 .
Do đó, bất phương trình (*) trở thành:
x2 + 3x – 4 – x + 8 ≥ 0
⇔ x2 + 2x + 4 ( luôn đúng với mọi x vì x2 + 2x + 4 = (x+1)2 + 3 > 0 mọi x).
* Kết hợp cả hai trường hợp,vậy tập xác định của hàm số là D = R.
LG b
\(y = \sqrt {{{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi: \({{{x^2} + x + 1} \over {|2x - 1| - x - 2}} \ge 0\)
Vì \({x^2} + x + 1 = {x^2} + 2.\frac{1}{2}.x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4}\) \( = {\left( {x + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{3}{4} > 0,\forall x\) nên bất phương trình trên tương đương với bất phương trình \(|2x – 1| - x – 2 > 0\)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow |2x - 1| > x + 2 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - 1 > x + 2 \hfill \cr
2x - 1 < - x - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x > 3 \hfill \cr
x < - {1 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = ( - \infty , - {1 \over 3}) \cup (3, + \infty )\).
Cách khác:
LG c
\(y = \sqrt {{1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}}} \)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& {1 \over {{x^2} - 7x + 5}} - {1 \over {{x^2} + 2x + 5}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{{x^2} + 2x + 5 - ({x^2} - 7x + 5)} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{9x} \over {({x^2} - 7x + 5)({x^2} + 2x + 5)}} \ge 0 \cr&\Leftrightarrow {x \over {{x^2} - 7x + 5}} \ge 0\cr &(do\,{x^2} + 2x + 5 =(x+1)^2+4> 0,\forall x) \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
0 \le x < {{7 - \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr
x > {{7 + \sqrt {29} } \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}0,\,{{7 - \sqrt {29} } \over 2}) \cup ({{7 + \sqrt {29} } \over 2}, + \infty )\)
LG d
\(\sqrt {\sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3}\)
Phương pháp giải:
Giải bpt
\(\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Hàm số đã cho xác định khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 5x - 14} - x + 3 \ge 0 \cr&\Leftrightarrow \sqrt {{x^2} - 5x - 14} \ge x - 3 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 5x - 14 \ge {(x - 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < 3\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 7
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
{x^2} - 5x - 14 \ge {x^2} - 6x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 3\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 23
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞; -2] ∪ [23, +∞)\)
Bài 69 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình và bất phương trình sau
LG a
\(|{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2\)
Phương pháp giải:
Giải phương trình
\(\left| f \right| = a\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = a\\
f = - a
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ - 1
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{{x^2} - 2} \over {x + 1}}|\, = 2 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = 2 \hfill \cr
{{{x^2} - 2} \over {x + 1}} = - 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2\left( {x + 1} \right)\\
{x^2} - 2 = - 2\left( {x + 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2 = 2x + 2\\
{x^2} - 2 = - 2x - 2
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
{x^2} - 2x - 4 = 0\\
{x^2} + 2x = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1 \pm \sqrt 5 \\
x = 0,x = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}1 \pm \sqrt 5 ;\,0;\,2\} \)
LG b
\(|{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3\)
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{3x + 4} \over {x - 2}}|\, \le 3 \Leftrightarrow |3x + 4|\, \le \,3|x - 2| \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {3x + 4} \right)^2} \le 9{\left( {x - 2} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 9{x^2} + 24x + 16 \le 9{x^2} - 36x + 36\\
\Leftrightarrow 60x - 20 \le 0\\
\Leftrightarrow x \le \frac{1}{3}
\end{array}\)
Vậy \(S = ( - \infty ,{1 \over 3}{\rm{]}}\).
Cách khác:
LG c
\(|{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\)
Phương pháp giải:
Nhân chéo và bình phương hai vế.
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 3
Ta có:
\(\eqalign{
& |{{2x - 3} \over {x - 3}}|\,\, \ge 1\, \Leftrightarrow \,|2x - 3|\, \ge \,|x - 3| \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {\left( {2x - 3} \right)^2} \ge {\left( {x - 3} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 9 \ge {x^2} - 6x + 9\\
\Leftrightarrow 3{x^2} - 6x \ge 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 2\\
x \le 0
\end{array} \right.
\end{array}\)
Kết hợp \(x\ne 3\) ta được tập nghiệm \(S = (-∞, 0] ∪ [2, 3) ∪ (3, +∞)\).
LG d
\(|2x + 3| = |4 – 3x|\)
Phương pháp giải:
Phương trình
\(\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f = g\\
f = - g
\end{array} \right.\)
Hoặc \(\left| f \right| = \left| g \right| \Leftrightarrow {f^2} = {g^2}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|2x + 3|\, = \,|4 - 3x|\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + 3 = 4 - 3x \hfill \cr
2x + 3 = 3x - 4 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
5x = 1\\
- x = - 7
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over 5} \hfill \cr
x = 7 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over 5},7\} \).
Cách khác:
\(\begin{array}{l}
\left| {2x + 3} \right| = \left| {4 - 3x} \right|\\
\Leftrightarrow {\left( {2x + 3} \right)^2} = {\left( {4 - 3x} \right)^2}\\
\Leftrightarrow 4{x^2} + 12x + 9 = 16 - 24x + 9{x^2}\\
\Leftrightarrow - 5{x^2} + 36x - 7 = 0\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = \frac{1}{5}\\
x = 7
\end{array} \right.
\end{array}\)
Bài 70 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau:
LG a
|x2 – 5x + 4| ≤ x2 + 6x + 5
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\left| f \right| \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
- g \le f \le g
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\left| {{x^2} - 5x + 4} \right| \le {x^2} + 6x + 5\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
{x^2} + 6x + 5 \ge 0\\
- {x^2} - 6x - 5 \le {x^2} - 5x + 4\\
{x^2} - 5x + 4 \le {x^2} + 6x + 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
- 2{x^2} - x - 9 \le 0\left( {dung} \right)\\
- 11x - 1 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge - 1\\
x \le - 5
\end{array} \right.\\
x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \ge - \frac{1}{{11}}
\end{array}\)
Vậy tập nghiệm của bpt là \(S = \left[ { - \frac{1}{{11}}; + \infty } \right)\).
Cách khác:
LG b
4x2 + 4x - |2x + 1| ≥ 5
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\left| f \right| \le g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
- g \le f \le g
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 4x + 5 \le 2x + 1\\
2x + 1 \le 4{x^2} + 4x - 5
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4{x^2} + 4x - 5 \ge 0\\
- 4{x^2} - 6x + 4 \le 0\\
- 4{x^2} - 2x + 6 \le 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{{ - 1 + \sqrt 6 }}{2}\\
x \le \frac{{ - 1 - \sqrt 6 }}{2}
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge \frac{1}{2}\\
x \le - 2
\end{array} \right.\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - \frac{3}{2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \le - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -2] ∪ [1, + ∞)\).
Cách khác:
Bài 71 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình sau
LG a
\(\sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\)
Phương pháp giải:
Bình phương hai vế
\(\sqrt f = g \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f = {g^2}
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {5{x^2} - 6x - 4} = 2(x - 1)\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2(x-1)\ge 0 \hfill \cr
5{x^2} - 6x - 4 = 4{(x - 1)^2} \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
5{x^2} - 6x - 4 = 4{x^2} - 8x + 4
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
{x^2} + 2x - 8 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x = 2\left( {TM} \right)\\
x = - 4\left( {loai} \right)
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x = 2
\end{array}\)
Vậy S = {2}
LG b
\(\sqrt {{x^2} + 3x + 12} = {x^2} + 3x\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \)
Lời giải chi tiết:
ĐK: \({x^2} + 3x + 12 \ge 0\) luôn đúng do \(a=1>0\) và \(\Delta = 9-4.12=-39<0\).
TXĐ: D=R.
Đặt \(t = \sqrt {{x^2} + 3x + 12} \,\,\,(t \ge 0) \) \(\Rightarrow {x^2} + 3x = {t^2} - 12\) , ta có phương trình:
\(t = {t^2} - 12 \Leftrightarrow {t^2} - t - 12 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 4(TM) \hfill \cr
t = - 3 (KTM)\hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& t = 4 \Leftrightarrow \sqrt {{x^2} + 3x + 12} = 4 \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 3x + 12 = 16\cr &\Leftrightarrow {x^2} + 3x - 4 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 4 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-4, 1}
Bài 72 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau
LG a
\(\sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3\)
Phương pháp giải:
Áp dụng:
\(\sqrt A \le B \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
A \ge 0 \hfill \cr
B \ge 0 \hfill \cr
A \le {B^2} \hfill \cr} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} + 6x + 8} \le 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} + 6x + 8 \ge 0 \hfill \cr
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} + 6x + 8 \le {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} + 6x + 8 \ge 0\\2x + 3 \ge 0\\{x^2} + 6x + 8 \le 4{x^2} + 12x + 9\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x \le - 4 \hfill \cr x \ge - 2 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr 3{x^2} + 6x + 1 \ge 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{x \ge - {3 \over 2} \hfill \cr \left[ \matrix{x \le {{ - 3 - \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr x \ge {{ - 3 + \sqrt 6 } \over 3} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x \ge {{\sqrt 6 } \over 3} - 1 \cr} \)
Vậy \(S = {\rm{[}}{{\sqrt 6 } \over 3} - 1, + \infty )\)
LG b
\({{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x - 4} \over {\sqrt {{x^2} - 3x - 10} }} > 1\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
\sqrt {{x^2} - 3x - 10} < 2x - 4 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x^2} - 3x - 10 > 0 \hfill \cr
2x - 4 > 0 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 10 < {(2x - 4)^2} \hfill \cr} \right. \cr& \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}{x^2} - 3x - 10 > 0\\2x - 4 > 0\\{x^2} - 3x - 10 < 4{x^2} - 16x + 16\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{\left[ \matrix{x < - 2 \hfill \cr x > 5 \hfill \cr} \right. \hfill \cr x > 2 \hfill \cr 3{x^2} - 13x + 26 > 0\,\,(\forall x) \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow x > 5 \cr} \)
Vậy \(S = (5, +∞)\)
LG c
\(6\sqrt {(x - 2)(x - 32)} \le {x^2} - 34x + 48\)
Phương pháp giải:
Đặt ẩn phụ \(y = \sqrt {(x - 2)(x - 32)}\).
Lời giải chi tiết:
Đặt \(y = \sqrt {(x - 2)(x - 32)} \) \(= \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \,\,\,(y \ge 0)\)
\( \Rightarrow {y^2} = {x^2} - 34x + 64\)
⇒ x2 – 34x = y2 – 64
Ta có bất phương trình:
6y ≤ y2 - 64+28
⇔ y2 – 6y – 16 ≥ 0
⇔ y ≤ - 2 hoặc y ≥ 8
Với điều kiện y ≥ 0, ta được y ≥ 8
\( \Rightarrow \sqrt {{x^2} - 34x + 64} \ge 8\)
⇔ x2 – 34x + 64 ≥ 64 ⇔ x2 – 34x ≥ 0
⇔ x ≤ 0 hoặc x ≥ 34
Vậy \(S = (-∞, 0] ∪ [34, +∞)\)
Bài 73 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các bất phương trình sau
LG a
\(\sqrt {{x^2} - x - 12} \ge x - 1\)
Phương pháp giải:
Áp dụng
\(\sqrt f \ge g \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
g < 0\\
f \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
g \ge 0\\
f \ge {g^2}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - x - 12} \ge x - 1\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
x - 1 < 0 \hfill \cr
{x^2} - x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
x - 1 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - x - 12 \ge {(x - 1)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \le 0\\
{x^2} - x - 12 \ge 0
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x - 1 \ge 0\\
{x^2} - x - 12 \ge {x^2} - 2x + 1
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x \le 1\\
\left[ \begin{array}{l}
x \ge 4\\
x \le - 3
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge 1\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 3\\
x \ge 13
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -3] ∪ [13, +∞)\)
LG b
\(\sqrt {{x^2} - 4x - 12} > 2x + 3\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {{x^2} - 4x - 12} > 2x + 3 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
\left\{ \matrix{
2x + 3 < 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 \ge 0 \hfill \cr} \right. \hfill \cr
\left\{ \matrix{
2x + 3 \ge 0 \hfill \cr
{x^2} - 4x - 12 > {(2x + 3)^2} \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
x < - \frac{3}{2}\\
\left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
x \ge 6
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
{x^2} - 4x - 12 > 4{x^2} + 12x + 9
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
- 3{x^2} - 16x - 21 > 0
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
\left\{ \begin{array}{l}
x \ge - \frac{3}{2}\\
- 3 < x < - \frac{7}{3}
\end{array} \right.
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x \le - 2\\
- \frac{3}{2} \le x < - \frac{7}{3}
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow x \le - 2
\end{array}\)
Vậy \(S = (-∞, -2]\)
LG c
\({{\sqrt {x + 5} } \over {1 - x}} < 1\)
Phương pháp giải:
Xét các trường hợp \(1-x < 0\) và \(1-x > 0\)
Lời giải chi tiết:
Bất phương trình đã cho tương đương với:
\((I)\,\left\{ \matrix{
1 - x > 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} < 1 - x \hfill \cr} \right.\\(II)\left\{ \matrix{
1 - x < 0 \hfill \cr
\sqrt {x + 5} > 1 - x \hfill \cr} \right.\)
\(\eqalign{
& (I) \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x + 5 \ge 0 \hfill \cr
x + 5 < {(1 - x)^2} \hfill \cr } \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge - 5 \hfill \cr
x+5 < x^2-2x+1 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x < 1 \hfill \cr
x \ge - 5 \hfill \cr
{x^2} - 3x - 4 > 0 \hfill \cr} \right. \cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- 5 \le x < 1 \hfill \cr
\left[ \matrix{
x < - 1 \hfill \cr
x > 4 \hfill \cr} \right. \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow - 5 \le x < - 1 \cr} \)
\(\left( {II} \right) \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x + 5 \ge 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x > 1\\
x \ge - 5
\end{array} \right.\) \(\Leftrightarrow x > 1\)
Vậy \(S = [-5, -1) ∪ (1, +∞)\)
Bài 74 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m sao cho phương trình:
x4 + (1 - 2m)x2 + m2 – 1 = 0
LG a
Vô nghiệm
Phương pháp giải:
Đặt y = x2 ; y ≥ 0, chuyển điều kiện bài toán về điều kiện phương trình ẩn y. Cụ thể:
Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ pt mới vô nghiệm hoặc chỉ có nghiệm âm.
Lời giải chi tiết:
Đặt y = x2 ; y ≥ 0, ta được phương trình:
y2 + (1 – 2m)y + m2 – 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho vô nghiệm ⇔ (1) vô nghiệm hoặc (1) chỉ có nghiệm âm
Phương trình (1) vô nghiệm khi và chỉ khi:
\(\eqalign{
& \Delta = {(1 - 2m)^2} - 4({m^2} - 1) = 5 - 4m < 0 \cr
& \Rightarrow m > {5 \over 4} \cr} \)
Phương trình (1) chỉ có nghiệm âm khi và chỉ khi:
\(\left\{ \matrix{
\Delta \ge 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S < 0 \hfill \cr} \right.\)
Thay Δ = 5 – 4m, P = m2– 1 và S = 2m – 1, ta có hệ:
\(\left\{ \matrix{
5 - 4m \ge 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 < 0 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m \le \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m < \frac{1}{2}
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow m < - 1\)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm khi và chỉ khi
\(\left[ \matrix{
m < - 1 \hfill \cr
m > {5 \over 4} \hfill \cr} \right.\)
LG b
Có hai nghiệm phân biệt
Phương pháp giải:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình ẩn y có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu hoặc có một nghiệm kép dương.
Ta xét hai trường hợp:
+ Phương trình (1) có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi:
P = m2 - 1 < 0 hay -1 < m < 1.
+ Phương trình (1) có nghiệm kép \(\Delta = 0 \Leftrightarrow 5 - 4m = 0 \Leftrightarrow m = \frac{5}{4}\)
Khi đó, với \(m = {5 \over 4}\) thì phương trình (1) là \({y^2} - \frac{3}{2}y + \frac{9}{{16}} = 0 \Leftrightarrow y = \frac{3}{4} > 0\) là nghiệm kép dương (thỏa mãn).
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:
\(m \in ( - 1,1) \cup {\rm{\{ }}{5 \over 4}{\rm{\} }}\)
LG c
Có bốn nghiệm phân biệt
Phương pháp giải:
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt.
Lời giải chi tiết:
Phương trình đã cho có bốn nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, tức là:
\(\left\{ \matrix{
\Delta > 0 \hfill \cr
P > 0 \hfill \cr
S > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
5 - 4m > 0 \hfill \cr
{m^2} - 1 > 0 \hfill \cr
2m - 1 > 0 \hfill \cr} \right. \)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m < \frac{5}{4}\\
\left[ \begin{array}{l}
m > 1\\
m < - 1
\end{array} \right.\\
m > \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Leftrightarrow 1 < m < \frac{5}{4}\)
Bài 75 trang 154 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của a sao cho phương trình:
(a-1)x4 - ax2 + a2 – 1 = 0
có ba nghiệm phân biệt.
Lời giải chi tiết
Đặt y = x2, (\(y\ge 0\)) ta có phương trình:
(a – 1)y2 – ay + a2 – 1 = 0 (1)
Phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có một nghiệm dương và một nghiệm bằng 0.
Phương trình (1) có nghiệm y = 0 khi và chỉ khi:
\(\left( {a - 1} \right){.0^2} - a.0 + {a^2} - 1 = 0 \) \(\Leftrightarrow {a^2} - 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 1\\
a = - 1
\end{array} \right.\)
+ Với a = 1, phương trình (1) trở thành –y = 0 hay y=0.
Do đó phương trình đã cho chỉ có nghiệm duy nhất x=0 (loại)
+ Với a = -1, phương trình (1) trở thành: -2y2 + y = 0
\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
y = 0\\
y = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \Rightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
{x^2} = \frac{1}{2}
\end{array} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 0\\
x = \pm \frac{1}{{\sqrt 2 }}
\end{array} \right.\)
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm phân biệt khi và chỉ khi a = -1.
Được cập nhật: hôm qua lúc 13:56:18 | Lượt xem: 490
