Bài 49 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Xét dấu các tam thức bậc hai sau:
LG a
3x2 - 2x + 1
Phương pháp giải:
Tam thức bậc hai \(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\left( {a \ne 0} \right)\)
Nếu \(\Delta < 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \in \mathbb{R}\)
Nếu \(\Delta = 0\) thì f(x) cùng dấu với hệ số a với mọi \(x \ne - \frac{b}{{2a}}\).
Nếu \(\Delta > 0\) thì f(x) có hai nghiệm phân biệt \({x_1} < {x_2}\).
Khi đó trong khoảng hai nghiệm (\({x_1} < x < {x_2}\)) thì f(x) trái dấu với a, ngoài khoảng hai nghiệm (\(\left[ \begin{array}{l}x > {x_2}\\x < {x_1}\end{array} \right.\)) thì f(x) cùng dấu với a.
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a = 3 > 0
Δ’ = 1 – 3 = -2 < 0
⇒ 3x2 – 2x + 1 > 0,∀x ∈ R
LG b
-x2 + 4x – 1
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a = -1 < 0
Δ’ = 4 – 1 = 3 > 0
Tam thức -x2 + 4x – 1 có hai nghiệm phân biệt \(x = 2 \pm \sqrt 3 \)
LG c
\({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
a = 1 > 0
Δ = 3 – 3 = 0
\({x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4}\) có nghiệm kép \(x = {{\sqrt 3 } \over 2}\)
\( \Rightarrow {x^2} - \sqrt 3 x + {3 \over 4} > 0;\,\forall x \ne {{\sqrt 3 } \over 2}\)
LG d
\((1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 \)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(\eqalign{
& a = 1 - \sqrt 2 < 0 \cr
& (1 - \sqrt 2 ){x^2} - 2x + 1 + \sqrt 2 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr
x = - 3 - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Bảng xét dấu:
Bài 50 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn dương:
LG a
(m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1
Phương pháp giải:
Tam thức
\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c > 0\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Vì m2 + 2 > 0 nên:
(m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀x ∈ R
⇔ Δ’ = (m + 1)2 – (m2 + 2) < 0
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2} + 2m + 1 - {m^2} - 2 < 0\\
\Leftrightarrow 2m - 1 < 0
\end{array}\)
\( \Leftrightarrow m < {1 \over 2}\)
Vậy với \(m < {1 \over 2}\) thì (m2+2)x2 - 2(m+1)x + 1 > 0 ∀ x ∈ R
LG b
(m+2)x2 + 2(m+2)x + m + 3
Phương pháp giải:
Xét hai trường hợp a = 0 và a > 0.
Lời giải chi tiết:
Với \(m = -2\) thì ta có: \(f(x) = 1 >0, ∀x ∈\mathbb R\)
Với \(m ≠ -2\) ta có: \(f(x) > 0, ∀x ∈ R\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a > 0 \hfill \cr
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m + 2 > 0 \hfill \cr
{(m + 2)^2} - (m + 2)(m + 3) < 0 \hfill \cr} \right.\)
\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m > - 2\\
{m^2} + 4m + 4 - \left( {{m^2} + 5m + 6} \right) < 0
\end{array} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m > - 2 \hfill \cr
- m - 2 < 0 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow m > - 2\)
Vậy \(f(x) > 0, ∀x ∈\mathbb R ⇔ m ≥ -2\)
Bài 51 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của m để mỗi biểu thức sau luôn âm.
LG a
\( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1\)
Phương pháp giải:
\(f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c < 0,\forall x\) \( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a < 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Vì \(a = -1 < 0\) nên:
\(\eqalign{
& - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0\,\forall x \in R \cr
& \Leftrightarrow \Delta ' = 2{m^2} - (2{m^2} + 1) < 0 \cr
& \Leftrightarrow - 1 < 0 \cr} \)
Ta thấy điều suy ra luôn đúng
Vậy với mọi m thì \( - {x^2} + 2m\sqrt 2 x - 2{m^2} - 1 < 0; ∀x ∈\mathbb R \)
LG b
\(\left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)
Phương pháp giải:
Xét hai trường hợp a = 0 và a < 0.
Lời giải chi tiết:
Đặt \(f(x) = \left( {m - 2} \right){\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}2\left( {m - 3} \right)x{\rm{ }} + {\rm{ }}m{\rm{ }}-{\rm{ }}1\)
+ Với \(m = 2\) thì \(f(x) = 2x + 1 < 0\) \( \Leftrightarrow x < - \frac{1}{2}\)
Nên m = 2 không thỏa mãn điều kiện yêu cầu bài toán
+ Với \(m ≠ 2\) thì: \(f(x) < 0, ∀x ∈\mathbb R \)
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a < 0 \hfill \cr
\Delta ' < 0 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
m - 2 < 0 \hfill \cr
{(m - 3)^2} - (m - 2)(m - 1) < 0 \hfill \cr} \right. \cr
&\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m < 2\\\left( {{m^2} - 6m + 9} \right) - \left( {{m^2} - 3m + 2} \right) < 0\end{array} \right.\cr &\Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 2 \hfill \cr - 3m + 7 < 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{m < 2 \hfill \cr m > {7 \over 3} \hfill \cr} \right. \cr} \)
Ta không tìm được m thỏa mãn hệ thức trên
Do đó, không có giá trị nào của m để \(f(x) < 0; ∀x ∈\mathbb R\)
Bài 52 trang 135 SGK Đại số 10 nâng cao
Chứng minh định lý về dấu của tam thức bậc 2.
Phương pháp giải
Hướng dẫn: Với các trường hợp Δ < 0 và Δ = 0, sử dụng hệ thức đã biết:
\(f(x) = a{\rm{[(x}}\,{\rm{ + }}{b \over {2a}}{)^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}{\rm{]}}\)
Hay \(af(x) = {a^2}[{(x + {b \over {2a}})^2} - {\Delta \over {4{a^2}}}]\)
Trong trường hợp Δ > 0, sử dụng hệ thức đã biết:
f(x) = a(x – x1)(x – x2) hay af(x) = a2(x – x1)(x – x2)
trong đó, x1 và x2 là hai nghiệm của tam thức bậc hai f(x).
Lời giải chi tiết
Ta có:
\(\begin{array}{l}
f\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\\ = a\left( {{x^2} + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a}} \right)\\
= a\left( {{x^2} + 2.\frac{b}{{2a}}.x + \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}} + \frac{c}{a} - \frac{{{b^2}}}{{4{a^2}}}} \right)\\
= a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{{{b^2} - 4ac}}{{4{a^2}}}} \right]\\
= a\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]\\
\Rightarrow af\left( x \right) = {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right]
\end{array}\)
+ Nếu Δ < 0 thì \( - \frac{\Delta }{{4{a^2}}} > 0 \) \(\Rightarrow {a^2}\left[ {{{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)}^2} - \frac{\Delta }{{4{a^2}}}} \right] > 0 \) \(\Rightarrow af\left( x \right) > 0\) với mọi x ∈ R, tức f(x) cùng dấu với a với mọi x ∈ R
+ Nếu Δ = 0 thì \(af(x) = {a^2}{(x + {b \over {2a}})^{^2}}\) khi đó af(x) > 0 với mọi \(x \ne - {b \over {2a}}\).
+ Nếu Δ > 0 thì f(x) có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 và:
f(x) = a(x – x1)(x – x2)
Do đó: af(x) = a2(x – x1)(x – x2)
Vậy af(x) có cùng dấu với tích (x – x1)(x – x2).
Dấu của tích này được cho trong bảng sau (x1 < x2)
Do đó: af(x) < 0 với mọi x ∈ (x1, x2)
Và af(x) > 0 với mọi x < x1 hoặc x > x2
Được cập nhật: 12 tháng 4 lúc 8:06:31 | Lượt xem: 501
