Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 4: Hệ phương trình bậc nhất nhiều ẩn

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 8 tháng 10 2020 lúc 15:06:52


Mục lục
* * * * *

Bài 30 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Biết rằng phương trình thứ hai trong hệ nghiệm đúng với mọi giá trị của các ẩn. Hãy chọn kết luận đúng trong các khẳng định sau:

Lời giải chi tiết

Tập nghiệm của hệ trùng với tập nghiệm của phương trình bậc nhất.

Chọn (C)

Bài 31 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Bằng định thức, giải các hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ \matrix{
5x - 4y = 3 \hfill \cr 
7x - 9y = 8 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Tính các định thức \(D,D_x,D_y\)

\(\begin{array}{l}
D = \left| \begin{array}{l}
a\,\,\,\,b\\
a'\,\,b'
\end{array} \right| = ab' - a'b\\
{D_x} = \left| \begin{array}{l}
c\,\,\,b\\
c'\,\,b'
\end{array} \right| = cb' - c'b\\
{D_y} = \left| \begin{array}{l}
a\,\,\,c\\
a'\,\,c'
\end{array} \right| = ac' - a'c
\end{array}\)

Nếu \(D\ne 0\) thì hệ có nghiệm \(\left( {x;y} \right) = \left( {\frac{{{D_x}}}{D};\frac{{{D_y}}}{D}} \right)\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(D = \left| \matrix{
5\,\,\,\, - 4 \hfill \cr 
7\,\,\,\, - 9 \hfill \cr} \right| = - 45 + 28 = - 17\)

\({D_x} = \left| \matrix{
3\,\,\,\,\,\, - 4 \hfill \cr 
8\,\,\,\,\,\, - 9 \hfill \cr} \right| = - 27 + 32 = 5\)

\({D_y} = \left| \matrix{
5\,\,\,\,\,\,\,3 \hfill \cr 
7\,\,\,\,\,\,8 \hfill \cr} \right| = 40 - 21 = 19\)

Hệ có nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 5} \over {17}} \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = - {{19} \over {17}} \hfill \cr} \right.\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
\sqrt 3 x + \sqrt 2 y = - 1 \hfill \cr 
2\sqrt 2 x + \sqrt 3 y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(D = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr 
2\sqrt 2 \,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = 3 - 4 = - 1\)

\({D_x} = \left| \matrix{
- 1\,\,\,\,\,\,\sqrt 2 \hfill \cr 
0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\sqrt 3 \hfill \cr} \right| = - \sqrt 3 \)

\({D_y} = \left| \matrix{
\sqrt 3 \,\,\,\,\,\, - 1 \hfill \cr 
2\sqrt 2 \,\,\,\,\,\,0 \hfill \cr} \right| = 2\sqrt 2 \)

Hệ có nghiệm duy nhất: 

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = \sqrt 3 \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = - 2\sqrt 2 \hfill \cr} \right.\)

Bài 32 trang 93 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải các hệ phương trình sau:

LG a

\(\left\{ \matrix{
{4 \over x} + {1 \over {y - 1}} = 3 \hfill \cr 
{2 \over x} - {2 \over {y - 1}} = 4 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

Đặt ẩn phụ \(X = {1 \over x}  ;\,Y = {1 \over {y - 1}}\)

Lời giải chi tiết:

Điều kiện: \(x ≠ 0\) và \(y ≠ 1\).

Đặt \(X = {1 \over x}  ;\,Y = {1 \over {y - 1}}\)

Ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
4X + Y = 3 \hfill \cr 
2X - 2Y = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
X = 1 \hfill \cr 
Y = - 1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
{1 \over x} = 1 \hfill \cr 
{1 \over {y - 1}} = - 1 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x = 1\\
y - 1 = - 1
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Vậy hệ có nghiệm \((1; 0)\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr 
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải:

- Đặt ĐKXĐ.

- Nhân chéo thu gọn hệ phương trình.

Lời giải chi tiết:

 Điều kiện: \(x ≠ y\)

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
{{3(x + y)} \over {x - y}} = - 7 \hfill \cr 
{{5x - y} \over {y - x}} = {5 \over 3} \hfill \cr} \right. \)\(\Rightarrow \left\{ \matrix{
3(x + y) = - 7(x - y) \hfill \cr 
3(5x - y) = 5(y - x) \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
3x + 3y = - 7x + 7y\\
15x - 3y = 5y - 5x
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
10x - 4y = 0 \hfill \cr 
20x - 8y = 0 \hfill \cr} \right.\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
5x - 2y = 0\\
5x - 2y = 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow 5x - 2y = 0 \Leftrightarrow 2y = 5x\)

\(\Leftrightarrow y = {5 \over 2}x\)

Lại có \(x \ne y \Leftrightarrow x \ne \frac{5}{2}x \)

\(\Leftrightarrow  - \frac{3}{2}x \ne 0 \Leftrightarrow x \ne 0\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{5 \over 2}x)\) với \(x\ne 0\).

Bài 33 trang 94 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
x - my = 0 \hfill \cr 
mx - y = m + 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \left|\matrix{1  \;\;\;\;{ - m} \cr m \;\;\;\; { - 1} \cr} \right| \,\, = {m^2} - 1 \cr& {D_x} = \, \left|\matrix{0  \;\;\;\;\;\;\;{ - m} \cr {m + 1} \;\;\;\;\;{ - 1} \cr} \right| \, = m(m + 1) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{1 \;\;\;\;\;\;\; 0 \cr m \;\;\;\;\;\;\; {m + 1} \cr} \right| \, = m + 1 \cr} \) 

+ Với D ≠  0 ⇔ m ≠ ± 1 thì hệ có nghiệm duy nhất:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{m(m + 1)} \over {{m^2} - 1}} = {m \over {m - 1}} \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 1} \over {{m^2} - 1}} = {1 \over {m - 1}} \hfill \cr} \right.\)

+ Với D = 0 ⇔ m = ± 1

i) m = 1, ta có Dx = 2 ≠ 0: Hệ phương trình vô nghiệm

ii) m = -1. Hệ trở thành: 

\(\left\{ \matrix{
x + y = 0 \hfill \cr 
- x - y = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = - x\)

Hệ vô số nghiệm (x, -x) với x ∈ R

LG b

\(\left\{ \matrix{
2ax + 3y = 5 \hfill \cr 
(a + 1)x + y = 0 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{2a} \;\;\;\; \;\;3 \cr 
{a + 1} \;\;\;\; 1 \cr}\right|\, = 2a - 3(a + 1) \cr&= - (a + 3) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{5 & 3 \cr 0 & 1 \cr}\right| = 5 \cr & {D_y} = \left|\matrix{{2a} \;\;\; \;\;5 \cr {a + 1} \;\;\; 0 \cr}\right|= - 5(a + 1) \cr} \) 

+ Nếu a ≠ -3 thì hệ có nghiệm duy nhất: 

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 5} \over {a + 3}} \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = {{5(a + 1)} \over {a + 3}} \hfill \cr} \right.\)

+ Nếu a = -3 thì hệ vô nghiệm (do D =  0, \(D_x\ne 0\)) 

Bài 35 trang 94 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho một mạch điện kín. Biết R1 = 0,25, R2 = 0,36, R3 = 0,45 và U = 0,6V. Gọi I1 là cường độ dòng điện của mạch chính, I2 và Ilà cường độ dòng diện của mạch rẽ. Tính I1, I2, I3 (chính xác đến phần trăm).

Lời giải chi tiết

Ta có hệ phương trình ẩn I1; I2; I3

\(\left\{ \matrix{
{I_1} = {I_2} + {I_3} \hfill \cr 
{R_1}{I_1} + {R_2}{I_2} = U \hfill \cr 
{R_2}{I_2} = {R_3}{I_3} \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{I_1} - {I_2} - {I_3} = 0 \hfill \cr 
0,25{I_1} + 0,36{I_2} = 0,6 \hfill \cr 
0,36{I_2} - 0,45{I_3} = 0 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{I_1} \approx 1,33A \hfill \cr 
{I_2} \approx 0,74A \hfill \cr  
{I_3} \approx 0,59A \hfill \cr} \right.\)

Bài 36 trang 96 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho một hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn. Biết rằng phương trình thứ hai trong hệ vô nghiệm. Hãy chọn kết luận đúng trong các khẳng định sau:

(A) Hệ đã cho nghiệm đúng với mọi giá trị của ẩn;

(B) Hệ đã cho vô nghiệm;

(C) Tập nghiệm của hệ đã cho trùng với tập nghiệm của phương trình thứ nhất;

(D) Không có kết luận gì.

Lời giải chi tiết

Hệ đã cho vô nghiệm

Chọn (B)

Bài 37 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Tính nghiệm gần đúng của hệ phương trình sau (chính xác đến hàng phần trăm):

LG a

\(\left\{ \matrix{
\sqrt 3 x - y = 1 \hfill \cr 
5x + \sqrt 2 y = \sqrt 3 \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{\sqrt 3 } & -1 \cr 
5 & {\sqrt 2 } \cr}\right|\, = \sqrt 6 + 5 \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{1 & { - 1} \cr {\sqrt 3 } & {\sqrt 2 } \cr} \right|\, = \sqrt 2 + \sqrt 3 \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{\sqrt 3 } & 1 \cr 5 & {\sqrt 3 } \cr}\right |\, = - 2 \cr} \)

Hệ phương trịnh có nghiệm duy nhất (x, y) với:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{\sqrt 2 + \sqrt 3 } \over {\sqrt 6 + 5}} \approx 0,42 \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = {{ - 2} \over {\sqrt 6 + 5}} \approx - 0,27 \hfill \cr} \right.\)

LG b

\(\left\{ \matrix{
4x + (\sqrt 3 - 1)y = 1 \hfill \cr 
(\sqrt 3 + 1)x + 3y = 5 \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \left|\matrix{
4 & {\sqrt 3 - 1} \cr 
{\sqrt 3 + 1} & 3 \cr}  \right|\, = 12 - (3 - 1) = 10 \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{1 & {\sqrt 3 - 1} \cr 5 & 3 \cr}  \right|\, = 3 - 5(\sqrt 3 - 1) = 8 - 5\sqrt 3 \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{4 & 1 \cr {\sqrt 3 + 1} & 5 \cr} \right |\, = 20 - (\sqrt 3 + 1) = 19 - \sqrt 3 \cr} \)

Hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{8 - 5\sqrt 3 } \over {10}} \approx - 0,07 \hfill \cr 
y = {{19 - \sqrt 3 } \over {10}} \approx 1,73 \hfill \cr} \right.\)

Bài 38 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Một miếng đất hình chữ nhật có chu vi 2p (mét). Nếu mở rộng miếng đất đó bằng cách tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất tăng thêm 246 \(m^2\). Tính các kích thước của miếng đất đó (biện luận theo p).

Phương pháp giải

- Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y 

- Lập hệ phương trình ẩn x, y và biện luận.

Lời giải chi tiết

Gọi hai kích thước hình chữ nhật là x và y (x > 0; y > 0)

Chu vi HCN là 2p nên 2(x+y)=2p hay x+y=p (1)

Tăng một cạnh thêm 3m và cạnh kia thêm 2m thì diện tích miếng đất mới là (x+3)(y+2)

Do diện tích tăng thêm 246 nên (x+3)(y+2)=xy+246 (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ phương trình:

\(\left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr 
(x + 3)(y + 2) = xy + 246 \hfill \cr} \right. \)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
x + y = p\\
xy + 2x + 3y + 6 = xy + 246
\end{array} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x + y = p \hfill \cr 
2x + 3y = 240 \hfill \cr} \right.\)

\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
2x + 2y = 2p\\
2x + 3y = 240
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 240 - 2p\\
x + y = p
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
y = 240 - 2p\\
x + 240 - 2p = p
\end{array} \right.
\end{array}\)

\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = 3p - 240 \hfill \cr 
y = 240 - 2p \hfill \cr} \right.\)

Do x > 0; y > 0 nên:

\( \left\{ \matrix{
3p - 240 > 0 \hfill \cr 
240 - 2p > 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow 80 < p < 120\)

Vậy kích thước của miếng đất là 3p - 240 (mét) và 240 - 2p (mét) với điều kiện 80 < p < 120.

Bài 39 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải và biện luận các hệ phương trình

LG a

\(\left\{ \matrix{
x + my = 1 \hfill \cr 
mx - 3my = 2m + 3 \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{& D = \,\left|\matrix{
1 & m \cr m & { - 3m} \cr}\right |\, = - 3m - {m^2} = - m(m + 3) \cr & {D_x} = \left|\matrix{1 & m \cr {2m + 3} & { - 3m} \cr} \right |\, = - 3m - m(2m + 3) \cr&\;\;\;\;\;\;= - 2m(m + 3) \cr & {D_y} = \left|\matrix{1 & 1 \cr m & {2m + 3} \cr}\right  |\, = \,2m + 3 - m = m + 3 \cr} \)

+Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ 0 và m ≠ -3 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - 2m(m + 3)} \over { - m(m + 3)}} = 2 \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = {{m + 3} \over { - m(m + 3)}} = - {1 \over m} \hfill \cr} \right.\) 

+ Nếu D = 0 

\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
m = 0 \hfill \cr 
m = - 3 \hfill \cr} \right.\)

i) Với m = 0, Dy = 3 ≠ 0: hệ vô nghiệm

ii) Với m = -3, hệ trở thành:

\(\left\{ \matrix{
x - 3y = 1 \hfill \cr 
- 3x + 9y = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = {{x - 1} \over 3}\)

Hệ có vô số nghiệm \((x;\,{{x - 1} \over 3})\) ; x ∈ R

LG b

\(\left\{ \matrix{
mx + y = 4 - m \hfill \cr 
2x + (m - 1)y = m \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
m & 1 \cr 
2 & {m - 1} \cr}\right  |\, = m(m - 1) - 2 \cr&\;\;\;\;= {m^2} - m - 2 = (m + 1)(m - 2) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{4 - m} & 1 \cr m & {m - 1} \cr}\right  |\, = (4 - m)(m - 1) - m \cr&\;\;\;\;= - {m^2} + 4m - 4 = - {(m - 2)^2} \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{m & {4 - m} \cr 2 & m \cr}\right  |\, = \,{m^2} - 2(4 - m)  \cr&\;\;\;\;= {m^2} + 2m - 8 = (m - 2)(m + 4) \cr} \)

+ Nếu D ≠ 0 ⇔ m ≠ -1 và m ≠ 2 nên hệ có nghiệm duy nhất là:

\(\left\{ \matrix{
x = {{{D_x}} \over D} = {{ - {{(m - 2)}^2}} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{ - m + 2} \over {m + 1}} \hfill \cr 
y = {{{D_y}} \over D} = {{(m + 4)(m - 2)} \over {(m + 1)(m - 2)}} = {{m + 4} \over {m + 1}} \hfill \cr} \right.\)

+ Nếu D = 0 ⇔ m = -1 hoặc m = 2

i) m = -1; Dx ≠ 0. Hệ vô nghiệm

ii) m = 2, thế y = 2 – 2x. Hệ có vô số nghiệm (x; 2 – 2x); x ∈ R

Bài 40 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Với giá trị nào của a thì mỗi hệ phương trình sau có nghiệm?

LG a

\(\left\{ \matrix{
(a + 1)x - y = a + 1 \hfill \cr 
x + (a - 1)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 1} & { - 1} \cr 
1 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 1 = {a^2} \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{a + 1} & { - 1} \cr 2 & {a - 1} \cr} \right|\, = {a^2} - 1 + 2 = {a^2} + 1 \ne 0 \cr} \)

+ Nếu a ≠  0 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = 0 thì hệ vô nghiệm (do Dx ≠ 0)

Vậy hệ có nghiệm ⇔  a ≠ 0

LG b

\(\left\{ \matrix{
(a + 2)x + 3y = 3a + 9 \hfill \cr 
x + (a + 4)y = 2 \hfill \cr} \right.\)

Giải chi tiết:

 Ta  có:

\(\eqalign{
& D = \,\left|\matrix{
{a + 2} & 3 \cr 
1 & {a + 4} \cr} \right|\, = (a + 2)(a + 4) - 3 \cr&= {a^2} + 6a + 5 = (a + 1)(a + 5) \cr & {D_x} = \,\left|\matrix{{3a + 9} & 3 \cr 2 & {a + 4} \cr} \right|\, = (3a + 9)(a + 4) - 6 \cr&= 3{a^2} + 21a + 30 = 3(a + 2)(a + 5) \cr & {D_y} = \,\left|\matrix{{a + 2} & {3a + 9} \cr 1 & 2 \cr} \right|\, = 2(a + 2) - (3a + 9)\cr& = - a - 5 \cr} \)

+ Nếu a ≠ -1 và a ≠ -5 thì hệ có nghiệm duy nhất

+ Nếu a = -1 thì Dy = -4 ≠ 0: hệ vô nghiệm

+ Nếu a =-5 thì hệ thành: 

\(\left\{ \matrix{
- 3x + 3y = - 6 \hfill \cr 
x - y = 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow y = x - 2\)

Hệ có vô số nghiệm (x, x – 2) ∈  R

Vậy hệ có nghiệm khi a ≠ 1

Bài 41 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Tìm tất cả các cặp số nguyên (a, b) sao cho hệ phương trình sau vô nghiệm:

\(\left\{ \matrix{
ax + y = 2 \hfill \cr 
6x + by = 4 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(D = \,\left|\matrix{
a & 1 \cr 
6 & b \cr} \right|\, = ab - 6\)

\(\begin{array}{l}
{D_x} = \left| \begin{array}{l}
2\,\,\,1\\
4\,\,\,b
\end{array} \right| = 2b - 4\\
{D_y} = \left| \begin{array}{l}
a\,\,\,6\\
2\,\,\,\,4
\end{array} \right| = 4a - 12
\end{array}\)

Hệ vô nghiệm thì D = 0 ⇒ ab = 6

Vì a, b ∈ Z nên (a, b) là một trong 8 cặp số nguyên là:

(1, 6); (-1, -6); (6, 1); (-6, -1); (2, 3); (-2, -3); (3, 2); (-3, -2)

Với (a;b)=(1;6) thì \(D = 0,\)\({D_x} = 2b - 4 = 2.6 - 4 = 8 \ne 0\) nên hệ vô nghiệm (thỏa mãn)

Tương tự thay (a, b) bởi một trong các cặp số trên, ta thấy cặp (a, b) = (3, 2) không thỏa mãn yêu cầu bài toán vì với (a, b) = (3, 2) thì 

\(\begin{array}{l}
D = 0\\
{D_x} = 2b - 4 = 2.2 - 4 = 0\\
{D_y} = 4a - 12 = 4.3 - 12 = 0
\end{array}\)

Nên hệ vô số nghiệm (không thỏa mãn)

Vậy có 7 cặp số thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài 42 trang 97 SGK Đại số10 nâng cao

Cho hai đường thẳng (\(d_1\)): x + my = 3 và (\(d_2\)): mx + 4y = 6.

LG a

Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng đó cắt nhau?

Lời giải chi tiết:

Xét hệ phương trình tọa độ giao điểm: 

\(\left\{ \matrix{
x + my = 3 \hfill \cr 
mx + 4y = 6 \hfill \cr} \right.\)

(d1) và (d2) cắt nhau ⇔ hệ có nghiệm duy nhất

⇔ D ≠ 0 \( \Leftrightarrow 4 - {m^2} \ne 0\)⇔ m ≠ ±2

LG b

 Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ấy song song với nhau?

Lời giải chi tiết:

(d1)//(d2) ⇔ hệ vô nghiệm

⇔ D = 0 và Dx ≠ 0 hoặc (Dy ≠ 0)

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - {m^2} = 0\\
\left[ \begin{array}{l}
6\left( {2 - m} \right) \ne 0\\
3\left( {2 - m} \right) \ne 0
\end{array} \right.
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \pm 2\\
m \ne 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = - 2\)

LG c

Với giá trị nào của m thì hai đường thẳng ấy trùng nhau?

Lời giải chi tiết:

(d1) trùng với (d2) ⇔ hệ vô số nghiệm

⇔ D = Dx = Dy = 0

\( \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
4 - {m^2} = 0\\
6\left( {2 - m} \right)= 0\\
3\left( {2 - m} \right)= 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
m = \pm 2\\
m = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m =  2\)

Bài 43 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Giải hệ phương trình (có thể dùng máy tính bỏ túi)

\(\left\{ \matrix{
x - y + z = 7 \hfill \cr 
x + y - z = 1 \hfill \cr 
- x + y + z = 3 \hfill \cr} \right.\)

Phương pháp giải

  • Cộng lần lượt:
  • (1) với (2)
  • (2) và (3)
  • (1) và (3)
  • tìm được x,y,z

Lời giải chi tiết

Cách tự luận:

Cộng vế với vế phương trình thứ nhất và phương trình thứ hai ta được phương trình 2x = 8 hay x = 4.

Cộng vế với vế phương trình thứ hai và phương trình thứ ba ta có 2y = 4 hay y = 2.

Cộng vế với vế phương trình thứ nhất với phương trình thứ ba ta có 2z = 10 hay z = 5.

Vậy hệ đã cho có nghiệm (x; y; z) = (4; 2; 5).

Cách trắc nghiệm:

Sử dụng máy tính bỏ túi, hệ có nghiệm (4; 2; 5)

Bài 44 trang 97 SGK Đại số 10 nâng cao

Bài toán máy bơm nước.

Một gia đình muốn mua một chiếc máy bơm nước. Có hai loại có cùng lưu lượng nước bơm được trong một giờ: loại thứ nhất giá 1,5 triệu đồng, loại thứ hai giá 2 triệu đồng. Tuy nhiên, nếu dùng máy bơm loại thứ nhất thì mồi giờ tiền điện phải trả là 1200 đồng, trong khi dùng máy bơm loại thứ hai thì phải trả 1000 đồng, cho mỗi giờ bơm.

Kí hiệu f(x) và g(x) lần lượt là số tiền (tính bằng nghìn đồng) phải trả khi sử dụng máy bơm loại thứ nhất và loại thứ hai trong X giờ (bao gồm tiền điện và tiền mua máy bơm).

LG a

Hãy biểu diễn f(x) và g(x) dưới dạng các biểu thức của X.

Giải chi tiết:

Ta có:

1,5 triệu = 1500 nghìn

2 triệu = 2000 nghìn

1200  = 1,2 nghìn

Theo đề bài ta có:

f(x)  =1500 + 1,2x

g(x) = 2000 + x

LG b

Vẽ đồ thị của y = f(x) và y = g(x) trên cùng một mặt phẳng tọa độ.

Giải chi tiết:

Đồ thị

LG c

Xác định tọa độ giao điểm của hai đồ thị ấy. Hãy phân tích ý nghĩa kinh tế của giao điểm đó.

Giải chi tiết:

 Hoành độ giao điểm M của hai đồ thị là nghiệm của phương trình f(x) = g(x), tức là:

1500 + 1,2x = 2000 + x

Phương trình này có nghiệm duy nhất là x = 2500.

Tung độ của M là g(2500) = 4500

Vậy tọa độ của M là (2500;4500)

Ta thấy: Khi x > 2500 thì đường thẳng y = f(x) ở phía trên đường thẳng y = g(x)

Từ đó, suy ra ý nghĩa kinh tế của điểm M như sau:

+ Nếu dùng đúng 2500 giờ bơm thì số tiền phải trả (tiền điện và tiền máy bơm cho hai máy bơm là như nhau (và bằng 4500 nghìn đồng)

+ Nếu dùng ít hơn 2500 giờ bơm thì mua máy thứ nhất sẽ tiết kiệm hơn.

+ Nếu dùng nhiều hơn 2500 giờ bơm thì mua máy thứ hai tiết kiệm hơn.


Được cập nhật: 23 tháng 3 lúc 15:38:18 | Lượt xem: 354