Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 3: Tập hợp và các phép toán trên tập hợp

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 8 tháng 10 2020 lúc 12:41:40


Mục lục
* * * * *

Câu 22 trang 20 SGK Đại số 10 Nâng cao

Viết mỗi tập hợp sau bằng cách liệt kê các phần tử của nó:

LG a

A = {x ∈ R | (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0}

Phương pháp giải:

Giải phương trình (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0 bằng phương pháp giải phương trình tích: 

\(AB = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
A = 0\\
B = 0
\end{array} \right.\)

Lời giải chi tiết:

A = {x ∈ R | (2x – x2)(2x2 – 3x – 2) = 0}

Ta có:

\(\eqalign{
& \left( {2x-{x^2}} \right)(2{x^2}-3x-2) = 0 \cr 
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {x^2} = 0 \hfill \cr 
2{x^2} - 3x - 2 = 0 \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0,x = 2 \hfill \cr 
x = 2;x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \)

Vậy \(A = {\rm{\{ }}0,\,\,2;\, - {1 \over 2}{\rm{\} }}\)

LG b

B = {n ∈ N* | 3 < n2 < 30}

Phương pháp giải:

Thực hiện lấy căn bậc hai mỗi vế để đánh giá n, từ đó suy ra n.

Lời giải chi tiết:

 B = {n ∈ N* | 3 < n2 < 30}

Ta có: 3 < n2 < 30\(\Rightarrow \sqrt 3  \approx 1,732 < n < \sqrt {30}  \approx 5,477\)

\(\Rightarrow\) 2 ≤ n ≤ 5 (do n ∈ N*)

Vậy B = {2, 3, 4, 5}

Câu 23 trang 20 SGK Đại số 10 Nâng cao

Viết mỗi tập hợp sau bằng cách chỉ rõ các tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó:

LG a

A = {2, 3, 5, 7}

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy các số 2, 3, 5, 7 đều là các số nguyên tố nhỏ hơn 11 nên:

A = {n ∈ N*| n là số nguyên tố bé hơn 11}

Chú ý:

Ngoài tính chất đặc trưng nếu ra ở trên các em cũng có thể chỉ ra tính chất khác, chẳng hạn:

A = {n ∈ N*| n là số nguyên tố có một chữ số}

LG b

B = {-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3}

Lời giải chi tiết:

Nhận thấy các giá trị -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3 đều có giá trị tuyệt đối không vượt quá 3 nên ta có:

B = {n ∈ Z| |n|  ≤ 3}

Chú ý:

Cũng có thể viết B như sau: B = {n ∈ Z| -3 ≤ n ≤ 3}

LG c

C = {-5, 0, 5, 10, 15}

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\begin{array}{l}
- 5 = 5.\left( { - 1} \right)\\
0 = 5.0\\
5 = 5.1\\
10 = 5.2\\
15 = 5.3
\end{array}

Do đó, C = {5k | k ∈ Z; -1 ≤ k ≤ 3}.

Chú ý:

Cũng có thể viết C như sau:

C = {x ∈ Z| -5 ≤ k ≤ 15 và x chia hết cho 5}

Câu 24 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xét xem hai tập hợp sau đây có bằng nhau không?

A = {x ∈ R | (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0} và B = {5, 3, 1}

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  1. Giải phương trình (x – 1)(x – 2)(x – 3) = 0 tìm tập hợp A và nhận xét.
  2. Hai tập hợp bằng nhau nếu chúng có chung tất cả các phần tử.

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)\left( {x - 3} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x - 1 = 0\\
x - 2 = 0\\
x - 3 = 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\\
x = 2\\
x = 3
\end{array} \right.\)

Do đó, A = {1, 2, 3}

Vậy A ≠ B.

Câu 25 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Giả sử A = {2, 4, 6}; B = {2, 6}; C = {4, 6} và D = {4, 6, 8}.

Hãy xác định xem tập nào là tập con của tập nào.

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Tập hợp A được gọi là tập con của B nếu mọi phần tử của A đều thuộc B.

Lời giải chi tiết

Ta có:

+ Vì 2 ∈ A, 6 ∈ A ⇒ B ⊂ A.

+ Vì 4 ∈ A, 6 ∈ A ⇒ C ⊂ A.

+ Vì 4 ∈ D, 6 ∈ D ⇒ C ⊂ D.

Ngoài ra không còn tập nào là con của tập nào nữa.

Vậy B ⊂ A; C ⊂ A; C ⊂ D.

Câu 26 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em và B là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng Anh ở trường em. Hãy diễn đạt bằng lời các các tập hợp sau:

LG a

A ∩ B

Lời giải chi tiết:

A ∩ B là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học môn Tiếng Anh ở trường em.

LG b

A\B

Lời giải chi tiết:

A\B là tập hợp các học sinh lớp 10 không học môn Tiếng Anh ở trường em.

LG c

A ∪ B

Lời giải chi tiết:

A ∪ B là tập hợp các học sinh lớp 10 đang học ở trường em hoặc các học sinh đang học môn Tiếng Anh ở trường em.

LG d

B \A

Lời giải chi tiết:

B \A là tập hợp các học sinh đang học môn Tiếng Anh của trường em nhưng không học lớp 10.

Câu 27 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Gọi A, B, C, D, E và F lần lượt là tập hợp các tứ giác lồi, tập hợp các hình thang, tập hợp các hình bình hành, tập hợp các hình chữ nhật, tập hợp các hình thoi và tập hợp các hình vuông. Hỏi tập hợp nào là tập con của tập nào? Hãy diễn đạt bằng lời tập D ∩ E.

Lời giải chi tiết

+) Vì hình vuông là hình chữ nhật nên: \(F \subset D.\)

+) Vì hình chữ nhật là hình bình hành nên: \(D \subset C.\)

+) Vì hình bình hành là hình thang nên: \(C \subset B.\)

+) Vì hình thang là hình tứ giác nên \(B \subset A.\)

Vậy: \(F \subset D \subset C \subset B \subset A.\)

Lại có:

+) Vì hình vuông là hình thoi nên: \(F \subset E.\)

+) Vì hình thoi là hình bình hành nên: \(E \subset C.\)

Vậy \(F \subset E \subset C \subset B \subset A.\)

Vậy,

F ⊂ D ⊂ C ⊂ B ⊂ A

F ⊂ E ⊂ C ⊂ B ⊂ A

D ∩ E là tập hợp các tứ giác vừa là hình chữ nhật vừa là hình thoi, tức là hình chữ nhật có hai cạnh kề bằng nhau.

Đây là các hình vuông.

Vậy D ∩ E = F.

Câu 28 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A = {1, 3, 5} và B = {1, 2, 3}.

Tìm hai tập hợp (A\B) ∪ (B\A) và (A ∪ B)\(A ∩ B).

Hai tập hợp nhận được bằng nhau hay khác nhau?

Lời giải chi tiết

Ta có:

A\B = {5}; B\A = {2} ⇒ (A\B) ∪ (B\A) = {2, 5}

A ∪ B = {1, 2, 3, 5}; A ∩ B = {1, 3}

⇒ (A ∪ B)\(A ∩ B) = {2, 5}

Vậy (A\B) ∪ (B\A) = (A ∪ B)\(A ∩ B)

Câu 29 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Điền dấu “x” vào chỗ trống thích hợp

Lời giải chi tiết

a) Sai vì tồn tại \(x = 5,3 \in \left( {2,1;5,4} \right)\) nhưng \(x = 5,3 \notin \left( {2;5} \right)\)

b) Đúng vì \(\left( {2,1;5,4} \right) \subset \left( {2;6} \right)\) nên \(x \in \left( {2,1;5,4} \right) \Rightarrow x \in \left( {2;6} \right)\)

c) Sai vì tồn tại \(x =  - 1,1 \in \left[ { - 1,2;2,3} \right)\) nhưng \(x =  - 1,1 \notin \left[ { - 1;3} \right]\)

d) Đúng vì \(\left[ { - 4,3; - 3,2} \right] \subset \left[ { - 5; - 3} \right]\) nên \(x \in \left[ { - 4,3; - 3,2} \right] \Rightarrow x \in \left[ { - 5; - 3} \right]\)

Câu 30 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho đoạn A = [-5, 1] và khoảng B = (-3, 2). Tìm A ∪ B và A ∩ B.

Lời giải chi tiết

Ta có:

A ∪ B  = [-5, 2); A ∩ B = (-3, 1]

Câu 31 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xác định hai tập hợp A và B, biết rằng:

A\B = {1, 5, 7, 8}  ; B\A = {2, 10} và A ∩ B  = {3, 6, 9}

Phương pháp giải - Xem chi tiết

  • Chứng minh hai đẳng thức A = (A ∩ B) ∪ (A\B) và B = (A ∩ B) ∪ (B\A). Từ đó tìm A, B.

Lời giải chi tiết

Ta có:

A = (A ∩ B) ∪ (A\B)

A = {3, 6, 9, 1, 5, 7, 8}

B = (A ∩ B) ∪ (B\A)

B = {3, 6, 9, 2, 10}

Cách khác:

Dùng biểu đồ Ven:

Từ biểu đồ Ven ta có: A = {1; 3; 5; 6; 7; 8; 9}, B = {2; 3; 6; 9; 10}.

Câu 32 trang 21 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 9} ; B = {0, 2, 4, 6, 8, 9} và C = {3, 4, 5, 6, 7}

Hãy tìm A ∩ (B\C) và (A ∩ B)\C. Hai tập hợp này nhận được bằng nhau hay khác nhau?

Lời giải chi tiết

Ta có:

B\C = {0, 2, 8, 9}

A ∩ (B\C)  = {2, 9}

 A ∩ B = {2, 4, 6, 9}; (A ∩ B)\C = {2, 9}

Vậy A ∩ (B\C) = (A ∩ B)\C

Câu 33 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A và B là hai tập hợp. Dùng biểu đồ Ven để kiểm nghiệm rằng:

LG a

 (A\B) ⊂ A

Giải chi tiết:

 (A\B) ⊂ A

LG b

A  ∩ (B\A) = Ø

Giải chi tiết:

A  ∩ (B\A) = Ø

LG c

A ∪ (B\A) = A ∪ B

Giải chi tiết:

A ∪ (B\A) = A ∪ B

Câu 34 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A là tập hợp các số tự nhiên chẵn không lớn hơn 10,

B = {n ∈ N | n  ≤ 6} và C = {n ∈ N | 4 ≤  n  ≤ 10}

Hãy tìm:

LG a

A ∩ (B ∪ C)

Giải chi tiết:

Ta có:

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}

C = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Nên (B ∪ C) = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

A ∩ (B ∪ C) = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

LG b

(A\B) ∪ (A\C) ∪ (B\C)

Giải chi tiết:

Ta có:

A = {0, 2, 4, 6, 8, 10}

B = {0,1, 2, 3, 4, 5, 6}

C = {4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

Nên A\B = {8, 10}; A\C = {0, 2}; B\C = {0, 1, 2, 3}

⇒ (A\B) ∪ (A\C) ∪ (B\C) = {0, 1, 2, 3, 8,10}

Câu 35 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Điền dấu “x” vào ô trống thích hợp

Lời giải chi tiết

a) Sai vì a là phần tử, {a;b} là tập hợp nên chỉ có quan hệ thuộc hoặc không thuộc chứ không có quan hệ tập con.

b) Đúng vì đây là hai tập hợp và mọi phần tử thuộc {a} đều thuộc {a;b}.

Câu 36 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho tập hợp A = {a; b; c; d}. Liệt kê tất cả các tập hợp con của A có:

LG a

Ba phần tử

Giải chi tiết:

Tập con của A có ba phần tử là: {a; b; c}, {a; b; d}, {a; c; d}, {b; c; d}

LG b

Hai phần tử

Giải chi tiết:

Tập con của A có hai phần tử là: {a; b}, {a; c}, {b; c}, {b; d}, {c; d}, {a; d}

LG c

Không quá một phần tử

Giải chi tiết:

Tập con của A có không quá một phần tử là: Ø, {a}, {b}, {c}, {d}

Câu 37 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho tập hợp A = [a; a+ 2] và B = [b; b + 1].

Các số a, b cần thỏa mãn điều kiện gì để A ∩ B \(\ne\) Ø

Lời giải chi tiết

Ta tìm a, b để \(A \cap B = \phi\).

Ta có:

\(\begin{array}{l}
A \cap B = \emptyset \\
\Leftrightarrow \left[ {a;a + 2} \right] \cap \left[ {b;b + 1} \right] = \emptyset \\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a + 2 < b\\
b + 1 < a
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a < b - 2\\
a > b + 1
\end{array} \right.
\end{array}\)

Do đó, 

\(\begin{array}{l}
A \cap B \ne \emptyset \\
\Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a \ge b - 2\\
a \le b + 1
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow b - 2 \le a \le b + 1
\end{array}\)

Cách khác:

\(A \cap B \ne \phi \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 2 \ge b \hfill \cr 
b + 1 \ge a \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a  \ge b - 2 \hfill \cr 
a  \le b+1 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow b- 2 \le a \le b+1\)

Câu 38 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau:

Phương pháp giải - Xem chi tiết

Lời giải chi tiết

\(\begin{array}{l}Q \subset R \Rightarrow Q \cap R = Q\\{N^*} \subset R \Rightarrow {N^*} \cap R = {N^*}\\Z \subset Q \Rightarrow Z \cup Q = Q\\{N^*} \subset N \Rightarrow N \cup {N^*} = N\end{array}\)

Do đó A, B, C đúng, D sai.

Chọn D.

Câu 39 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho hai nửa khoảng A = (-1, 0] và B = [0, 1).

Tìm A ∪ B, A ∩ B và CRA.

Lời giải chi tiết

A ∪ B

= {x ∈ R\ -1 < x ≤ 0 hoặc 0 ≤ x < 1}

= (-1, 1)

A ∩ B

= {x ∈ R: -1 < x ≤ 0 và 0 ≤ x < 1}

= {0}.

CRA={x ∈ R nhưng \(x \notin \left( { - 1;0} \right]\)}

= \((-∞; -1] ∪ (0; +∞)\)

Câu 40 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A = {n ∈ Z | n = 2k,  k ∈ Z};

B là tập hợp các số nguyên có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8;

C = {n ∈ Z | n = 2k - 2,  k ∈ Z}

D = {n ∈ Z | n = 3k + 2,  k ∈ Z}

Chứng minh rằng A = B, A = C và A ≠ D

Lời giải chi tiết

+) A=B

Giả sử n = 2k, k ∈ Z thì n là nguyên chia hết cho 2 hay n là số chẵn nên n có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6 hoặc 8.

Do đó A ⊂ B.

Ngược lại, những số nguyên n có chữ số tận cùng là 0, 2, 4, 6, 8 thì là số chẵn nên chia hết cho 2.

Ta có thể viết n = 2k, k ∈ Z.

Do đó B ⊂ A.

Vậy A = B

+) A=C

Với ∀ n ∈ A thì n = 2k, k ∈ Z

⇒ n = 2(k + 1) – 2

Đặt k'=k+1 thì n=2k'-2 với k'∈ Z

⇒ n ∈ C

⇒ A ⊂ C

Với ∀ n ∈ C thì n = 2k – 2 = 2(k – 1)

Đặt k''=k-1 thì n=2k'' với k''∈ Z

⇒ n ∈ A

⇒ C ⊂ A

Vậy A = C

+) A ≠ D

Ta thấy 0 ∈ A

Không có số nguyên k nào để 3k+2=0 nên 0 ∉ D.

Do đó 0 ∈ A nhưng 0 ∉ D hay A ≠ D.

Câu 41 trang 22 SGKĐại số 10 Nâng cao

Cho hai nửa khoảng A = (0, 2] và B = [1, 4).

Tìm CR(A ∪ B) và CR(A ∩ B)

Lời giải chi tiết

Ta có: A ∪ B = (0, 4)

CR(A ∪ B) = \((-∞; 0] ∪ [4; +∞)\)

A ∩ B = [1, 2]

CR(A ∩ B) = \((-∞; 1) ∪ (2; +∞)\)

Câu 42 trang 22 SGK Đại số 10 Nâng cao

Cho A = {a, b, c}; B = {b, c, d}; C = {b, c, e}

Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau:

A. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ C;

B. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

C. (A ∪ B) ∩ C = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

D. (A ∩ B) ∪ C = (A ∪ B) ∩ C

Lời giải chi tiết

Ta có: B ∩ C= {b; c}, A ∪ B = {a; b; c; d}, A ∪ C = {a; b; c; e}, A ∩ B = {b; c} nên:

- A∪ (B∩ C) = {a; b; c}, (A∪ B) ∩ C= {b; c}

⇒ Khẳng định (A) là sai.

- A ∪ (B ∩ C) = {a; b; c}, (A∪B) ∩ (A∪ C)= {a; b; c}

⇒Khẳng định (B) là đúng.

- (A ∪ B) ∩ C = {b; c}, (A∪ B) ∩ (A∪ C)= {a; b ;c}

⇒ Khẳng định (C) là sai.

- (A∩ B) ∪ C= {b; c; e}, (A ∪ B) ∩ C= {b; c}

⇒ Khẳng định (D) là sai.

Chọn B.


Được cập nhật: hôm kia lúc 22:06:52 | Lượt xem: 362