Bài 22 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải các phương trình
LG a
\({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\)
Phương pháp giải:
Đặt ĐKXĐ.
Quy đồng mẫu thức, khử mẫu và giải phương trình thu được.
Kiểm tra điều kiện và kết luận.
Lời giải chi tiết:
\({{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\)
Điều kiện: \(x \ne - {1 \over 2}\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2({x^2} - 1)} \over {2x + 1}} = 2 - {{x + 2} \over {2x + 1}}\cr& \Rightarrow 2({x^2} - 1) = 2(2x + 1) - (x + 2) \cr
& \Leftrightarrow 2{x^2} - 2 = 4x + 2 - x - 2 \cr& \Leftrightarrow 2{x^2} - 3x - 2 = 0 \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = - {1 \over 2}\,(\text{loại} )\hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {2}
LG b
\({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\)
Lời giải chi tiết:
\({{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\)
Điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ne 1 \hfill \cr
x \ne - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2x - 5} \over {x - 1}} = {{5x - 3} \over {3x + 5}}\cr& \Rightarrow (2x - 5)(3x + 5) = (5x - 3)(x - 1) \cr
& \Leftrightarrow 6{x^2} + 10x - 15 x- 25 = 5{x^2} - 5x - 3x + 3 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} + 3x - 28 = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 4\;( \text{thỏa mãn})\hfill \cr
x = - 7\;( \text{thỏa mãn}) \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-7, 4}
Bài 23 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải phương trình sau \({{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6\) trong mỗi trường hợp sau:
LG a
m = 3
Lời giải chi tiết:
Với m = 3, ta có: \(\frac{{3 - 3}}{{x - 4}} = {3^2} - 3 - 6 \Rightarrow 0 = 0\)
Phương trình nghiệm đúng ∀x ≠ 4
Vậy S = R\{4}
LG b
m ≠ 3
Lời giải chi tiết:
Với m ≠ 3, ta có:
\(\eqalign{
& {{m - 3} \over {x - 4}} = {m^2} - m - 6 \cr
& \Leftrightarrow {{m - 3} \over {x - 4}} = (m - 3)(m + 2) \cr&\Leftrightarrow {1 \over {x - 4}} = m + 2\,\,(1) \cr} \)
+ Nếu m ≠ -2 thì (1) ta được:
\(\eqalign{
& x - 4 = {1 \over {m + 2}} \cr
& \Leftrightarrow x = 4 + {1 \over {m + 2}} = {{4m + 9} \over {m + 2}}\cr&(x \ne 4) \cr} \)
+ Nếu m = -2 thì (1) vô nghiệm
Vậy m = -2, S = Ø
m = 3; S = R\{4}
m ≠ -2 và m ≠ 3: \(S = {\rm{\{ }}{{4m + 9} \over {m + 2}}{\rm{\} }}\)
Bài 24 trang 84 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các phương trình (a và m là những tham số)
LG a
\(|2ax + 3| = 5\)
Phương pháp giải:
Phương trình
\(\left| {f\left( x \right)} \right| = a\left( {a > 0} \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
f\left( x \right) = a\\
f\left( x \right) = - a
\end{array} \right.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|2ax + 3| = 5\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax + 3 = 5 \hfill \cr
2ax + 3 = - 5 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2ax = 2 \hfill \cr
2ax = - 8 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,(1)\)
Nếu a = 0 thì phương trình vô nghiệm
Nếu a ≠ 0 thì
\((1) \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {1 \over a} \hfill \cr
x = - {4 \over a} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }}{1 \over a};{{ - 4} \over a}{\rm{\} }}\)
LG b
\({{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: \(x ≠ ± 1\)
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2mx - {m^2} + m - 2} \over {{x^2} - 1}} = 1\cr& \Rightarrow 2mx - {m^2} + m - 2 = {x^2} - 1 \cr
& \Leftrightarrow {x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1 = 0\,\,(1) \cr} \)
Xét \(f(x)={x^2} - 2mx + {m^2} - m + 1\)
Ta có:
\(f\left( { - 1} \right) \)\(= {\left( { - 1} \right)^2} - 2m.\left( { - 1} \right) + {m^2} - m + 1\)
\( = {m^2} + m + 2 \)\(= {\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{7}{4} > 0,\forall m\)
Do đó \(\left( 1 \right)\) luôn không nhận \(x = - 1\) làm nghiệm.
Lại có:
\(f\left( 1 \right) = {1^2} - 2m.1 + {m^2} - m + 1\) \( = {m^2} - 3m + 2\)
Do đó (1) không nhận \(x = 1\) làm nghiệm \( \Leftrightarrow f\left( 1 \right) \ne 0\)
\( \Leftrightarrow {m^2} - 3m + 2 \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}m \ne 2\\m \ne 1\end{array} \right.\)
Xét Δ’ = m2 – (m2 – m + 1) = m – 1
+) Với \(m > 1\) và \(m\ne 2 \) thì (1) có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \) khác \(\pm 1\) nên phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt \({x_{1,2}} = m \pm \sqrt {m - 1} \).
+) Với m = 2 thì (1) là:
\({x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
x = 1\left( {loai} \right)\\
x = 3\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)
+ Với m < 1, (1) vô nghiệm
+) Với m = 1 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 2x + 1 = 0 \Leftrightarrow x = 1\left( {loai} \right)\)
Vậy
+) m = 2; S = {3} (loại nghiệm x = 1)
+) m >1 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}m \pm \sqrt {m - 1} {\rm{\} }}\)
+ m \(\le\) 1; S = Ø
Bài 25 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận các phương trình (m, a và k là tham số)
LG a
\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|mx – x + 1| = |x + 2|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx - x + 1 = x + 2 \hfill \cr
mx - x + 1 = - x - 2 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m - 2)x = 1 \,\,\,\,(1)\hfill \cr
mx = - 3 \,\,\,\,\,(2)\hfill \cr} \right.\)
Với \(m = 2\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0x = 1\left( {VN} \right)\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow x = - \frac{3}{2}\) nên \(S = \left\{ { - \frac{3}{2}} \right\}\)
Với \(m = 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0x = - 3\left( {VN} \right)\)
Do đó \(S = \left\{ { - \frac{1}{2}} \right\}\)
Với \(m \ne 0,m \ne 2\) thì \(PT \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m - 2}}\\x = - \frac{3}{m}\end{array} \right.\)
Do đó, \(S = \left\{ {\frac{1}{{m - 2}}; - \frac{3}{m}} \right\}\)
Vậy,
+ Với m = 2; \(S = {\rm{\{ - }}{3 \over 2}{\rm{\} }}\)
+ Với m = 0; \(S = {\rm{\{ }} - {1 \over 2}{\rm{\} }}\)
+ Với m ≠ 0 và m ≠ 2; \(S = {\rm{\{ }}{1 \over {m - 2}}; - {3 \over m}{\rm{\} }}\)
LG b
\({a \over {x - 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2 và x ≠ 2a
Ta có:
\(\eqalign{
& {a \over {x - 2}} + {1 \over {x - 2a}} = 1 \cr&\Rightarrow a(x - 2a) + x - 2 = (x - 2)(x - 2a) \cr
& \Leftrightarrow ax - 2{a^2} + x - 2 = {x^2} - 2x - 2ax + 4a \cr&\Leftrightarrow {x^2} - 3ax - 3x + 2{a^2} + 4a + 2 = 0 \cr& \Leftrightarrow {x^2} - 3\left( {a + 1} \right)x + 2\left( {{a^2} + 2a + 1} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow {x^2} - 3(a + 1)x + 2{(a + 1)^2} = 0 \cr} \)
Δ = 9(a + 1)2 – 8(a + 1)2 = (a + 1)2
Phương trình có hai nghiệm là:
\(\left\{ \matrix{
{x_1} = {{3(a + 1) + a + 1} \over 2} = 2a + 2 \hfill \cr
{x_2} = {{3(a + 1) - (a + 1)} \over 2} = a + 1 \hfill \cr} \right.\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_1} \ne 2 \hfill \cr
{x_1} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
2a + 2 \ne 2 \hfill \cr
2a + 2 \ne 2a \hfill \cr} \right. \cr&\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a \ne 0 \hfill \cr
2 \ne 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 0 \cr } \)
Do đó, với \(a = 0\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 2\left( {KTM} \right)\\{x_2} = 1\left( {TM} \right)\end{array} \right.\) hay pt có nghiệm duy nhất \(x = 1\).
\(\eqalign{
& \left\{ \matrix{
{x_2} \ne 2 \hfill \cr
{x_2} \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a + 1 \ne 2 \hfill \cr
a + 1 \ne 2a \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow a \ne 1 \cr} \)
Do đó, với \(a = 1\) thì \(\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 4\left( {TM} \right)\\{x_2} = 2\left( {KTM} \right)\end{array} \right.\) hay pt có nghiệm duy nhất \(x = 4\).
Vậy: a = 0 thì S = {1}
a = 1 thì S = {4}
a ≠ 0 và a ≠ 1 thì S = {2a + 2; a + 1}
LG c
\({{mx - m - 3} \over {x + 1}} = 1\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ -1 thì phương trình tương đương với:
mx – m – 3 = x + 1 ⇔ (m – 1)x = m + 4 (1)
+ Nếu m = 1 thì 0x = 5 phương trình vô nghiệm
+ Nếu m ≠ 1 thì (1) có nghiệm \(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\)
\(x = {{m + 4} \over {m - 1}}\) là nghiệm của phương trình đã cho
\( \Leftrightarrow {{m + 4} \over {m - 1}} \ne - 1\)\( \Leftrightarrow m + 4 \ne - m + 1 \)
\(\Leftrightarrow m \ne - {3 \over 2}\)
Vậy:
\(\eqalign{
& i)\left\{ \matrix{
m \ne - {3 \over 2} \hfill \cr
m \ne 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,:\,\,S = {\rm{\{ }}{{m + 4} \over {m - 1}}{\rm{\} }} \cr
& ii)\left[ \matrix{
m = - {3 \over 2} \hfill \cr
m = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,\,\,\,:\,\,\,\,S = \emptyset \cr} \)
LG d
\({{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}}\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ ±3
Ta có:
\(\eqalign{
& {{3x + k} \over {x - 3}} = {{x - k} \over {x + 3}} \cr&\Rightarrow (3x + k)(x + 3) = (x - k)(x - 3) \cr
& \Leftrightarrow 3{x^2} + kx + 9x + 3k = {x^2} - kx - 3x + 3k \cr&\Leftrightarrow 2{x^2} + 2kx + 12x = 0 \cr&\Leftrightarrow 2{x^2} + 2\left( {k + 6} \right)x = 0\cr&\Leftrightarrow {x^2} + (k + 6)x = 0 \cr& \Leftrightarrow x\left( {x + k + 6} \right) = 0\cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 0\,\,\,\,(\text{thỏa mãn}) \hfill \cr
x = - k - 6 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Kiểm tra điều kiện:
\(\left\{ \matrix{
x \ne 3 \hfill \cr
x \ne - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
- k - 6 \ne 3 \hfill \cr
- k - 6 \ne - 3 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
k \ne - 9 \hfill \cr
k \ne - 3 \hfill \cr} \right.\)
Vậy: k = -3 hoặc k = -9 thì S = {0}
k ≠ -3 và k ≠ -9 thì S = {0, -k-6}
Bài 26 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Giải và biện luận phương trình sau (m và a là những tham số)
LG a
\((2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
(2x + m – 4)(2mx – x + m) = 0
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x + m - 4 = 0 \hfill \cr
2mx - x + m = 0 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = {{4 - m} \over 2} \,\,(1)\hfill \cr
(2m - 1)x = - m \,\,(2)\hfill \cr} \right.\)
+ Với \(2m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = \frac{1}{2}\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{4 - \frac{1}{2}}}{2} = \frac{7}{4}\)
\(\left( 2 \right) \Leftrightarrow 0x = - \frac{1}{2}\left( {VN} \right)\)
Do đó pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).
+ Với \(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x = {{4 - m} \over 2};\,\,x = {m \over {1 - 2m}}\).
Vậy,
\(m = \frac{1}{2}\) pt có nghiệm duy nhất \(x= \frac{7}{4}\).
\(m \ne {1 \over 2}\) phương trình có hai nghiệm: \(x_1 = {{4 - m} \over 2};\,\,x_2 = {m \over {1 - 2m}}\).
(hai nghiệm này có thể bằng nhau)
LG b
\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
Lời giải chi tiết:
Ta có:
\(|mx + 2x – 1| = | x|\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
mx + 2x - 1 = x \hfill \cr
mx + 2x - 1 = - x \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
(m + 1)x = 1 \hfill \cr
(m + 3)x = 1 \hfill \cr} \right.\,\,\,(*)\)
Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 1\left( {VN} \right)\\2x = 1\end{array} \right. \Leftrightarrow a = \frac{1}{2}\)
Nếu \(m + 3 = 0 \Leftrightarrow m = - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 1\\0x = 1\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - \frac{1}{2}\)
Nếu \(m \ne - 1,m \ne - 3\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{1}{{m + 1}}\\x = \frac{1}{{m + 3}}\end{array} \right.\)
+ Với m = -1 phương trình có nghiệm \(x = {1 \over 2}\)
+ Với m = -3, phương trình có nghiệm \(x = - {1 \over 2}\)
+ Với m ≠ -1 và m ≠ -3 thì phương trình có hai nghiệm: \(x = {1 \over {m + 1}};\,\,x = {1 \over {m + 3}}\)
LG c
\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≥ 1
Ta có:
\((mx + 1)\sqrt {x - 1} = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx + 1 = 0\\
\sqrt {x - 1} = 0
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
mx = - 1\,\left( 1 \right)\\
x = 1\left( {TM} \right)
\end{array} \right.\)
+ Với m = 0 thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow 0x = - 1\left( {VN} \right)\) nên phương trình có nghiệm x = 1
+ Với m ≠ 0 (1) ⇔ \(x = - {1 \over m}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(\eqalign{
& - {1 \over m} \ge 1 \Leftrightarrow - {1 \over m} - 1 \ge 0\cr& \Leftrightarrow {{ - m - 1} \over m} \ge 0 \cr
& \Leftrightarrow {{m + 1} \over m} \le 0 \Leftrightarrow - 1 \le m < 0 \cr} \)
Do đó:
+ Với -1 < m < 0 ; \(S = {\rm{\{ }}1;\, - {1 \over m}{\rm{\} }}\)
+ Với
\(\left[ \matrix{
m \le -1 \hfill \cr
m \ge 0 \hfill \cr} \right.\,\,\,;\,\,\,S = {\rm{\{ }}1\} \)
LG d
\({{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ 2
Ta có:
\(\eqalign{
& {{2a - 1} \over {x - 2}} = a - 2 \cr&\Rightarrow 2a - 1 = (a - 2)(x - 2) \cr
& \Leftrightarrow (a - 2)x = 4a - 5\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \cr} \)
+ Với a = 2 thì S = Ø
+ Với a ≠ 2 thì \((1) \Leftrightarrow x = {{4a - 5} \over {a - 2}}\)
Kiểm tra điều kiện:
\(x \ne 2 \Leftrightarrow {{4a - 5} \over {a - 2}} \ne 2\)
\(\Leftrightarrow 4a - 5 \ne 2a - 4 \Leftrightarrow a \ne {1 \over 2}\)
Vậy a = 2 hoặc \(a = {1 \over 2}\,;\,\,\,\,S = \emptyset \)
a ≠ 2 và \(a \ne {1 \over 2};\,\,\,\,\,S = {\rm{\{ }}{{4a - 5} \over {a - 2}}{\rm{\} }}\)
LG e
\({{(m + 1)x + m - 2} \over {x + 3}} = m\)
Lời giải chi tiết:
Điều kiện: x ≠ -3
Phương trình đã cho tương đương với:
(m + 1)x+ m – 2= m(x + 3) ⇔ x = 2m + 2
x = 2m + 2 là nghiệm của phương trình \( \Leftrightarrow 2m + 2 \ne - 3 \Leftrightarrow m \ne - {5 \over 2}\)
i) Với \(m \ne - {5 \over 2}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất x = 2m + 2
ii) Với \(m = - {5 \over 2}\) thì phương trình vô nghiệm
LG f
\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}|\, = a\)
Lời giải chi tiết:
Rõ ràng a < 0 thì phương trình vô nghiệm
Với a ≥ 0. Điều kiện: x ≠ 1
Ta có:
\(|{{ax + 1} \over {x - 1}}| = a \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ax + 1} \over {x - 1}} = a \hfill \cr
{{ax + 1} \over {x - 1}} = - a \hfill \cr} \right.\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
ax + 1 = ax - a \hfill \cr
ax + 1 = - ax + a \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
a = - 1\,\,\,(l) \hfill \cr
2ax = a - 1 \,\,\,(1)\hfill \cr} \right.\)
Nếu \(a = 0\) thì \(0x = - 1\left( {VN} \right)\) nên pt đã cho vô nghiệm
Nếu \(a > 0\) thì \(\left( 1 \right) \Leftrightarrow x = \frac{{a - 1}}{{2a}}\)
Kiểm tra ĐK: \(\frac{{a - 1}}{{2a}} \ne 1 \Leftrightarrow a - 1 \ne 2a\) \( \Leftrightarrow - a - 1 \ne 0 \Leftrightarrow a \ne - 1\) (thỏa mãn do \(a > 0\)).
Vậy a = 0 ; S = Ø
\(a > 0;\,x = {{a - 1} \over {2a}}\,\, ;\,\,S = {\rm{\{ }}{{a - 1} \over {2a}}{\rm{\} }}\)
Bài 27 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Bằng cách đặt ẩn phụ, giải các phương trình sau:
LG a
\(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\)
Lời giải chi tiết:
\(4{x^2} - 12x - 5\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} + 15 = 0\)
Đặt \(t = \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} \,\,(t \ge 0)\)
\(\Rightarrow {t^2} = 4{x^2} - 12x + 11\)
⇒ 4x2 – 12x = t2 – 11
Ta có phương trình:
\({t^2} - 11 - 5t + 15 = 0 \)\(\Leftrightarrow {t^2} - 5t + 4 = 0\)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = 4 \hfill \cr} \right.\)
+ Với t = 1, ta có:
\(\sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 1 \)\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 11 = 1\)\(\Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 10 = 0\) (vô nghiệm do \(\Delta ' = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.10 < 0\))
+ Với t = 4, ta có:
\(\eqalign{
& \sqrt {4{x^2} - 12x + 11} = 4\cr& \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x + 11 = 16\cr& \Leftrightarrow 4{x^2} - 12x - 5 = 0 \cr
& \Leftrightarrow x = {{6 \pm \sqrt {56} } \over 4} = {{3 \pm \sqrt {14} } \over 2} \cr} \)
LG b
\({x^2}+ 4x – 3|x + 2| + 4 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = | x + 2| (t ≥ 0) \)
\( \Rightarrow {t^2} = {\left( {x + 2} \right)^2} = {x^2} + 4x + 4\)
⇒ x2 + 4x = t2 – 4
Ta có phương trình:
\(\eqalign{
& {t^2} - 4 - 3t + 4 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 3t = 0 \cr&\Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 0 \hfill \cr
t = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
|x + 2| = 0 \hfill \cr
|x + 2| = 3 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x + 2 = 3 \hfill \cr
x + 2 = - 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
x = 1 \hfill \cr
x = - 5 \hfill \cr} \right. \cr} \)
Vậy S = {-5, -2, 1}
LG c
\(4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} + |2x - {1 \over x}| - 6 = 0\)
Lời giải chi tiết:
Đặt \(t = |2x - {1 \over x}|\,\,\,(t \ge 0)\)
\( \Rightarrow {t^2} = 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} - 4\)
\(\Rightarrow 4{x^2} + {1 \over {{x^2}}} = {t^2} + 4\)
Ta có phương trình:
\({t^2} + 4 + t - 6 = 0 \)\(\Leftrightarrow {t^2} + t - 2 = 0\)
\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
t = 1 \hfill \cr
t = - 2\,\,(l) \hfill \cr} \right.\)
\(t = 1 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
2x - {1 \over x} = 1 \hfill \cr
2x - {1 \over x} = - 1 \hfill \cr} \right. \)
\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
2{x^2} - x - 1 = 0 \hfill \cr
2{x^2} + x - 1 = 0 \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1;\,x = - {1 \over 2} \hfill \cr
x = - 1;\,x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(S = {\rm{\{ }} - 1, - {1 \over 2};{1 \over 2};1\} \)
Bài 28 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Tìm các giá trị của tham số m sao cho phương trình sau có nghiệm duy nhất : |mx – 2| = |x + 4| (*)
Phương pháp giải
Bình phương hai vế, biện luận phương trình bậc hai và kết luận.
Lời giải chi tiết
Ta có:
|mx – 2| = |x + 4| ⇔ (mx -2)2 = (x + 4)2
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - 4mx + 4 = {x^2} + 8x + 16\\
\Leftrightarrow {m^2}{x^2} - {x^2} - 4mx - 8x + 4 - 16 = 0
\end{array}\)
⇔ (m2 – 1)x2 - 4(m + 2)x – 12 = 0 (1)
+ Với m = 1 thì (1) trở thành : -12x – 12 = 0 ⇔ x = -1
+ Với m = -1 thì (1) trở thành: -4x – 12 = 0 ⇔ x = -3
+ Với m ≠ ± 1 thì (1) có nghiệm duy nhất:
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow\Delta ' = 4{(m + 2)^2} + 12({m^2} - 1) = 0\cr& \Leftrightarrow 4{m^2} + 4m + 1 = 0 \cr
& \Leftrightarrow {(2m + 1)^2} = 0 \Leftrightarrow m = - {1 \over 2} \cr} \)
Với \(m \in {\rm{\{ }} - 1; - {1 \over 2};1\}\) thì phương trình có nghiệm duy nhất.
Cách khác:
Ta có:
\(\begin{array}{l}\left| {mx - 2} \right| = \left| {x + 4} \right|\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - 2 = x + 4\\mx - 2 = - x - 4\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}mx - x = 4 + 2\\mx + x = - 4 + 2\end{array} \right.\\ \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}\left( {m - 1} \right)x = 6\\\left( {m + 1} \right)x = - 2\end{array} \right.\,\,\left( * \right)\end{array}\)
Nếu \(m - 1 = 0 \Leftrightarrow m = 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}0x = 6\left( {VN} \right)\\2x = - 2\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 1\)
Nếu \(m + 1 = 0 \Leftrightarrow m = - 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} - 2x = 6\\0x = - 2\left( {VN} \right)\end{array} \right. \Leftrightarrow x = - 3\)
Nếu \(m \ne \pm 1\) thì \(\left( * \right) \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}x = \frac{6}{{m - 1}}\\x = - \frac{2}{{m + 1}}\end{array} \right.\)
PT đã cho có nghiệm duy nhất
\( \Leftrightarrow \frac{6}{{m - 1}} = - \frac{2}{{m + 1}}\)
⇔ 6m + 6 = -2m + 2
⇔ 8m = -4 ⇔ m = -1/2
Tóm lại : m = 1 hoặc m = -1 , hoặc m = -1/2 thì pt đã cho có nghiệm duy nhất
Bài 29 trang 85 SGK Đại số 10 nâng cao
Với giá trị của a thì phương trình sau vô nghiệm?
\({{x + 1} \over {x - a + 1}} = {x \over {x + a + 2}}\)
Phương pháp giải
- Nhân chéo suy ra phương trình hệ quả.
- Biện luận phương trình thu được suy ra điều kiện vô nghiệm.
Chú ý ĐKXĐ của pt đã cho.
Lời giải chi tiết
Điều kiện: x ≠ a – 1 và x ≠ -a – 2
Ta có:
(1) ⇔ (x + 1)(x + a + 2) = x(x – a + 1)
⇔ x2 + (a + 3)x + a + 2 = x2 – (a – 1)x
⇔ 2(a + 1)x = -a – 2 (2)
+ Với a = -1 thì (2) là 0x=-1 (vô lí) nên S = Ø.
+ Với a ≠ -1 thì \((2) \Leftrightarrow x = {{ - a - 2} \over {2(a + 1)}}\)
Phương trình đã cho vô nghiệm
\(\eqalign{
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = a - 1 \hfill \cr
x = - a - 2 \hfill \cr} \right.\cr& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
{{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} = a - 1 \hfill \cr
{{ - a - 2} \over {2(a + 1)}} = - a - 2 \hfill \cr} \right. \cr
& \Leftrightarrow \left[ \matrix{
- a - 2 = 2({a^2} - 1) \hfill \cr
- (a + 2) = -2(a + 2)(a + 1) \hfill \cr} \right.\cr} \)
\(\begin{array}{l}
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
- a - 2 = 2{a^2} - 2\\
a + 2 = 2\left( {a + 2} \right)\left( {a + 1} \right)
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
2{a^2} + a = 0\\
\left( {a + 2} \right)\left( {2a + 2} \right) - \left( {a + 2} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a\left( {2a + 1} \right) = 0\\
\left( {a + 2} \right)\left( {2a + 1} \right) = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
2a + 1 = 0\\
a + 2 = 0
\end{array} \right.\\
\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
a = 0\\
a = - \frac{1}{2}\\
a = - 2
\end{array} \right.
\end{array}\)
Vậy \(a = 0,a = - \frac{1}{2},a = - 2,a = - 1\) thì pt đã cho vô nghiệm.
Được cập nhật: 8 giờ trước (15:20:06) | Lượt xem: 529
