Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 3: Hàm số bậc hai

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 8 tháng 10 2020 lúc 13:45:26


Mục lục
* * * * *

Bài 27 trang 58 SGK Đại số 10 nâng cao

Cho các hàm số :

a) \(y = -x^2- 3\);

b) \(y = (x - 3)^2\);

c) \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\)         

d)  \(y =  - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\)     

Không vẽ đồ thị, hãy mô tả đồ thị của mỗi hàm số trên bằng cách điền vào chỗ trống (...) theo mẫu:

- Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ...

- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng...

- Parabol hướng bề lõm (lên trên/ xuống dưới)...

LG a

\(y = -x^2- 3\)

Phương pháp giải:

- Đỉnh parabol \(\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\)

- Trục đối xứng \(x= - \frac{b}{{2a}}\)

- Bề lõm: a > 0 hướng lên trên; a < 0 hướng xuống dưới.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
a = - 1,b = 0,c = - 3\\
\Delta = {0^2} - 4.\left( { - 1} \right).\left( { - 3} \right) = - 12\\
- \frac{b}{{2a}} = 0\\
- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{ - 12}}{{4.\left( { - 1} \right)}} = - 3
\end{array}\)

Đồ thị hàm số \(y = -x^2- 3\)

– Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (0; -3);

- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 0

- Parabol hướng bề lõm xuống dưới.

LG b

\(y = (x - 3)^2\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
y = {\left( {x - 3} \right)^2} = {x^2} - 6x + 9\\
a = 1,b = - 6,c = 9\\
\Delta = {\left( { - 6} \right)^2} - 4.1.9 = 0\\
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 6}}{{2.1}} = 3\\
- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{0}{{4.1}} = 0
\end{array}\)

Đồ thị hàm số \(y = (x - 3)^2\)

 – Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (3; 0);

- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 3;

- Parabol hướng bề lõm lên trên.

LG c

\(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\) 

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
a = \sqrt 2 ,b = 0,c = 1\\
\Delta = {0^2} - 4.\sqrt 2 .1 = - 4\sqrt 2 \\
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{0}{{2.\sqrt 2 }} = 0\\
- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{{ - 4\sqrt 2 }}{{4.\sqrt 2 }} = 1
\end{array}\)

Đồ thị hàm số  \(y = \sqrt 2 {x^2} + 1\)   

- Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (0; 1);

- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = 0;

- Parabol hướng bề lõm về phía trên.

LG d

\(y =  - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
y = - \sqrt 2 {\left( {x + 1} \right)^2}\\
= - \sqrt 2 \left( {{x^2} + 2x + 1} \right)\\
= - \sqrt 2 {x^2} - 2\sqrt 2 x - \sqrt 2 \\
a = - \sqrt 2 ,b = - 2\sqrt 2 ,c = - \sqrt 2 \\
\Delta = {\left( { - 2\sqrt 2 } \right)^2} - 4.\left( { - \sqrt 2 } \right).\left( { - \sqrt 2 } \right) = 0\\
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{ - 2\sqrt 2 }}{{2.\left( { - \sqrt 2 } \right)}} = - 1\\
- \frac{\Delta }{{4a}} = - \frac{0}{{4.\left( { - \sqrt 2 } \right)}} = 0
\end{array}\)

Đồ thị hàm số \(y =  - \sqrt 2 {(x + 1)^2}\)        

- Đỉnh của parabol là điểm có tọa độ (-1; 0);

- Parabol có trục đối xứng là đường thẳng x = -1;

- Parabol hướng bề lõm về xuống dưới.

Bài 28 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = ax2 + c. Tìm a và c trong mỗi trường hợp sau:

LG a

y nhận giá trị bằng 3 khi x = 2 và có giá trị nhỏ nhất là -1;

Phương pháp giải:

Hàm số bậc hai có GTNN thì a > 0, từ đó đánh giá GTNN.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y\left( 2 \right) = 3 \Leftrightarrow a{.2^2} + c = 3\)

\( \Leftrightarrow 4a + c = 3\,\,(1)\)

\(y\) có giá trị nhỏ nhất là \(-1\) thì \(a > 0\).

Khi đó, \(y = a{x^2} + c \ge c \)

\(\Rightarrow \min y =  - 1 \Leftrightarrow c =  - 1\)

GTNN đạt được tại x=0.

Thay \(c = -1\) vào (1) ta được \(4a + \left( { - 1} \right) = 3 \Leftrightarrow a = 1\) (nhận)

Vậy \(a = 1; c = -1\).

LG b

Đỉnh của parabol (P) là I(0; 3) và một trong hai giao điểm của (P) với trục hoành là A(-2; 0).

Lời giải chi tiết:

\(I (0; 3) ∈ (P)\) nên \(a{.0^2} + c = 3 \Leftrightarrow c = 3\)

\(A(-2; 0) ∈ (P)\) nên:

\(\begin{array}{l}
a.{\left( { - 2} \right)^2} + c = 0 \Leftrightarrow 4a + c = 0\\
\Rightarrow 4a + 3 = 0 \Leftrightarrow a = - \frac{3}{4}
\end{array}\)

Vậy \(a =  - {3 \over 4} ; c = 3\)

Bài 29 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (P) là đồ thị của hàm số y = a(x - m)2. Tìm a và m trong mỗi trường hợp sau.

LG a

Parabol (P) có đỉnh là I(-3; 0) và cắt trục tung tại điểm M(0; -5)

Phương pháp giải:

Hoành độ đỉnh parabol \(x =  - \frac{b}{{2a}}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(y = a\left( {{x^2} - 2mx + {m^2}} \right)\) \( = a{x^2} - 2ma.x + a{m^2}\)  (\(a\ne 0\))

(P) có đỉnh \(I\left( { - 3;0} \right)\) nên \( - \frac{{ - 2ma}}{{2a}} =  - 3 \Leftrightarrow m =  - 3\)

Khi đó \(y = a{\left( {x + 3} \right)^2}\).

(P) cắt trục tung tại M(0;-5) nên:

\( - 5 = a{\left( {0 + 3} \right)^2}\) \( \Leftrightarrow  - 5 = 9a \Leftrightarrow a =  - \frac{5}{9}\)

Vậy \(a =  - {5 \over 9} ; m = -3\)

LG b

Đường thẳng y = 4 cắt (P) tại hai điểm A(-1; 4) và B(3; 4).

Lời giải chi tiết:

\(A(-1; 4) ∈ (P)\) và \(B(3; 4) ∈ (P)\) nên:

\(\left\{ \matrix{
a{( - 1 - m)^2} = 4 \hfill \cr 
a{(3 - m)^2} = 4 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a{(m + 1)^2}=4\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,(1) \hfill \cr 
a{(m - 3)^2} = 4\,\,\,\,\,\,(2) \hfill \cr} \right.\) 

Từ (1) và (2) suy ra:

\({\left( {m + 1} \right)^2} = {\rm{ }}{\left( {m{\rm{ }}-{\rm{ }}3} \right)^2} \)

\( \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
m + 1 = m - 3\\
m + 1 = - m + 3
\end{array} \right. \)\(\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}
0m = - 4\left( {VN} \right)\\
2m = 2
\end{array} \right. \Leftrightarrow m = 1\)

Thay m = 1 vào (1) ta được :\(a.{\left( {1 + 1} \right)^2} = 4 \Leftrightarrow 4a = 4 \Leftrightarrow a = 1\)

Vậy \(a = 1; m = 1\)

Bài 30 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao

Viết mỗi hàm số sau đây thành dạng \(y{\rm{ }} = {\rm{ }}a{\left( {x{\rm{ }} - {\rm{ }}p} \right)^2} + q\) từ đó hãy cho biết đồ thị của nó có thể suy ra từ đồ thị hàm số nào nhờ các phép tịnh tiến đồ thị song song với các trục tọa độ và mô tả cụ thể các phép tịnh tiến.

LG a

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}12\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y{\rm{ }} = {\rm{ }}{x^2} - {\rm{ }}8x{\rm{ }} + {\rm{ }}16{\rm{ }}-{\rm{ }}4{\rm{ }} = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}4\)

Đồ thị hàm số \(y = {\rm{ }}{\left( {x{\rm{ }}-{\rm{ }}4} \right)^2}-{\rm{ }}4\) có được nhờ tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số \(y = x^2\) sang phải 4 đơn vị, rồi xuống dưới 4 đơn vị.

LG b

\({y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{x^2} - {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}9}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\({y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{x^2} - {\rm{ }}12x{\rm{ }} + {\rm{ }}9}\)

\(\begin{array}{l}
= - 3{x^2} - 12x - 12 + 21\\
= - 3\left( {{x^2} + 4x + 4} \right) + 21\\
= - 3{\left( {x + 2} \right)^2} + 21
\end{array}\)

Đồ thị hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 3{{\left( {x{\rm{ }} + {\rm{ }}2} \right)}^{2}} + {\rm{ }}21 \) có được nhờ tịnh tiến liên tiếp đồ thị hàm số \(y = -3x^2\) sang trái 2 đơn vị, rồi lên trên 21 đơn vị.

Bài 31 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao

Hàm số \(y{\rm{ }} = {\rm{ }} - 2{x^2} - {\rm{ }}4x{\rm{ }} + {\rm{ }}6\) có đồ thị là Parabol (P).

LG a

Tìm tọa độ đỉnh, phương trình trục đối xứng của (P).

Lời giải chi tiết:

Ta có: a = -2; b = -4; c = 6

\(\eqalign{
& {x_0} = {{ - b} \over {2a}} = {4 \over { - 4}} = - 1 \cr 
& \Rightarrow {y_0} = - 2{( - 1)^2} - 4( - 1) + 6 = 8 \cr} \)

Tọa độ đỉnh (P) là: \(I = (-1; 8)\)

Phương trình trục đối xứng của (P) là: \(x = -1\)

LG b

Vẽ Parabol (P).

Lời giải chi tiết:

Đồ thị (P):

Là parabol có bề lõm hướng xuống dưới

Trục đối xứng x=-1

Giao đồ thị với \(Ox\) :

\(y = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 1 \hfill \cr 
x = - 3 \hfill \cr} \right.\)

Giao với Oy tại (0;6)

LG c

Dựa vào đồ thị, hãy cho biết tập hợp các giá trị của x sao cho y ≥ 0

Phương pháp giải:

Giá trị của x để y ≥ 0 là hoành độ các điểm thuộc phần đồ thị phía trên trục Ox.

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(y ≥ 0 ⇔ -3 ≤ x ≤ 1\)

Bài 32 trang 59 SGK Đại số 10 nâng cao

Với mỗi hàm số y = -x2 + 2x + 3 và \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\) , hãy:

LG a

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số.

Lời giải chi tiết:

y = -x2 + 2x + 3

\(a=-1, b=2, c=3\)

\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{2}{{2.\left( { - 1} \right)}} = 1\\
y\left( 1 \right) = - {1^2} + 2.1 + 3 = 4
\end{array}\)

Tọa độ đỉnh I(1, 4)

Trục đối xứng x=1

Bảng giá trị:

x01-13
y3400

Đồ thị:

\(y = 0 ⇔ x = -1\) hoặc \(x = 3\)

+) Hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\)

\(a = \frac{1}{2},b = 1,c =  - 4\)

\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{1}{{2.\frac{1}{2}}} = - 1\\
y\left( { - 1} \right) = - \frac{9}{4}
\end{array}\)

Tọa độ đỉnh \(I( - 1; - {9 \over 2})\)

Trục đối xứng: x=-1.

Bảng giá trị:

x-1024
y \( - {9 \over 2}\)-400

Đồ thị hàm số:

Đồ thị:

\(y = 0 \Leftrightarrow {1 \over 2}{x^2} + x - 4 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
x = 2 \hfill \cr 
x = - 4 \hfill \cr} \right.\)

LG b

Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y > 0.

Lời giải chi tiết:

Hàm số y = -x2 + 2x + 3 có: \(y > 0 ⇔ -1 < x < 3\)

Hàm số \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\)  có:

\(y > 0 ⇔ x < -4\) hoặc \(x > 2\)

LG c

Tìm tập hợp các giá trị x sao cho y < 0.

Lời giải chi tiết:

Hàm số y = -x2 + 2x + 3 có: \(y < 0 ⇔ x < -1\) hoặc \(x > 3\) 

Hàm số: \(y = {1 \over 2}{x^2} + x - 4\)  có \(y < 0 ⇔ -4 < x < 2\)

Bài 33 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Lập bảng theo mẫu sau rồi điền vào ô trống các giá trị thích hợp (nếu có):

Lời giải chi tiết

a) Ta có:

\({x_0} =  - {b \over {2a}} = {6 \over 6} = 1 \Rightarrow {y_0} = {3.1^2} - 6.1 + 7 = 4\)

a = 3 > 0.

Hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 1

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 4.

b) Ta có:

\({x_0} =  - {b \over {2a}} = {5 \over { - 10}} =  - {1 \over 2} \Rightarrow {y_0} = {{17} \over 4}\) 

a = -5 < 0

Vậy hàm số có giá trị lớn nhất khi x = \( - {1 \over 2}\)

Giá trị lớn nhất bằng \({{17} \over 4}\)

c) Ta có:

\({x_0} =  - {b \over {2a}} = 3 \Rightarrow {y_0} = 0\)

a = 1 > 0

Vậy hàm số có giá trị nhỏ nhất khi x = 3

Giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 0

d) Ta có:

\({x_0} =  - {b \over {2a}} = {1 \over 2} \Rightarrow {y_0} = 0\)

a = -4 < 0.

Hàm số có giá trị lớn nhất khi x = \({1 \over 2}\)

Giá trị lớn nhất bằng 0

Ta có bảng sau:

Bài 34 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Gọi (P) là đồ thị hàm số tại y = ax2 + bx + c. Hãy xác định dấu của hệ số a và biệt số Δ trong mỗi trường hợp sau:

LG a

(P) nằm hoàn toàn ở phía trên trục hoành

Phương pháp giải:

Nhận xét dựa vào bề lõm và đỉnh của parabol.

Lời giải chi tiết:

(P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì bề lõm hướng lên và đỉnh \(I( - {b \over {2a}};-{\Delta  \over {4a}})\) nằm phía trên trục hoành nên 

\(\left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
- \frac{\Delta }{{4a}} > 0
\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}
a > 0\\
\Delta < 0
\end{array} \right.\)

Cách khác:

(P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành thì:

+) Bề lõm hướng lên nên \(a > 0\)

+) (P) nằm hoàn toàn phía trên trục hoành nghĩa là \(\left( P \right) \cap Ox = \emptyset \) hay phương trình \(a{x^2} + bx + c = 0\) vô nghiệm \( \Leftrightarrow \Delta  < 0\)

Vậy \(a > 0,\Delta  < 0\)

LG b

(P) nằm hoàn toàn ở phía dưới trục hoành

Lời giải chi tiết:

(P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì:

+) bề lõm hướng xuống nên \(a < 0\).

+) đỉnh \(I\left( { - \frac{b}{{2a}}; - \frac{\Delta }{{4a}}} \right)\) nằm phía dưới trục hoành nên \( - \frac{\Delta }{{4a}} < 0 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} > 0 \Leftrightarrow \Delta  < 0\)

(vì \(a < 0\))

Vậy (P) nằm hoàn toàn phía dưới trục hoành thì a < 0 và Δ < 0.

LG c

(P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành

Lời giải chi tiết:

(P) phải có hình dạng ở hình vẽ trên, do đó phương trình ax2 + bx + c = 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ Δ > 0

Đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành nên

\( - \frac{\Delta }{{4a}} > 0 \Leftrightarrow \frac{\Delta }{{4a}} < 0\)

Do đó \(\Delta\) và a trái dấu nên a < 0 (do Δ > 0)

Vậy (P) cắt trục hoành tại hai điểm phân biệt và đỉnh của (P) nằm phía trên trục hoành thì a < 0 và Δ > 0.

Bài 35 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Vẽ đồ thị và lập bảng biến thiên của các hàm số sau:

LG a

\(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\)

Phương pháp giải:

Đồ thị hàm số y=|f(x)| có được từ đồ thị hàm số y=f(x) như sau:

+) Giữ nguyên phần đồ thị phía trên trục Ox.

+) Lấy đối xứng phần dưới qua Ox và xóa phần dưới cũ đi.

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị hàm số \(y = \,{x^2} + \sqrt 2 x\)  (P1) rồi suy ra đồ thị hàm số: \(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\)  (P)

Hoành độ của đỉnh: \({x_0} =  - {b \over {2a}} = {{ - \sqrt 2 } \over 2}\)\( \Rightarrow {y_0}  = {\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)^2} + \sqrt 2 .\left( { - \frac{{\sqrt 2 }}{2}} \right)\)\(= {1 \over 2} - 1 =  - {1 \over 2}\)

Đỉnh \(I( - {{\sqrt 2 } \over 2}; - {1 \over 2})\)

Bảng giá trị:

x-1\( - {{\sqrt 2 } \over 2}\)0
y \(1 - \sqrt 2 \) \( - {1 \over 2}\)
0

Đồ thị hàm số:

Ta giữ nguyên phần đồ thị trên trục hoành và lấy đối xứng phần đồ thị của hàm số  \(y = \,{x^2} + \sqrt 2 x\) phía dưới trục hoành qua Ox ta được đồ thị của hàm \(y = \,|{x^2} + \sqrt 2 x|\) ( đồ thị là phần nét liền trên hình vẽ)

LG b

y = -x2 + 2|x| + 3

Lời giải chi tiết:

Vẽ đồ thị hàm số y = -x2 + 2x + 3 (P1) rồi suy ra đồ thị hàm số: y = -x2 + 2|x| + 3 (P)

Hoành độ đỉnh: \({x_0} =  - {b \over {2a}} = {{ - 2} \over { - 2}} = 1 \Rightarrow {y_0} = 4\)

Đỉnh I (1, 4)

Bảng giá trị:

x012
y343

Đồ thị hàm số:

Bảng biến thiên

LG c

y = 0,5x2 - |x – 1| + 1

Lời giải chi tiết:

y = 0,5x2 - |x – 1| + 1

Ta có:

\(y = \left\{ \matrix{
0,5{x^2} - x + 2\,\,\,\,\,\,\,;x \ge 1 \hfill \cr 
0,5{x^2} + x\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x < 1 \hfill \cr} \right.\)

Bảng biến thiên:

Bài 36 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Vẽ đồ thị của mỗi hàm số sau:

LG a

\(y = \left\{ \matrix{
- x + 1\,\,\,\,\,\,\,\,;x \le - 1 \hfill \cr 
- {x^2} + 3\,\,\,\,\,;x > - 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

* Vẽ đường thẳng y = -x + 1 qua A(1, 0) và B(-1, 2)

* Vẽ parabol y = -x2 + 3 có:

+ Đỉnh I(0, 3)

+ Trục đối xứng Oy

+ Đi qua điểm (1;2), cắt Oy tại (0;3)

Đồ thị cần vẽ gồm hai phần:

+ Phần đường thẳng ứng với \(x\le -1\), tức là để lại phần này và xóa phần đường thẳng ứng với x > -1 đi.

+ Phần parabol ứng với x > -1, tức là để lại phần này và xóa phần ứng với \(x\le -1\) đi.

Đồ thị:

LG b

\(y = \left\{ \matrix{
{1 \over 2}{(x + 3)^2}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x \le - 1 \hfill \cr 
2\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,;x > - 1 \hfill \cr} \right.\)

Lời giải chi tiết:

Ta có: 

\(y = \left\{ \begin{array}{l}
\frac{1}{2}{x^2} + 3x + \frac{9}{2}\,voi\,x \le - 1\\
2\,voi\,x > - 1
\end{array} \right.\)

* Vẽ parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x + \frac{9}{2}\)

+ Đỉnh (-3;0)

+ Trục đối xứng x=-3.

+ Đi qua điểm (-1;2), (-5;2).

* Vẽ đường thẳng y=2 (song song với trục Ox và đi qua điểm (0;2)

Phần đồ thị cần tìm là hợp của hai phần sau:

+ parabol \(y = \frac{1}{2}{x^2} + 3x + \frac{9}{2}\) ứng với \(x\le -1\)

+ Nừa đường thẳng y=2 ứng với x > -1.

Đồ thị hàm số:

Bài 37 trang 60 SGK Đại số 10 nâng cao

Khi một quả bóng được đá lên sẽ đạt đến độ cao nhất, rồi rơi xuống. Biết rằng quỹ đạo của quả bóng là một parabol trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oth, trong đó t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi quả bóng được đá lên; h là độ cao (tính bằng mét) của quả bóng. Giả thiết rằng quả bóng được đá từ độ cao 1,2m. Sau đó 1s, nó đạt được độ cao 8,5m, và 2s sau khi đá lên, nó ở độ cao 6m (hình dưới đây).

LG a

Hãy tìm: Hàm số có đồ thị trùng với quỹ đạo của bóng trong tình huống trên.

Lời giải chi tiết:

Giả sử \(h = f(t) = at^2 + bt + c (a ≠ 0)\)

Theo đề bài, ta có hệ sau:

\(\left\{ \matrix{
f(0) = 1,2 \hfill \cr 
f(1) = 8,5 \hfill \cr 
f(2) = 6 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
c = 1,2 \hfill \cr 
a + b + c = 8,5 \hfill \cr 
4a + 2b + c = 6 \hfill \cr} \right. \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
c = 1,2 \hfill \cr 
a + b = 7,3 \hfill \cr 
2a + b = 2,4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - 4,9 \hfill \cr 
b = 12,2 \hfill \cr 
c = 1,2 \hfill \cr} \right.\) 

Vậy \(h = f(t) = -4,9t^2+ 12,2t + 1,2\)

LG b

Sau bao lâu thì quả bóng sẽ chạm đất kể từ khi đá lên (chính xác đến hàng phần trăm).

Lời giải chi tiết:

Bóng chạm đất khi:

\(h = 0 \Leftrightarrow - 4,9{t^2} + 12,2t + 1,2 = 0 \)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
t = - 0,09\,\,(l) \hfill \cr 
t = 2,58 \hfill \cr} \right.\)

Vậy bóng chạm đất sau gần 2,58 giây

LG c

Xác định độ cao lớn nhất của quả bóng (tính chính xác đến hàng phần nghìn)

Lời giải chi tiết:

Quả bóng đạt độ cao lớn nhất khi:

\(\begin{array}{l}
t = - \frac{b}{{2a}} = - \frac{{12,2}}{{2.\left( { - 4,9} \right)}} = 1,24s\\
\Rightarrow y\left( {1,24} \right)\\
= - 4,9.1,{24^2} + 12,2.1,24 + 1,2\\
= 8,794
\end{array}\)

Vậy độ cao lớn nhất là 8,794(m).

Bài 38 trang 61 SGK Đại số 10 nâng cao

(Bài toán về cổng Ac-xơ (Arch))

Khi du lịch đến thành phố Xanh lu-i (Mĩ) bạn sẽ thấy một cái cổng lớn hình parabol hướng bề lõm về phía dưới. Đó là cổng Ac-xơ. Giả sử lập một hệ tọa độ Oxy sao cho một chân cổng đi qua gốc O như hình vẽ dưới đây (x, y tính bằng mét), chân kia của cổng ở vị trí (162; 0). Biết một điểm M trên cổng có tọa độ là (10; 43).

LG a

Tìm hàm số có đồ thị là parabol nói trên (các hệ số chính xác đến hàng phần nghìn).

Lời giải chi tiết:

Giả sử hàm số bậc hai có đồ thị chứa cung parabol trên là:

\(f(x) = ax^2 + bx + c\)

Theo đề bài, ta có:

\(\left\{ \matrix{
f(0) = 0 \hfill \cr 
f(10) = 43 \hfill \cr 
f(162) = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
c = 0 \hfill \cr 
100a + 10b + c = 43 \hfill \cr 
162^2{a} + 162b + c = 0 \hfill \cr} \right.\)

\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
c = 0 \hfill \cr 
100a + 10b = 43 \hfill \cr 
162a + b = 0 \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
a = - {{43} \over {1520}} \hfill \cr 
b = {{3483} \over {760}} \hfill \cr} \right.\)

Vậy: \(f(x) =  - {{43} \over {1520}}{x^2} + {{3483} \over {760}}x\)

LG b

Tính chiều cao của cổng (Tính từ điểm cao nhất trên cổng xuống mặt đất, tính chính xác đến hàng đơn vị).

Phương pháp giải:

Chiều cao của cổng là GTLN của hàm số.

Lời giải chi tiết:

Chiều cao của cổng bằng tung độ của đỉnh parabol

Ta có: 

\(\begin{array}{l}
- \frac{b}{{2a}} = - \frac{{3483}}{{760}}:\left[ {2.\left( { - \frac{{43}}{{1520}}} \right)} \right] = 81\\
f\left( {81} \right) = - \frac{{43}}{{1520}}{.81^2} + \frac{{3483}}{{760}}.81 = 186\left( m \right)
\end{array}\)

Vậy chiều cao cổng là 186m.


Được cập nhật: hôm kia lúc 20:53:22 | Lượt xem: 461

Các bài học liên quan