Cộng đồng chia sẻ tri thức Lib24.vn

Bài 3. Giá trị lượng giác của các góc (cung) có liên quan đặc biệt

Gửi bởi: Phạm Thọ Thái Dương 9 tháng 10 2020 lúc 15:19:32


Mục lục
* * * * *

Bài 24 trang 205 SGK Đại số 10 Nâng cao

Mỗi khẳng định sau đúng hay sai.

LG a

Khi α đổi dấu (tức thay α bởi -α ) thì cosα và sinα đổi dấu còn tanα không đổi dấu

Lời giải chi tiết:

Sai vì đổi α thành –α thì cosα không đổi dấu còn sinα đổi dấu, do đó tanα đổi dấu.

LG b

Với mọi α thì sin2α =2sinα

Lời giải chi tiết:

Sai vì với \(\alpha  = {\pi  \over 4};\,\,\,\sin 2\alpha  = 1;\,\,\,\,2\sin \alpha  = \sqrt 2 \)

LG c

Với mọi α, \(|\sin (\alpha  - {\pi  \over 2}) - \cos (\alpha  + \pi )| \) \(+|cos(\alpha  - {\pi  \over 2}) + \sin (\alpha  - \pi )| = 0\)

Lời giải chi tiết:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = - \cos \alpha \\
\cos \left( {\alpha + \pi } \right) = - \cos \alpha
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha + \pi } \right)\\
= - \cos \alpha + \cos \alpha = 0\\
\left\{ \begin{array}{l}
\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) = \sin \alpha \\
\sin \left( {\alpha - \pi } \right) = - \sin \alpha
\end{array} \right.\\
\Rightarrow \cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)\\
= \sin \alpha - \sin \alpha = 0\\
\Rightarrow \left| {\sin \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) - \cos \left( {\alpha + \pi } \right)} \right|\\
+ \left| {\cos \left( {\alpha - \frac{\pi }{2}} \right) + \sin \left( {\alpha - \pi } \right)} \right|\\
= 0 + 0 = 0
\end{array}\)

LG d

Nếu cosα ≠ 0 thì \({{\cos ( - 5\alpha )} \over {\cos \alpha }} = {{ - 5\alpha } \over \alpha } =  - 5\)

Lời giải chi tiết:

Sai

Vì với \(α = π\) thì \({{\cos ( - 5\alpha )} \over {\cos \alpha }} =  - 1\)

LG e

 \({\cos ^2}{\pi  \over 8} + {\cos ^2}{{3\pi } \over 8} = 1\)

Lời giải chi tiết:

Đúng

Vì \(\cos {{3\pi } \over 8} = \cos ({\pi  \over 2} - {\pi  \over 8}) = sin{\pi  \over 8}\)

Nên \({\cos ^2}{\pi  \over 8} + {\cos ^2}{{3\pi } \over 8} = {\cos ^2}\frac{\pi }{8} + {\sin ^2}\frac{\pi }{8}= 1\)

LG g

\(\sin {\pi  \over {10}} = \cos {{2\pi } \over 5}\)

Lời giải chi tiết:

Đúng

Vì \(\cos {{2\pi } \over 5} = \cos ({\pi  \over 2} - {\pi  \over {10}}) = \sin {\pi  \over {10}}\)

Bài 25 trang 205 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tìm các mối liên hệ giữa các giá trị lượng giác của các góc cung α và \(\alpha  - {{3\pi } \over 2}\)

Phương pháp giải

Sử dụng giá trị lượng giác các góc có mối liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết

Ta có:

+) \(\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = \cos \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( { - x} \right) = \cos x\))

\( = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \cos \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\pi  + x} \right) =  - \cos x\))

\( =  - \sin \alpha \) (áp dụng công thức \(\cos \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \sin x\))

Do đó \(\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)=  - \sin \alpha\)

+) \(\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right) =  - \sin \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\) (áp dụng công thức \(\sin \left( { - x} \right) =  - \sin x\))

\( =  - \sin \left( {\pi  + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) =  - \left[ { - \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)} \right]\) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\pi  + x} \right) =  - \sin x\))

\( = \sin \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = \cos \alpha \) (áp dụng công thức \(\sin \left( {\frac{\pi }{2} - x} \right) = \cos x\))

Do đó \(\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)=  \cos \alpha\)

\(\eqalign{&  \tan(\alpha - {{3\pi } \over 2})  = \frac{{\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{\cos \alpha }}{{ - \sin \alpha }}\cr &= - \cot \alpha \,\,\,(\alpha \ne k\pi ;\,\,\,k \in Z) \cr & \cot (\alpha - {{3\pi } \over 2})  = \frac{{\cos \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}}{{\sin \left( {\alpha  - \frac{{3\pi }}{2}} \right)}} \cr &= \frac{{ - \sin \alpha }}{{\cos \alpha }}\cr &= - \tan \alpha \,\,(\alpha \ne {\pi \over 2} + k\pi ;\,\,\,k \in Z) \cr} \)

Cách khác:

\(\begin{array}{l}
\tan \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \tan \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \tan \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \alpha \\
\cot \left( {\alpha - \frac{{3\pi }}{2}} \right) = - \cot \left( {\frac{{3\pi }}{2} - \alpha } \right)\\
= - \cot \left( {\pi + \frac{\pi }{2} - \alpha } \right) = - \cot \left( {\frac{\pi }{2} - \alpha } \right)\\
= - \tan \alpha
\end{array}\)

Bài 26 trang 205 SGK Đại số 10 Nâng cao

Tính:

LG a

sin2100 + sin2200 + sin300 + .... + sin800  (8 số hạng)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

sin 800 = sin (900 – 100) = cos 100

sin 700 = cos 200; sin 600 = cos 300; sin 500 = cos 400

Do đó:

sin2100 + sin2200 + sin300 + .... + sin800 

= (sin2100 + sin800 ) + (sin2200 + sin2700) + (sin2300 + sin2600)  + (sin2400 + sin2500 )

= (sin2100 + cos100 ) + (sin2200 + cos2200) + ( sin2300 + cos2300)  + ( sin2400 + cos2400 )

= 4

LG b

cos100 + cos 200 + cos 300 + ....+ cos 1800 ( 18 số hạng)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

cos100 + cos 200 + cos 300 + ....+ cos 1800

= (cos100 + cos 1700) + (cos 200 + cos 1600) + .... + (cos 800 + cos 1000 ) + cos 900 + cos 1800

= 0 + 0 + ... + 0 + cos 1800

=  -1

(do cos a + cos (1800 – a) = cos a – cos a = 0 )

LG c

cos 315+ sin 3300 + sin2500 – cos 1600

Lời giải chi tiết:

Ta có:

cos 315 = cos (-450) = cos 450 = \( = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

sin 3300  = sin (-300) = - sin 300 = \( - {1 \over 2}\)

sin 2500 = sin (-1100) = -sin 1100 = -sin (900 + 200) = - cos 200

cos 1600 = cos (1800 – 200)  = -cos 200

Vậy: cos 315+ sin 3300 + sin2500 – cos 160

= \({{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2}\) - cos 200 + cos 200

= \({{\sqrt 2 } \over 2} - {1 \over 2}\) 

Bài 27 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Dùng bảng tính sin, cos (hoặc dùng máy tính bỏ túi) để tính giá trị sau (chính xác đến hàng phần nghìn):

cos (-2500 );  sin5200  và \(\sin {{11\pi } \over {10}}\)

Lời giải chi tiết

Ta có:

cos (-2500) ≈ - 0, 342

sin 5200 ≈ 0, 342

\(\sin {{11\pi } \over {10}} \approx - 0,309\)

Bài 28 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xét hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với đường tròn lượng giác kiểm nghiệm rằng điểm M với tọa độ \(( - {4 \over 5};\,{3 \over 5})\) nằm trên đường tròn lượng giác đó. Giả sử điểm M xác định bới số α . Tìm tọa độ các điểm xác định bởi các số: π - α ; π + α ; \({\pi  \over 2}\) - α và \({\pi  \over 2}\) + α.

Lời giải chi tiết

Ta có: \(x_M^2 + y_M^2 = {( - {4 \over 5})^2} + {({3 \over 5})^2} = 1\)

Nên M\(( - {4 \over 5};\,{3 \over 5})\) nằm trên đường tròn lượng giác.

Ta có: \(\cos \alpha  =  - {4 \over 5};\,\,\,\sin \alpha  = {3 \over 5}\)

+ \(\left\{ \matrix{
\cos (\pi - \alpha ) = - \cos \alpha \hfill \cr 
\sin (\pi - \alpha ) = \sin \alpha = {3 \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π – α là \(({4 \over 5};\,\,{3 \over 5})\)

+ \(\left\{ \matrix{
\cos (\pi + \alpha ) = - \cos \alpha = {4 \over 5} \hfill \cr 
\sin (\pi + \alpha ) = - \sin \alpha = - {3 \over 5} \hfill \cr} \right.\) 

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π + α là \(({4 \over 5};\,\, - {3 \over 5})\)

+ \(\left\{ \matrix{
\cos ({\pi \over 2} - \alpha ) = \sin \alpha ={3 \over 5}\hfill \cr 
\sin ({\pi \over 2} - \alpha ) = - {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số π - α là \(({3 \over 5};\,\, - {4 \over 5})\)

+ \(\left\{ \matrix{
\cos ({\pi \over 2} + \alpha ) = - \sin \alpha = - {3 \over 5} \hfill \cr 
\sin ({\pi \over 2} + \alpha ) = \cos \alpha = - {4 \over 5} \hfill \cr} \right.\)

Vậy tọa độ xác định điểm bởi số \({\pi  \over 2} + \alpha \) là  \(( - {3 \over 5};\, - {4 \over 5})\)

Bài 29 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Biết tan 150 = \(2 - \sqrt 3 \).

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc -750

Phương pháp giải

Sử dụng công thức \[1 + {\tan ^2}\alpha  = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\]

Và giá trị lượng giác của các góc có mối liên quan đặc biệt.

Lời giải chi tiết

Từ tan 150 =  \(2 - \sqrt 3 \)  , suy ra:

\(\eqalign{
& {\cos ^2}{15^0} = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}{{15}^0}}}\cr & ={1 \over {1 + (2 - \sqrt 3 )^2}} = {{2 + \sqrt 3 } \over 4} \cr 
& \cos {15^0} = {{\sqrt {2 + \sqrt 3 } } \over 2} = {{\sqrt 3 + 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr 
& \sin {15^0} = \sqrt {1 - {{\cos }^2}{{15}^0}} = {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr} \) 

Do 750 = 900 – 15nên:

\(\eqalign{
& \cos {(-75^0)} = \cos {75^0} = \sin {15^0} \cr &= {{\sqrt 3 - 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr 
& \sin ( - {75^0}) =-\sin 75^0\cr &= - \sin ({90^0} - {15^0}) \cr&= - \cos {15^0} = - {{\sqrt 3 + 1} \over {2\sqrt 2 }} \cr 
& \tan ( - {75^0}) =-\tan 75^0 = - \cot {15^0} \cr &= {1 \over {\sqrt 3 - 2}} = - (\sqrt 3 + 2) \cr 
& \cot ( - {75^0}) = - \tan {15^0} = \sqrt 3 - 2 \cr} \)

Bài 30 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Hỏi các góc lượng giác có cùng tia đầu và có số đo như sau: 2594o; -646o; -2446o và 74o thì có cùng tia cuối không?

Phương pháp giải

Hai góc lượng giác cùng tia đầu có số đo hơn kém nhau \(k360^0\) thì có tia cuối trùng nhau.

Lời giải chi tiết

Ta có:

25940 = 740 + 7.3600

-6460 = 740 – 2.3600

-24460 = 740 - 7.3600

Do đó, các góc lượng giác trên có cùng tia cuối.

Bài 31 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Xác định dấu của  các giá trị lượng giác sau:

\(\cos 250^0\);  \(\tan(-672^0)\); \(\tan {{31\pi } \over 8};\sin ( - {1050^0});\cos {{16\pi } \over 5}\)

Lời giải chi tiết

\(\cos{\rm{ }}{250^0} < {\rm{ }}0\) vì \({180^0} < {\rm{ }}{250^0} < {\rm{ }}{270^0}\)

\(\tan( - {672^0}){\rm{ }} = {\rm{ }}\tan{\rm{ }}( - {720^0} + {\rm{ }}{48^0}){\rm{ }} \) \(= {\rm{ }}\tan{\rm{ }}{48^0} > {\rm{ }}0\) vì \({0^0} < {\rm{ }}{48^0} < {\rm{ }}{90^0}\)

\(\tan {{31\pi } \over 8} = \tan (4\pi  - {\pi  \over 8}) = \tan ({\pi  \over 8}) \) \(=  - \tan {\pi  \over 8} < 0\)\(,\left( {0 < {\pi  \over 8} < {\pi  \over 2}} \right)\) 

\(\sin{\rm{ }}( - {1050^0}){\rm{ }} = {\rm{ }}\sin{\rm{ }}( - {3.360^0} + {\rm{ }}{30^0}){\rm{ }}\) \( = {\rm{ }}\sin{\rm{ }}{30^0} > {\rm{ }}0\)   vì \({0^0} < {\rm{ }}{30^0} < {\rm{ }}{90^0}\)

\(\eqalign{
& \cos {{16\pi } \over 5} = \cos (3\pi + {\pi \over 5}) \cr & = \cos \left( {\pi  + \frac{\pi }{5}} \right)= - \cos {\pi \over 5}<0\cr&(0 < {\pi \over 5} < {\pi \over 2}) \cr} \)

Bài 32 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

Hãy tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

LG a

\(\sin \alpha  = {4 \over 5}\,\,;\,\,\,\cos \alpha  < 0\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = 1 - {\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

\(\eqalign{
&\cos \alpha <0 \Rightarrow \cos \alpha = - \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } \cr &= - \sqrt {1 - {{16} \over {25}}} = - {3 \over 5} \cr 
& \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {4 \over 3} \cr 
& \cot \alpha = {1 \over {\tan \alpha }} = - {3 \over 4} \cr} \)

LG b

\(\cos \alpha  =  - {8 \over {17}};\,\,\,{\pi  \over 2} < \alpha  < \pi \)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
{\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha = 1\\
\Rightarrow {\sin ^2}\alpha = 1 - {\cos ^2}\alpha
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \,{\pi \over 2} < \alpha < \pi \Rightarrow \sin \alpha > 0 \cr 
& \Rightarrow \sin \alpha = \sqrt {1 - {{\cos }^2}\alpha } \cr &= \sqrt {1 - {{({-8 \over {17}})}^2}} = {{15} \over {17}} \cr 
& \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = - {{15} \over 8} \cr 
& \cot \alpha = {1 \over {\tan \alpha }} = - {8 \over {15}} \cr} \) 

LG c

\(\tan \alpha  = \sqrt 3 \,\,;\,\,\,\pi  < \alpha  < {{3\pi } \over 2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\begin{array}{l}
1 + {\tan ^2}\alpha = \frac{1}{{{{\cos }^2}\alpha }}\\
\Rightarrow {\cos ^2}\alpha = \frac{1}{{1 + {{\tan }^2}\alpha }}
\end{array}\)

\(\eqalign{
& \pi < \alpha < {{3\pi } \over 2} \Rightarrow \cos \alpha < 0 \cr 
& \Rightarrow \cos \alpha = {{ - 1} \over {\sqrt {1 + {{\tan }^2}\alpha } }}\cr & = {{ - 1} \over {\sqrt {1 + {{(\sqrt 3 )}^2}} }} = - {1 \over 2} \cr 
& \tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \cr &\Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha \cos \alpha  \cr &= \sqrt 3 .\left( { - \frac{1}{2}} \right)= - {{\sqrt 3 } \over 2} \cr 
& \cot \alpha = \frac{1}{{\tan \alpha }} = \frac{1}{{\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr} \)

Bài 33 trang 206 SGK Đại số 10 Nâng cao

LG a

Tính \(\sin {{25\pi } \over 6} + \cos {{25\pi } \over 3} + \tan ( - {{25\pi } \over 4})\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin {{25\pi } \over 6} = \sin (4\pi + {\pi \over 6}) = \sin {\pi \over 6} = {1 \over 2} \cr 
& \cos {{25\pi } \over 3} = \cos (8\pi + {\pi \over 3}) = \cos {\pi \over 3} = {1 \over 2} \cr 
& \tan ( - {{25\pi } \over 4}) = - \tan(6\pi + {\pi \over 4}) = - \tan {\pi \over 4} = - 1 \cr 
& \Rightarrow \sin {{25\pi } \over 6} + \cos {{25\pi } \over 3} + \tan ( - {{25\pi } \over 4}) \cr & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} - 1= 0 \cr} \)

LG b

Biết \(\sin (\pi  + \alpha ) =  - {1 \over 3}\) , hãy tính \(\cos (2π – α)\) và \(\sin ({{3\pi } \over 2} - \alpha )\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& \sin (\pi + \alpha ) = - {1 \over 3} \Rightarrow  - \sin \alpha  =-\frac{1}{3} \cr &\Rightarrow \sin \alpha = {1 \over 3} \cr 
& \cos (2\pi - \alpha ) = \cos ( - \alpha ) = \cos \alpha \cr &= \pm \sqrt {1 - {{\sin }^2}\alpha } = \pm {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr 
& \tan (\alpha - 7\pi ) = \tan \alpha = {{\sin \alpha } \over {\cos \alpha }} = \pm {1 \over {2\sqrt 2 }} \cr 
& \sin ({{3\pi } \over 2} - \alpha ) = \sin (\pi + {\pi \over 2} - \alpha ) \cr &= - \sin ({\pi \over 2} - \alpha )\cr&  = - \cos \alpha= \pm {{2\sqrt 2 } \over 3} \cr} \)

Bài 34 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Chứng minh rằng:

LG a

\({{1 - 2\sin \alpha \,\cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }} = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }}\) khi các biểu thức đó có nghĩa

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& {{1 - 2\sin \alpha \,\cos \alpha } \over {{{\cos }^2}\alpha - {{\sin }^2}\alpha }} \cr & = \frac{{{{\cos }^2}\alpha  + {{\sin }^2}\alpha  - 2\sin \alpha \cos \alpha }}{{{{\cos }^2}\alpha  - {{\sin }^2}\alpha }}\cr &= {{{{(cos\alpha - \sin \alpha )}^2}} \over {(cos\alpha - \sin \alpha )(cos\alpha + \sin \alpha )}} \cr 
& = {{(cos\alpha - \sin \alpha )} \over {(cos\alpha + \sin \alpha )}} \cr& = \frac{{\cos \alpha \left( {1 - \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)}}{{\cos \alpha \left( {1 + \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }}} \right)}}\cr&= {{\cos \alpha (1 - \tan \alpha )} \over {\cos \alpha (1 + tan\alpha )}} \cr 
& = {{1 - \tan \alpha } \over {1 + \tan \alpha }} \cr} \) 

LG b

\(ta{n^2}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} = {\rm{ }}ta{n^2}\alpha {\rm{ }}si{n^2}\alpha \)

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\tan \alpha  = \frac{{\sin \alpha }}{{\cos \alpha }} \) \(\Rightarrow \sin \alpha  = \tan \alpha \cos \alpha \) \(  \Rightarrow {\sin ^2}\alpha  = {\tan ^2}\alpha {\cos ^2}\alpha \)

Do đó:

\(ta{n^2}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}si{n^2}\alpha {\rm{ }} \) \(= {\tan ^2}\alpha  - {\tan ^2}\alpha .{\cos ^2}\alpha \) \(= {\rm{ }}ta{n^2}\alpha ({\rm{ }}1 - {\rm{ }}co{s^2}\alpha ){\rm{ }} \) \(= {\rm{ }}ta{n^2}\alpha {\rm{ }}si{n^2}\alpha \)

LG c

\(2(1{\rm{ }}-\sin\alpha {\rm{ }})\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha } \right){\rm{ }} \) \(= {\rm{ }}{\left( {1{\rm{ }} - {\rm{ }}\sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}\cos\alpha {\rm{ }}} \right)^2}\)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(VT=2(1-si{n}\alpha {\rm{ }})\left( {1{\rm{ }} + {\rm{ }}cos\alpha } \right){\rm{ }}\)

\( = 2\left( {1 - \sin \alpha  + \cos \alpha  - \sin \alpha \cos \alpha } \right)\)

\(= {\rm{ }}2{\rm{ }}-{\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}2cos\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}2sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha \)

\(\begin{array}{l}
VP = {\left( {1 - \sin \alpha + \cos \alpha } \right)^2}\\
= 1 + {\sin ^2}\alpha + {\cos ^2}\alpha \\
- 2\sin \alpha + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
= 2 - 2\sin \alpha + 2\cos \alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha \\
\Rightarrow VT = VP \Rightarrow dpcm
\end{array}\)

Bài 35 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Biết \(\sinα -\cosα =m\), hãy tính \(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

Phương pháp giải

Sử dụng hằng đẳng thức \[{A^3} - {B^3} = \left( {A - B} \right)\left( {{A^2} + AB + {B^2}} \right)\]

Lời giải chi tiết

Ta có:

\(si{n^3}\alpha {\rm{ }} - {\rm{ }}co{s^3}\alpha \)

\( = {\rm{ }}\left( {sin\alpha {\rm{ }}-{\rm{ }}cos\alpha } \right)(si{n^2}\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}sin\alpha {\rm{ }}cos\alpha {\rm{ }} + {\rm{ }}co{s^2}\alpha )\)

\(= m(1 + sinα cosα)\)         (1)

Từ  \(\sinα – \cosα = m \)

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow {\left( {\sin \alpha - \cos \alpha } \right)^2} = {m^2}\\
\Leftrightarrow {\sin ^2}\alpha - 2\sin \alpha \cos \alpha + {\cos ^2}\alpha = {m^2}\\
\Leftrightarrow 1 - 2\sin \alpha \cos \alpha = {m^2}\\
\Rightarrow \sin \alpha \cos \alpha = \frac{{1 - {m^2}}}{2}\,\,(2)
\end{array}\)

Thay (2) vào (1) ta được:

\({\sin ^3}\alpha  - {\cos ^3}\alpha  = m(1 + {{1 - {m^2}} \over 2}) \)\(= m.\frac{{3 - {m^2}}}{2} = \frac{{3m - {m^3}}}{2}\)

Bài 36 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Với số \(α,0 < \alpha  < {\pi  \over 2}\), xét điểm M của đường tròn lượng giác xác định bởi 2α , rồi xét tam giác vuông A’MA (A’ đối xứng với A qua tâm O của đường tròn).

LG a

Tính AM2 bằng hai cách khác nhau để suy ra: cos2α = 1 – 2sin2α

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& A{M^2} = \overline {AH} .\overline {{\rm{AA}}} {\rm{' = (}}\overline {AO} + \overline {OH} ).\overline {{\rm{AA}}'} \cr 
& = ( - 1 + \cos 2\alpha )( - 2) = 2(1 - \cos 2\alpha ) \cr} \)

Lại có:

\(\begin{array}{l}
\left\{ \begin{array}{l}
2\alpha = \widehat {AOM} = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'}\\
\widehat {OA'M} = \widehat {OMA'}\left( {\Delta OMA'\,can} \right)
\end{array} \right.\\
\Rightarrow 2\alpha = \widehat {OA'M} + \widehat {OMA'} = 2\widehat {OA'M}\\
\Rightarrow \widehat {OA'M} = \alpha \\
\Rightarrow AM = AA'\sin \widehat {AA'M} = 2\sin \alpha \\
\Rightarrow A{M^2} = 4{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Vậy:

\(\begin{array}{l}
\Rightarrow 2\left( {1 - \cos 2\alpha } \right) = 4{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow 1 - \cos 2\alpha = 2{\sin ^2}\alpha \\
\Leftrightarrow \cos 2\alpha = 1 - 2{\sin ^2}\alpha
\end{array}\)

Cách khác:

LG b

Tính diện tích tam giác A’MA bằng hai cách khác nhau để suy ra:

sin2α = 2sinα cosα

Lời giải chi tiết:

Ta có: \({S_{A'MA}} = {1 \over 2}AA'.MH = MH = \sin 2\alpha \)

Lại có:

\({S_{A'MA}} = {1 \over 2}A'M.AM \) \(= {1 \over 2}A'A\cos \alpha .A'A\sin \alpha  \)

\(= 2\sin \alpha \cos \alpha \)

Vậy: \(\sin2α  = 2\sinα \cosα\)

LG c

Chứng minh: \(\sin {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } ;\) \(\cos {\pi  \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) rồi tính các giá trị lượng giác của các góc \({{3\pi } \over 8}\) và \({{5\pi } \over 8}\)

Phương pháp giải:

Sử dụng công thức nhân đôi vừa chứng minh ở câu a, b.

Xuất phát từ \(\cos \frac{\pi }{4},\sin \frac{\pi }{4}\) để tính \(\cos \frac{\pi }{8},\sin \frac{\pi }{8}\).

Lời giải chi tiết:

Ta có: \(\cos {\pi  \over 4} = 1 - 2{\sin ^2}{\pi  \over 8}\) nên:

\(\eqalign{
& {\sin ^2}{\pi \over 8} = {1 \over 2}(1 - {{\sqrt 2 } \over 2}) = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr 
& \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \cr 
&\cos \frac{\pi }{8} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\frac{\pi }{8}}  \cr &= \sqrt {1 - \frac{{2 - \sqrt 2 }}{4}}  = \frac{{\sqrt {2 + \sqrt 2 } }}{2} \cr 
& {{3\pi } \over 8} = {\pi \over 2} - {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{3\pi } \over 8} = \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\sin {{3\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\tan {{3\pi } \over 8} = \cot {\pi \over 8} = \sqrt 2 + 1 \hfill \cr 
\cot {{3\pi } \over 8} = \tan {\pi \over 8} = \sqrt 2 - 1 \hfill \cr} \right. \cr 
& {{5\pi } \over 8} = {\pi \over 2} + {\pi \over 8} \cr &\Rightarrow \left\{ \matrix{
\cos {{5\pi } \over 8} = - \sin {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 - \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\sin {{5\pi } \over 8} = \cos {\pi \over 8} = {{\sqrt {2 + \sqrt 2 } } \over 2} \hfill \cr 
\tan {{5\pi } \over 8} = - \cot {\pi \over 8} = - \sqrt 2 - 1 \hfill \cr 
\cot {{5\pi } \over 8} = - \tan {\pi \over 8} = 1 - \sqrt 2 \hfill \cr} \right. \cr} \)

Bài 37 trang 207 SGK Đại số 10 Nâng cao

Trong hệ tọa độ vuông góc Oxy gắn với một đường tròn lượng giác, cho điểm P có tọa độ (2, -3)

LG a

Chứng minh rằng điểm M sao cho \(\overrightarrow {OM}  = {{\overrightarrow {OP} } \over {|\overrightarrow {OP} |}}\) là giao điểm của tia OP với đường tròn lượng giác đó

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\left\{ \matrix{
\overrightarrow {OM} \uparrow \uparrow \overrightarrow {OP} \hfill \cr 
|\overrightarrow {OM} | = |{{\overrightarrow {OP} } \over {\overrightarrow {OP} }}| = {{|\overrightarrow {OP} |} \over {|\overrightarrow {OP} |}}=1 \hfill \cr} \right. \) 

Vậy M là giao của tia OP với đường tròn lượng giác.

Cách khác:

LG b

Tính tọa độ điểm M và từ đó suy ra cosin, sin của góc lượng giác (Ox, OP)

Lời giải chi tiết:

Ta có:

\(\eqalign{
& |\overrightarrow {OP} |\, = \sqrt {{2^2} + {{( - 3)}^2}} = \sqrt {13} \cr 
& \Rightarrow \overrightarrow {OM} ({2 \over {\sqrt {13} }};\, - {3 \over {\sqrt {13} }}) \cr} \)

Vậy 

\(\left\{ \matrix{
\cos (Ox,OP) = {2 \over {\sqrt {13} }} \hfill \cr 
sin(Ox,OP) = {{ - 3} \over {\sqrt {13} }} \hfill \cr} \right.\)


Được cập nhật: 27 tháng 3 lúc 4:00:37 | Lượt xem: 559