Bài 1 trang 79 SGK Hình học 10 nâng cao
Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
a) Đường thẳng song song với trục Ox có phương trình \(y = m(m \ne 0)\);
b) Đường thẳng có phương trình \(x = {m^2} + 1\) song song với trục Oy;
c) Phương trình \(y = kx + b\) là phương trình của đường thẳng;
d) Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng \(y = kx + b\) ;
e) Đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0, b) có phương trình \({x \over a} + {y \over b} = 1\)
Lời giải chi tiết
a) Đúng
b) Đúng
c) Đúng vì y=kx+b là phương trình đường thẳng có hệ số góc k.
d) Sai vì trường hợp đường thẳng x=m không có dạng y=kx+b.
e) Sai vì trường hợp a=0 hoặc b=0 thì không viết được phương trình dạng trên.
* Mệnh đề d sửa thành:
Mọi đường thẳng đều có phương trình dạng: ax + by + c = 0 với a2 + b2 ≠ 0
* Mệnh đề e sửa thành:
Đường thẳng đi qua hai điểm A(a, 0) và B(0; b) với \(a\ne 0, b\ne 0\) có phương trình là \(\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1\)
Bài 2 trang 79 SGK Hình học 10 nâng cao
Viết phương trình tổng quát của:
LG a
Đường thẳng Ox;
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng Ox đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow j (0;1)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(0.(x - 0) + 1.(y - 0) = 0\) \( \Leftrightarrow y = 0\)
LG b
Đường thẳng Oy;
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng Oy đi qua O(0, 0) có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow i (1;0)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(1.(x - 0) + 0.(y - 0) = 0\) \( \Leftrightarrow x = 0\)
LG c
Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và song song với Ox;
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và song song với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow j (0;1)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(0.(x - {x_0}) + 1.(y - {y_0}) = 0\) \( \Leftrightarrow y - {y_0} = 0,({y_0} \ne 0)\)
LG d
Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và vuông góc với Ox;
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng đi qua \(M({x_0};{y_0})\) và vuông góc với Ox có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow i (1;0)\) nên có phương trình tổng quát là:
\(1.(x - {x_0}) + 0.(y - {y_0}) = 0 \) \(\Leftrightarrow x - {x_0} = 0,({x_0} \ne 0)\)
LG e
Đường thẳng OM, với \(M({x_0};{y_0})\) khác điểm O.
Lời giải chi tiết:
\(\overrightarrow {OM} ({x_0};{y_0})\) nên đường thẳng OM có véc tơ pháp tuyến là: \(\overrightarrow n ({y_0}; - {x_0})\) .
Phương trình tổng quát của đường thẳng OM là:
\({y_0}(x - 0) - {x_0}(y - 0) = 0 \) \(\Leftrightarrow {y_0}x - {x_0}y = 0\)
Cách khác:
* Do đường thẳng OM đi qua O nên đường thẳng OM có dạng:
ax + by = 0 ( với a2 + b2 > 0 )
* Do điểm M(xₒ; yₒ) thuộc đường thẳng nên:
A.xₒ + B .yₒ = 0
Chọn A = yₒ ta được B = -xₒ.
Do đó phương trình đường thẳng cần tìm là: yₒ.x - xₒ.y =0
Bài 3 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho tam giác ABC có phương trình các đường thẳng AB,BC,CA là
\(\eqalign{
& AB:2x - 3y - 1 = 0; \cr
& BC:x + 3y + 7 = 0; \cr
& CA:5x - 2y + 1 = 0. \cr} \)
Viết phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B.
Lời giải chi tiết
Hai đường thẳng AB,BC cắt nhau tại B nên tọa độ của B là nghiệm của hệ phương trình sau:
\(\left\{ \matrix{
2x - 3y - 1 = 0 \hfill \cr
x + 3y + 7 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = - 2 \hfill \cr
y = - {5 \over 3} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\)
Đường thẳng CA có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (5; - 2)\) nên có véc tơ chỉ phương là \(\overrightarrow u (2;5)\)
Đường cao kẻ từ đỉnh B vuông góc với CA nên nhận \(\overrightarrow u (2;5)\) làm véc tơ pháp tuyến.
Phương trình tổng quát của đường cao kẻ từ đỉnh B đi qua \(B\left( { - 2; - {5 \over 3}} \right)\) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow u (2;5)\) là:
\(2.(x + 2) + 5.\left( {y + {5 \over 3}} \right) = 0 \)\(\Leftrightarrow 2x + 5y + {{37} \over 3} = 0\)
Cách khác:
Bài 4 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho hai điểm \(P(4;0),Q(0; - 2)\) .
LG a
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ;
Lời giải chi tiết:
Gọi \(\Delta \) là đường thẳng đi qua điểm \(A(3;2)\) và song song với đường thẳng PQ
\(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\)
Gọi \(\overrightarrow n \) là một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ do đó: \(\overrightarrow n .\overrightarrow {PQ} = \overrightarrow 0 \)
Ta chọn \(\overrightarrow n (1; - 2)\)
\(\Delta \) song song với đường thẳng PQ nên véc tơ pháp tuyến của đường thẳng PQ cũng là véc tơ pháp tuyến của \(\Delta \)
Phương trình tổng quát của \(\Delta \) đi qua A(3, 2) và có véc tơ pháp tuyến \(\overrightarrow n (1; - 2)\) là:
\(1.(x - 3) - 2(y - 2) = 0\)\( \Leftrightarrow x - 2y + 1 = 0\)
LG b
Viết phương trình tổng quát của đường trung trực của đoạn thẳng PQ.
Lời giải chi tiết:
Gọi \(I({x_I};{y_I})\) là trung điểm của PQ
Tọa độ điểm I là nghiệm của hệ sau:
\(\left\{ \matrix{
{x_I} = {{{x_P} + {x_Q}} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{{y_P} + {y_Q}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = {{4 + 0} \over 2} \hfill \cr
{y_I} = {{0 + ( - 2)} \over 2} \hfill \cr} \right. \)\(\Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_I} = 2 \hfill \cr
{y_I} = - 1 \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(I(2; - 1)\)
Gọi d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng PQ
Vì d là đường thẳng trung trực của PQ nên d đi qua trung điểm I của đoạn thẳng PQ và vuông góc với PQ
Phương trình đường thẳng d đi qua I(-2, 1) và nhận \(\overrightarrow {PQ} \left( { - 4; - 2} \right)\) làm véc tơ pháp tuyến là:
\( - 4.(x - 2) - 2.(y + 1) = 0\)\( \Leftrightarrow - 4x - 2y + 6 = 0\)
\(\Leftrightarrow 2x + y - 3 = 0\)
Bài 5 trang 80 SGK Hình học 10 nâng cao
Cho đường thẳng d có phương trình x - y = 0 và điểm M(2, 1)
LG a
Viết phương trình tổng quát của đường thẳng đối xứng với đường thẳng d qua điểm M.
Phương pháp giải:
- Chọn một điểm đi qua của d.
- Tìm tọa độ điểm đối xứng của điểm trên qua M.
- Đường thẳng cần tìm là đường thẳng đi qua điểm vừa tìm và song song với d.
Lời giải chi tiết:
Đường thẳng d qua O(0, 0) và có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\).
Gọi \(N\left( {{x_N};{y_N}} \right)\) là điểm đối xứng của O qua M thì M là trung điểm của ON, ta có:
\(\left\{ \matrix{
{x_M} = {{{x_O} + {x_N}} \over 2} \hfill \cr
{y_M} = {{{y_O} + {y_N}} \over 2} \hfill \cr} \right.\)\( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
{x_N} = 2{x_M} - {x_O} = 4 \hfill \cr
{y_N} = 2{y_M} - {y_O} = 2 \hfill \cr} \right.\)
Vậy N(4, 2)
Đường thẳng đối xứng với d qua M là đường thẳng đi qua N(4, 2) và song song với d nên có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x - 4} \right) - 1.\left( {y - 2} \right) = 0\)
\(\Leftrightarrow x - y - 2 = 0.\)
LG b
Tìm hình chiếu của điểm M trên đường thẳng d.
Phương pháp giải:
- Viết pt đường thẳng d' đi qua M và vuông góc với d.
- Tìm giao điểm của d và d'.
Lời giải chi tiết:
Gọi d’ là đường thẳng đi qua M và vuông góc với d thì d’ có vectơ pháp tuyến \(\overrightarrow m = \left( {1;1} \right)\) do đó d’ có phương trình tổng quát là:
\(1.\left( {x - 2} \right) + 1.\left( {y - 1} \right) = 0 \)
\(\Leftrightarrow x + y - 3 = 0\)
Hình chiếu M’ của M trên d có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
x - y = 0 \hfill \cr
x + y - 3 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {3 \over 2} \hfill \cr
y = {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)
Vậy \(M'\left( {{3 \over 2};{3 \over 2}} \right)\).
Cách khác:
* Gọi H(a, b) là hình chiếu của M trên d.
* Vì điểm H thuộc đường thẳng d nên: a - b = 0 (1)
* Ta có HM vuông góc với d nên \(\overrightarrow {MH} = \left( {a - 2;b - 1} \right)\) là một vecto chỉ phương của d.
Lại có: \(\overrightarrow n = \left( {1; - 1} \right)\) là 1 vecto pháp tuyến của d nên hai vecto \(\overrightarrow {MH} ,\overrightarrow n \) cùng phương
\(\begin{array}{l} \Leftrightarrow \dfrac{{a - 2}}{1} = \dfrac{{b - 1}}{{ - 1}}\\ \Leftrightarrow - a + 2 = b - 1\\ \Leftrightarrow - a - b = - 3\,\,\left( 2 \right)\end{array}\)
Từ (1) và (2) suy ra \(\left\{ \begin{array}{l}a - b = 0\\ - a - b = - 3\end{array} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{array}{l}a = \dfrac{3}{2}\\b = \dfrac{3}{2}\end{array} \right.\)\( \Rightarrow H\left( {\dfrac{3}{2};\dfrac{3}{2}} \right)\)
Bài 6 trang 80 SGK Hình học 10 Nâng cao
Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau và tìm giao điểm (nếu có) của chúng
LG a
\(2x - 5y + 3 = 0\) và \(5x + 2y - 3 = 0\) ;
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({2 \over 5} \ne - {5 \over 2}\) nên hai đường thẳng đã cho cắt nhau và tọa độ giao điểm là nghiệm của hệ phương trình:
\(\left\{ \matrix{
2x - 5y = - 3 \hfill \cr
5x + 2y = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{
x = {9 \over {29}} \hfill \cr
y = {{21} \over {29}} \hfill \cr} \right.\)
Vậy giao điểm của hai đường thẳng là \(A\left( {{9 \over {29}};{{21} \over {29}}} \right)\)
LG b
\(x - 3y + 4 = 0\) và \(0,5x - 1,5y + 4 = 0\) ;
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({1 \over {0,5}} = {-3 \over { - 1,5}} \ne {4 \over 4}\) nên hai đường thẳng đã cho song song.
LG c
\(10x + 2y - 3 = 0\) và \(5x + y - 1,5 = 0.\)
Lời giải chi tiết:
Ta có: \({{10} \over 5} = {2 \over 1} = {{ - 3} \over { - 1,5}}\) nên hai đường thẳng đã cho trùng nhau.
Được cập nhật: hôm qua lúc 8:41:12 | Lượt xem: 449
